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数学思想方法作为基础知识的重要组成部分，但又有别于基础知识。除基本的数学方法以外，其他思想方法都呈隐蔽形式，渗透在学习新知识和运用知识解决问题的过程之中。这就要求教师在教学过程中要把握渗透的时机，选择适当的方法，使学生能够领悟并逐步学会运用这些思想方法去解决问题。下面是笔者对在课堂教学中渗透数学思想方法途径的几点认识。
一、在知识的形成过程中渗透数学思想方法
数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程。任何一个概念，都经历着由感性到理性的抽象概括过程；任何一个规律，都经历着由特殊到一般的归纳过程。如果我们把这些认识过程返璞归真，在教师的引导下，让学生以探索者的姿态出现，去参与概念的形成和规律的揭示过程，学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则，更重要的是发展了抽象概括的思维和归纳的思维，还可以养成良好的思维品质。因此，概念的形成过程、结论的推导过程、规律的被揭示过程都是渗透数学思想方法的极好机会和途径。
1.展开概念——不要简单地给定义
概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果。而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，依据数学思想方法的指导。因此概念教学应当完整地体现这一生动的过程，引导学生揭示隐藏于知识之中的思维内含。心理学认为，人对事物的第一次接触是最敏感的，教学成功与否，关键是唤起对旧知识的回忆，探寻新知识的源头，并通过事物的发生和发展的教学，掌握活的数学概念。
例如，函数的概念学生在初中阶段就已经接触，但较完整的定义却在高中出现。如何在函数概念的教学中渗透函数思想呢?笔者认为：中学数学中的函数思想包括变数思想，集合的对应（映射）思想，数形结合的思想，研究函数自变量、函数取值范围以及变量之间关系的不等式控制思想等。其中变数思想是函数思想的基础，对应思想是函数思想的实质，数形结合思想和控制思想是函数思想的具体体现和应用。在函数知识的形成与学习过程中，应逐步渗透上述思想。为此，根据高一学生的认知水平，在函数概念教学时应该抓住函数是两个变量之间的一种特殊的对应（映射）的思想进行渗透。可以通过丰富的实例，让学生体会函数是描述变量间的依赖关系的重要数学模型。
2.延迟判断——不要过早地下结论
判断可以看做是压缩了的知识链。数学定理、性质、法则、公理、关系、规律等结论都是一个个具体的判断。教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系，使学生看到某个判断时，能像回忆自己参加有趣活动那样津津乐道。
3.激活推理——不要呆板地找关联
激活推理就是要使判断上下贯通，前后迁移、左右逢源，尽可能从已有的判断生出众多的思维触角，促成思维链条的高效运转，不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果。
如在立体几何三垂线定理的教学中，为充分调动学生的思维活动，可以设计下列几个问题:①若直线l与平面α垂直，则l垂直α内的任何直线，那么当l是平面α的斜线时，l与α内的直线有几种位置关系呢？②当l是平面α的斜线时，平面α内有没有直线与l垂直，在什么情况下，l与α内的直线垂直？让学生开展讨论，并阐述理由。③你觉得三垂线定理的本质是什么？它有什么作用？
二、在解题探索过程中渗透数学思想方法
课程标准明确指出：“要加强对解题的正确指导，引导学生从解题的思想方法上作必要的概括”。数学中的化归、数学模型、数形结合、类比、归纳猜想等思想方法，既是解题思路分析中必不可少的思想方法，又是具有思维导向型的思想方法。如学生一旦形成了化归意识，就能化未知为已知、化繁为简、化一般为特殊，优化解题方法；数学思想方法在解题思路探索中的渗透，可以使学生的思维品质更具合理性、条理性和敏捷性。如：
例1.求f（x）=3sin（x 20°） sin（x 80°）的最大值和最小值。
