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摘 要：在自动控制原理课程实验中，提出了以MATLAB作为工具的根轨迹仿真实验设计思路，从根轨迹的绘制、系统性能分析和系统校正三个方面入手，综合训练学生对根轨迹分析法的理解和应用。教学实践表明，该实验有利于学生全面掌握所学知识，提高分析、解决实际问题的能力。
关键词：根轨迹 仿真 实验 MATLAB
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（a）-0056-02
控制系统的根轨迹分析与设计是自动控制理论中非常重要的一种方法，也是在工程实际中得到广泛应用的一种图解方法，在自动控制原理课程教学中占有重要地位。传统的根轨迹实验需要手工绘制系统的根轨迹图以及大量的计算，效率低，且很难得到精确的结果[1]；而MATLAB中提供了绘制和分析根轨迹的函数，可以非常方便、直观的得到系统的根轨迹，因此，我们将MATLAB引入到自动控制原理实验教学中，设计基于MATLAB的根轨迹仿真实验。
1 根轨迹仿真实验设计
根轨迹仿真实验不但要求学生掌握绘制根轨迹的方法，而且能够根据根轨迹图分析系统的性能，更进一步地，当系统性能不满足要求时，能够正确设计校正装置，改善系统的性能。因此，仿真实验由绘制根轨迹、性能分析和系统校正三部分组成。
（1）绘制根轨迹。
MATLAB中提供了rlocus（ ）函数，可直接用于控制系统根轨迹的绘制，调用格式rlocus（num，den），其中num为系统的开环传递函数分子多项式的系数向量，den为系统的开环传递函数分母多项式的系数向量，多项式各项按s的降幂排列。
在绘制的根轨迹图上，用鼠标左键单击曲线上的任一点，将显示关于这个点的有关信息，包括该点的增益值，对应的系统特征根的值和可能的闭环系统阻尼比和超调量等[2]。
在MATLAB中，提供了rlocfind（ ）函数用于获取选定点对应的闭环极点和增益K的值。该函数的调用格式为：[k，r]=rlocfind （num，den）。根轨迹绘制完成，执行rlocfind命令时，出现 “Select a point in the graphics window”的提示语，即要求在根轨迹图上选定一个点，根轨迹图上出现“+”标记，将鼠标移至根轨迹图上的选定位置，然后单击左键确定，就得到了选定点的闭环根r和增益K的返回变量值[3]。
（2）性能分析。
系统的性能分析主要是稳定性、动态性能和稳态误差三个方面。稳定性分析的关键是求根轨迹与虚轴的交点，有两种方法：一种是单击该点，从显示信息中读取该点的增益值；另一种是应用rlocfind命令求出根轨迹与虚轴交点的增益值。
绘制系统的根轨迹曲线后，应用grid命令可以在根轨迹曲线上叠画出等阻尼比线和等自然频率线，根据等阻尼比线可以进行基于根轨迹的性能分析与设计。例如，单击的等阻尼比线与根轨迹的交点，得出对应的增益K的值，然后绘制系统的单位阶跃响应曲线，从而分析系统的动态性能。
（3）系统校正。
MATLAB提供了一个非常有用的校正工具rltool，它是一个应用根轨迹方法分析系统性能的图形界面窗口，可以在界面上可视地设计整个前向通路的控制器（即添加、移动零极点），从而改善系统的性能。首先通过调用命令：rltool或rltool（G），其中，G为系统的开环传递函数，打开rltool工具的图形界面，在界面上会显示系统的根轨迹图。然后单击图形界面菜单命令Analysis的下拉菜单中的Response to Step Command命令，则弹出一个新的图形窗口，显示系统的闭环阶跃响应曲线，如果系统性能不满足要求，需要设计一个控制器来改善系统的性能。单击界面上的零点和极点添加的按钮，可以给系统添加零极点，在根轨迹曲线上拖动添加的零极点的位置，并调整控制器增益的值，通过观察系统的闭环阶跃响应曲线的变化，则可以试凑地设计出满足要求的系统控制器。此时，图形窗口分别显示的是经控制器校正后的系统根轨迹图和阶跃响应曲线。可见，rltool是应用根轨迹法对系统进行综合和设计的非常方便、实用的工具[4]。
2 实例
设控制系统的开环传递函数为：
，试求：（1）系统的根轨迹；（2）系统稳定的K*值范围；（3）若系统不稳定，附加零点，使系统具有的闭环主导极点。首先调用matlab函数G=tf（[1]，[1，3，0，0]）； rlocus （G）；绘制系统的根轨迹，如图1所示。由图1可知，原系统始终有两条根轨迹分支完全位于s右半平面，K*无论取何值系统都不稳定。给系统附加一个b=-1的开环零点，根轨迹如图2所示。由图2可知，系统绝对稳定，并能获得满足性能要求的闭环主导极点。
3 结语
采用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响，从而对系统性能进行分析和校正。教学实践表明，该实验有利于训练学生全面掌握所学知识，提高分析、解决实际问题的能力。
参考文献
[1] 刘振全，薛薇，齐国元.自动控制理论课的实验教学改革探讨[J].电气电子教学学报，2005，27（2）：90-92.
[2] 薛定宇.控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用[M].3版.北京：清华大学出版社，2012.
[3] 张彩霞，张志飞.基于MATLAB的“自动控制原理”实验教学[J].实验室科学，2007（2）：123-124.
