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一、综合法
常见书面表达“∵，∴”或“[?]”.
例1 [a，b，c]为互不相等的正数，且[abc=1].
求证：[1a+1b+1c>a+b+c].
解析 方法1 由左式[?]右式.
∵[abc=1]，且[a，b，c]为互不相等的正数，
∴[1a+1b+1c=bc+ac+ab]
[=bc+ac2+ac+ab2+ab+bc2]
>[bc?ac+ac?ab+ab?bc=a+b+c].
方法2 右式[?]左式.
∵[a，b，c]为互不相等的正数，且[abc=1].
∴[a+b+c]=[1bc+1ac+1ab]
[<1b+1c2+1a+1c2+1a+1b2]=[1a+1b+1c].
点拨 综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是在寻找它的必要条件.
二、分析法
常见的书面表达是“要证……只需证……”或“[?]”.
例2 已知函数[f（x）=tanx]，[x∈（0，π2）]，若[x1，x2∈（0，π2）]，且[x1≠x2.]
求证：[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）].
解析 要证[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）] ，
即证明[12（tanx1+tanx2）>tanx1+x22]，
只需证明[12（sinx1cosx1+sinx2cosx2）>tanx1+x22]，
只需证明[sin（x1+x2）2cosx1cosx2>sin（x1+x2）1+cos（x1+x2）]，
由于[x1]，[x2][∈（0，π2）]，故[x1]+[x2][∈（0，π）].
∴[cosx1cosx2>0]，[sin（x1+x2）>0]，
[1+cos（x1+x2）>0].
故只需证明[1+cos（x1+x2）>2cosx1cosx2]，
即证 [1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2，]
即证[cos（x1-x2）<1].
又[x1]，[x2][∈（0，π2）]，[x1≠x2]，上式显然成立，
因此，[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）].
点拨 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件.在表达方面，分析法不如综合法，在实际解题时，常常需要将分析法和综合法结合起来，一方面执果索因，追溯待证结论成立所需要的条件；另一方面由因导果，探索由已知条件必然产生的种种结果，当两种思路接通时，问题便解决了.
三、反证法
反证法的证明思路是：假设结论不成立[→]推导矛盾（归谬）[→]肯定结论.注意每一步推理都必须是正确的，反证法的实质是证原命题的逆否命题.
例3 等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn]，[a1=1+2]，[S3=9+32.]
（1）求数列[{an}]的通项[an]与前[n]项和[Sn]；
（2）设[bn=Snn]（[n][∈]N+），求证：数列[{bn}]中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
解析 （1）由已知得[a1=2+1，3a1+3d=9+32，]∴[d=2.]
故[an=2n-1+2]，[Sn=n?（n+2）.]
（2）证明：由（1）得[bn=Snn=n+2.]
假设数列[bn]中存在三项[bp]，[bq]，[br]，（[p，q，r]互不相等）成等比数列，则[bq2=bpbr]，
即[（q+2）2=（p+2）（r+2）]，
∴[（q2-pr）+（2q-p-r）2=0].
∵[p，q，r∈N+]， ∴[q2-pr=0，2q-p-r=0.]
∴[（p+r2）2=pr]，∴[p=r]与[p≠r]矛盾.
∴[bn]中任意不同的三项都不可能成等比数列.
点拨 （1）正难则反.当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则将出现循环论证的错误.
四、数学归纳法
数学归纳法易犯的错误有：（1）对项数估算的错误，特别是寻找[n=k]与[n=k+1]的关系时，项数发生什么变化被弄错；（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；（3）关键步骤含糊不清，“假设[n=k]时结论成立，利用此假设证明[n=k+1]时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.
例4 用数学归纳法证明：[1+n21+12+13][+…+12n12+n（n∈N+）].
证明 （1）当[n=1]时，左边=1+[12]，右边=[12]+1，
[∴][321+1232]，命题成立.
当[n=2]时，左边=1+[22]，右边=[12]+2=[52]，
[∴][2<1+12+13+14<52]，命题成立.
（2）假设[n=k]（[k]≥2，且[k][∈][N+]）时命题成立，
即：[1+k2<1+12+13+…+12k<12+k]. 则当[n=k]+1时，
[1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12k+2k]
>[1+k2+12k+1+12k+2+…+12k+2k]
>[1+k2+2k?12k+1=1+k+12].