不少同学直接使用公式展开，结果相当繁琐，造成思维混乱。化解这一问题的方法是，将x 20°（或x 80°)看成一个整体，x 80°化为（x 20°） 60°。这里涉及换元思想方法（整体思想方法）和化繁为简的化归思想方法。在具体教学中，可以告知学生从函数解析式的特点看本题，本题的焦点是角度不同（即自变量不同）。因此，关键在于如何利用三角恒等变换公式将函数中的角化成同一个角。
例2.圆周上有2007个点，每两点间连一条弦，如果其中任意三条弦在圆内不共点，求以这些弦在圆内的交点为顶点的三角形个数。
这是一个计数问题，如果直接计算有相当大的难度。为此，思考每一个圆内三角形与圆上的点有什么关系？这种想法的实质就是对应思想（映射思想），是化归思想方法中的一种。圆的三条弦恰好在圆内交出一个三角形，弦不同所得的三角形也不同。可见，每一个圆内三角形与圆上的6个不同的点构成一个一一映射，即f：｛圆内三角形｝→｛圆上六点组｝。因此，就能得出符合条件的三角形个数。
三、在问题的解决过程中渗透数学思想方法
问题解决是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动，是在新情景下通过思考去实现学习目标的活动，“思考活动”和“探索过程”是问题解决的内核。数学领域中的问题解决，与其他科学领域用数学去解决问题不同。数学领域里的问题解决，不仅关心问题的结果，而且关心求得结果的过程，即问题解决的整个思考过程。数学问题解决，是按照一定的思维对策进行的思维过程。在数学问题解决的过程中，既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式，又运用直觉、灵感（顿悟）等非逻辑思维形式来探索问题的解决办法。
问题是数学的心脏，数学问题的解决过程，实质是命题的不断变换和数学思想方法的反复运用过程。数学思想方法是数学问题的解决观念性成果，它存在于数学问题的解决之中。数学问题的步步转化无不遵循数学思想方法指示的方向。因此，通过问题解决，可以培养数学意识，构造数学模型，提供数学想象；伴以实际操作，可以诱发创造动机，可以把数学嵌入活的思维活动之中，并不断在学数学、用数学的过程中，引导学生学习知识、掌握方法、形成思想，促进思维能力的发展。
数学问题的解决过程是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，在数学问题的解决过程中渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到会一题而明一路、通一类的效果。
四、在复习与小结中提炼、概括数学思想方法
小结与复习是数学教学的一个重要环节，揭示知识之间的内在联系以及归纳、提炼知识中蕴涵的数学思想方法是小结与复习的功能之一。数学的小结与复习，不能仅停留在把已学的知识温习记忆一遍的要求上，而要去努力思考新知识是怎样产生、展开和证明的，其实质是什么，怎样应用它等。小结与复习是对知识进行深化、精炼和概括的过程，它需要通过手和脑积极主动地开展活动才能达到。因此，在这个过程中，提供了发展和提高能力的极好机会，也是渗透数学思想方法的极好机会与途径。
学生学完一个单元的内容，应该在整体上对该单元的内容有一个清晰、全面的认识。因此，在小结与复习时应该提炼、概括这一单元知识所涉及的数学思想方法；并从知识发展的过程来综观数学思想方法所起的作用，以新的更为全面的观点分析所学过的知识；从数学思想方法的角度进行提高与精练。由于同一内容可以體现不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常蕴涵在许多不同的知识点里，因此，在小结与复习时，还应该从纵横两方面整理出数学思想方法及其系统。如在解析几何章节复习时，可以通过具体所学的知识，再一次向学生强调解析几何是用代数方法研究几何图形的性质，它的基本思想是将几何问题转化为代数问题，用坐标表示点，用方程表示曲线等几何图形，将图形的有关性质转化为数与方程，通过代数计算和变形的方法来解决。
五、引导学生进行反思，从中领悟数学思想方法
著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”因此，教师应该创设各种情境，为学生创造反思的机会，引导学生积极主动地提出问题，总结经验。如：解法是怎样想出来的？关键是哪一步？自己为什么没想出来？能找到更好的解题途径吗？这个方法能推广吗？通过解这个题，我学到了什么？在必要时可以引导学生进行讨论。这种反思能较好地概括思维的本质，从而上升到数学思想方法上来。同时由于学习的不可代替原则，教师在积极引导学生进行反思的同时还要善于引导学生学会自己提炼数学思想方法，帮助学生领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法。