[4] 陈艳菲.倒立摆在自动控制原理综合实验中的应用[J].中国科教创新导刊，2013（32）：94-96.
关键词：根轨迹 仿真 实验 MATLAB
中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2014）02（a）-0056-02
控制系统的根轨迹分析与设计是自动控制理论中非常重要的一种方法，也是在工程实际中得到广泛应用的一种图解方法，在自动控制原理课程教学中占有重要地位。传统的根轨迹实验需要手工绘制系统的根轨迹图以及大量的计算，效率低，且很难得到精确的结果[1]；而MATLAB中提供了绘制和分析根轨迹的函数，可以非常方便、直观的得到系统的根轨迹，因此，我们将MATLAB引入到自动控制原理实验教学中，设计基于MATLAB的根轨迹仿真实验。
1 根轨迹仿真实验设计
根轨迹仿真实验不但要求学生掌握绘制根轨迹的方法，而且能够根据根轨迹图分析系统的性能，更进一步地，当系统性能不满足要求时，能够正确设计校正装置，改善系统的性能。因此，仿真实验由绘制根轨迹、性能分析和系统校正三部分组成。
（1）绘制根轨迹。
MATLAB中提供了rlocus（ ）函数，可直接用于控制系统根轨迹的绘制，调用格式rlocus（num，den），其中num为系统的开环传递函数分子多项式的系数向量，den为系统的开环传递函数分母多项式的系数向量，多项式各项按s的降幂排列。
在绘制的根轨迹图上，用鼠标左键单击曲线上的任一点，将显示关于这个点的有关信息，包括该点的增益值，对应的系统特征根的值和可能的闭环系统阻尼比和超调量等[2]。
在MATLAB中，提供了rlocfind（ ）函数用于获取选定点对应的闭环极点和增益K的值。该函数的调用格式为：[k，r]=rlocfind （num，den）。根轨迹绘制完成，执行rlocfind命令时，出现 “Select a point in the graphics window”的提示语，即要求在根轨迹图上选定一个点，根轨迹图上出现“+”标记，将鼠标移至根轨迹图上的选定位置，然后单击左键确定，就得到了选定点的闭环根r和增益K的返回变量值[3]。
（2）性能分析。
系统的性能分析主要是稳定性、动态性能和稳态误差三个方面。稳定性分析的关键是求根轨迹与虚轴的交点，有两种方法：一种是单击该点，从显示信息中读取该点的增益值；另一种是应用rlocfind命令求出根轨迹与虚轴交点的增益值。
绘制系统的根轨迹曲线后，应用grid命令可以在根轨迹曲线上叠画出等阻尼比线和等自然频率线，根据等阻尼比线可以进行基于根轨迹的性能分析与设计。例如，单击的等阻尼比线与根轨迹的交点，得出对应的增益K的值，然后绘制系统的单位阶跃响应曲线，从而分析系统的动态性能。
（3）系统校正。
MATLAB提供了一个非常有用的校正工具rltool，它是一个应用根轨迹方法分析系统性能的图形界面窗口，可以在界面上可视地设计整个前向通路的控制器（即添加、移动零极点），从而改善系统的性能。首先通过调用命令：rltool或rltool（G），其中，G为系统的开环传递函数，打开rltool工具的图形界面，在界面上会显示系统的根轨迹图。然后单击图形界面菜单命令Analysis的下拉菜单中的Response to Step Command命令，则弹出一个新的图形窗口，显示系统的闭环阶跃响应曲线，如果系统性能不满足要求，需要设计一个控制器来改善系统的性能。单击界面上的零点和极点添加的按钮，可以给系统添加零极点，在根轨迹曲线上拖动添加的零极点的位置，并调整控制器增益的值，通过观察系统的闭环阶跃响应曲线的变化，则可以试凑地设计出满足要求的系统控制器。此时，图形窗口分别显示的是经控制器校正后的系统根轨迹图和阶跃响应曲线。可见，rltool是应用根轨迹法对系统进行综合和设计的非常方便、实用的工具[4]。
2 实例
设控制系统的开环传递函数为：
，试求：（1）系统的根轨迹；（2）系统稳定的K*值范围；（3）若系统不稳定，附加零点，使系统具有的闭环主导极点。首先调用matlab函数G=tf（[1]，[1，3，0，0]）； rlocus （G）；绘制系统的根轨迹，如图1所示。由图1可知，原系统始终有两条根轨迹分支完全位于s右半平面，K*无论取何值系统都不稳定。给系统附加一个b=-1的开环零点，根轨迹如图2所示。由图2可知，系统绝对稳定，并能获得满足性能要求的闭环主导极点。
3 结语
采用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响，从而对系统性能进行分析和校正。教学实践表明，该实验有利于训练学生全面掌握所学知识，提高分析、解决实际问题的能力。
参考文献
[1] 刘振全，薛薇，齐国元.自动控制理论课的实验教学改革探讨[J].电气电子教学学报，2005，27（2）：90-92.
[2] 薛定宇.控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用[M].3版.北京：清华大学出版社，2012.
[3] 张彩霞，张志飞.基于MATLAB的“自动控制原理”实验教学[J].实验室科学，2007（2）：123-124.
[4] 陈艳菲.倒立摆在自动控制原理综合实验中的应用[J].中国科教创新导刊，2013（32）：94-96.