（作者单位 北京市顺义区北京四中顺义分校）
一、在知识的形成过程中渗透数学思想方法
数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程。任何一个概念，都经历着由感性到理性的抽象概括过程；任何一个规律，都经历着由特殊到一般的归纳过程。如果我们把这些认识过程返璞归真，在教师的引导下，让学生以探索者的姿态出现，去参与概念的形成和规律的揭示过程，学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则，更重要的是发展了抽象概括的思维和归纳的思维，还可以养成良好的思维品质。因此，概念的形成过程、结论的推导过程、规律的被揭示过程都是渗透数学思想方法的极好机会和途径。
1.展开概念——不要简单地给定义
概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果。而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，依据数学思想方法的指导。因此概念教学应当完整地体现这一生动的过程，引导学生揭示隐藏于知识之中的思维内含。心理学认为，人对事物的第一次接触是最敏感的，教学成功与否，关键是唤起对旧知识的回忆，探寻新知识的源头，并通过事物的发生和发展的教学，掌握活的数学概念。
例如，函数的概念学生在初中阶段就已经接触，但较完整的定义却在高中出现。如何在函数概念的教学中渗透函数思想呢?笔者认为：中学数学中的函数思想包括变数思想，集合的对应（映射）思想，数形结合的思想，研究函数自变量、函数取值范围以及变量之间关系的不等式控制思想等。其中变数思想是函数思想的基础，对应思想是函数思想的实质，数形结合思想和控制思想是函数思想的具体体现和应用。在函数知识的形成与学习过程中，应逐步渗透上述思想。为此，根据高一学生的认知水平，在函数概念教学时应该抓住函数是两个变量之间的一种特殊的对应（映射）的思想进行渗透。可以通过丰富的实例，让学生体会函数是描述变量间的依赖关系的重要数学模型。
2.延迟判断——不要过早地下结论
判断可以看做是压缩了的知识链。数学定理、性质、法则、公理、关系、规律等结论都是一个个具体的判断。教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系，使学生看到某个判断时，能像回忆自己参加有趣活动那样津津乐道。
3.激活推理——不要呆板地找关联
激活推理就是要使判断上下贯通，前后迁移、左右逢源，尽可能从已有的判断生出众多的思维触角，促成思维链条的高效运转，不断在数学思想方法指导下推出一个个新的判断、新的思维结果。
如在立体几何三垂线定理的教学中，为充分调动学生的思维活动，可以设计下列几个问题:①若直线l与平面α垂直，则l垂直α内的任何直线，那么当l是平面α的斜线时，l与α内的直线有几种位置关系呢？②当l是平面α的斜线时，平面α内有没有直线与l垂直，在什么情况下，l与α内的直线垂直？让学生开展讨论，并阐述理由。③你觉得三垂线定理的本质是什么？它有什么作用？
二、在解题探索过程中渗透数学思想方法
课程标准明确指出：“要加强对解题的正确指导，引导学生从解题的思想方法上作必要的概括”。数学中的化归、数学模型、数形结合、类比、归纳猜想等思想方法，既是解题思路分析中必不可少的思想方法，又是具有思维导向型的思想方法。如学生一旦形成了化归意识，就能化未知为已知、化繁为简、化一般为特殊，优化解题方法；数学思想方法在解题思路探索中的渗透，可以使学生的思维品质更具合理性、条理性和敏捷性。如：
例1.求f（x）=3sin（x 20°） sin（x 80°）的最大值和最小值。
不少同学直接使用公式展开，结果相当繁琐，造成思维混乱。化解这一问题的方法是，将x 20°（或x 80°)看成一个整体，x 80°化为（x 20°） 60°。这里涉及换元思想方法（整体思想方法）和化繁为简的化归思想方法。在具体教学中，可以告知学生从函数解析式的特点看本题，本题的焦点是角度不同（即自变量不同）。因此，关键在于如何利用三角恒等变换公式将函数中的角化成同一个角。
例2.圆周上有2007个点，每两点间连一条弦，如果其中任意三条弦在圆内不共点，求以这些弦在圆内的交点为顶点的三角形个数。
这是一个计数问题，如果直接计算有相当大的难度。为此，思考每一个圆内三角形与圆上的点有什么关系？这种想法的实质就是对应思想（映射思想），是化归思想方法中的一种。圆的三条弦恰好在圆内交出一个三角形，弦不同所得的三角形也不同。可见，每一个圆内三角形与圆上的6个不同的点构成一个一一映射，即f：｛圆内三角形｝→｛圆上六点组｝。因此，就能得出符合条件的三角形个数。
三、在问题的解决过程中渗透数学思想方法
问题解决是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动，是在新情景下通过思考去实现学习目标的活动，“思考活动”和“探索过程”是问题解决的内核。数学领域中的问题解决，与其他科学领域用数学去解决问题不同。数学领域里的问题解决，不仅关心问题的结果，而且关心求得结果的过程，即问题解决的整个思考过程。数学问题解决，是按照一定的思维对策进行的思维过程。在数学问题解决的过程中，既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式，又运用直觉、灵感（顿悟）等非逻辑思维形式来探索问题的解决办法。
问题是数学的心脏，数学问题的解决过程，实质是命题的不断变换和数学思想方法的反复运用过程。数学思想方法是数学问题的解决观念性成果，它存在于数学问题的解决之中。数学问题的步步转化无不遵循数学思想方法指示的方向。因此，通过问题解决，可以培养数学意识，构造数学模型，提供数学想象；伴以实际操作，可以诱发创造动机，可以把数学嵌入活的思维活动之中，并不断在学数学、用数学的过程中，引导学生学习知识、掌握方法、形成思想，促进思维能力的发展。
数学问题的解决过程是用“不变”的数学思想和方法去解决不断“变换”的数学命题，在数学问题的解决过程中渗透数学思想和方法，不仅可以加快和优化问题解决的过程，而且还可以达到会一题而明一路、通一类的效果。
四、在复习与小结中提炼、概括数学思想方法
小结与复习是数学教学的一个重要环节，揭示知识之间的内在联系以及归纳、提炼知识中蕴涵的数学思想方法是小结与复习的功能之一。数学的小结与复习，不能仅停留在把已学的知识温习记忆一遍的要求上，而要去努力思考新知识是怎样产生、展开和证明的，其实质是什么，怎样应用它等。小结与复习是对知识进行深化、精炼和概括的过程，它需要通过手和脑积极主动地开展活动才能达到。因此，在这个过程中，提供了发展和提高能力的极好机会，也是渗透数学思想方法的极好机会与途径。
学生学完一个单元的内容，应该在整体上对该单元的内容有一个清晰、全面的认识。因此，在小结与复习时应该提炼、概括这一单元知识所涉及的数学思想方法；并从知识发展的过程来综观数学思想方法所起的作用，以新的更为全面的观点分析所学过的知识；从数学思想方法的角度进行提高与精练。由于同一内容可以體现不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常蕴涵在许多不同的知识点里，因此，在小结与复习时，还应该从纵横两方面整理出数学思想方法及其系统。如在解析几何章节复习时，可以通过具体所学的知识，再一次向学生强调解析几何是用代数方法研究几何图形的性质，它的基本思想是将几何问题转化为代数问题，用坐标表示点，用方程表示曲线等几何图形，将图形的有关性质转化为数与方程，通过代数计算和变形的方法来解决。
五、引导学生进行反思，从中领悟数学思想方法
著名数学教育家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”因此，教师应该创设各种情境，为学生创造反思的机会，引导学生积极主动地提出问题，总结经验。如：解法是怎样想出来的？关键是哪一步？自己为什么没想出来？能找到更好的解题途径吗？这个方法能推广吗？通过解这个题，我学到了什么？在必要时可以引导学生进行讨论。这种反思能较好地概括思维的本质，从而上升到数学思想方法上来。同时由于学习的不可代替原则，教师在积极引导学生进行反思的同时还要善于引导学生学会自己提炼数学思想方法，帮助学生领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法。
（作者单位 北京市顺义区北京四中顺义分校）