又[1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2]
[+…+12k+2k]
<[12+k+12k+1+12k+2+…+12k+2k]
<[12+k+2k?12k=12+（k+1）].
即[n=k]+1时，命题也成立.
由（1）（2）可知，命题对所有[n][∈]N+都成立.
点拨 （1）[n=1]是不等式等号成立的条件，故要验证[n=2].（2）[n=k]到[n=k+1]，项数增加了[12k+1+12k+2+…+12k+2k]，共[k]项，这是很多同学易犯的错误，再就是运用了放缩技巧，证大于向最小项转化，证小于向最大项转化，这一方法要掌握.
例5 已知数列[{xn}]满足[x1=12]，[xn+1=][11+xn]，猜想数列{[x2n]}的单调性，并证明你的结论.
解析 由[x1=12]及[xn+1=11+xn]得[x2=23]，[x4=58]，[x6=1321].
由[x2>x4>x6]，猜想：数列[x2n]是递减数列.
下面用数学归纳法证明：
（1）当[n=1]时，已证命题成立.
（2）假设当[n=k]时命题成立，即[x2k>x2k+2].
易知[xn>0]，当[n=k+1]时，
那么[x2k+2-x2k+4=11+x2k+1-11+x2k+3]
[=x2k+3-x2k+1（1+x2k+1）（1+x2k+3）]
=[x2k-x2k+2（1+x2k）（1+x2k+1）（1+x2k+2）（1+x2k+3）>0].
即[x2（k+1）>x2（k+1）+2]，即当[n=k+1]时命题也成立.
由（1）（2）知，{[x2n]}是递减数列，命题成立.
点拨 （1）归纳、猜想、证明的模式，是不完全归纳法与数学归纳法的综合应用，其一般思路是：通过有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数字归纳法证明.它在解决探索性问题、存在性问题与正整数有关的命题中有着广泛的应用.（2）本题还可以证明{[x2n-1]}是递增数列，有兴趣的同学不妨一试.
常见书面表达“∵，∴”或“[?]”.
例1 [a，b，c]为互不相等的正数，且[abc=1].
求证：[1a+1b+1c>a+b+c].
解析 方法1 由左式[?]右式.
∵[abc=1]，且[a，b，c]为互不相等的正数，
∴[1a+1b+1c=bc+ac+ab]
[=bc+ac2+ac+ab2+ab+bc2]
>[bc?ac+ac?ab+ab?bc=a+b+c].
方法2 右式[?]左式.
∵[a，b，c]为互不相等的正数，且[abc=1].
∴[a+b+c]=[1bc+1ac+1ab]
[<1b+1c2+1a+1c2+1a+1b2]=[1a+1b+1c].
点拨 综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是在寻找它的必要条件.
二、分析法
常见的书面表达是“要证……只需证……”或“[?]”.
例2 已知函数[f（x）=tanx]，[x∈（0，π2）]，若[x1，x2∈（0，π2）]，且[x1≠x2.]
求证：[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）].
解析 要证[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）] ，
即证明[12（tanx1+tanx2）>tanx1+x22]，
只需证明[12（sinx1cosx1+sinx2cosx2）>tanx1+x22]，
只需证明[sin（x1+x2）2cosx1cosx2>sin（x1+x2）1+cos（x1+x2）]，
由于[x1]，[x2][∈（0，π2）]，故[x1]+[x2][∈（0，π）].
∴[cosx1cosx2>0]，[sin（x1+x2）>0]，
[1+cos（x1+x2）>0].
故只需证明[1+cos（x1+x2）>2cosx1cosx2]，
即证 [1+cosx1cosx2-sinx1sinx2>2cosx1cosx2，]
即证[cos（x1-x2）<1].
又[x1]，[x2][∈（0，π2）]，[x1≠x2]，上式显然成立，
因此，[12f（x1）+f（x2）>f（x1+x22）].
点拨 分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步寻找结论成立的充分条件.在表达方面，分析法不如综合法，在实际解题时，常常需要将分析法和综合法结合起来，一方面执果索因，追溯待证结论成立所需要的条件；另一方面由因导果，探索由已知条件必然产生的种种结果，当两种思路接通时，问题便解决了.
三、反证法
反证法的证明思路是：假设结论不成立[→]推导矛盾（归谬）[→]肯定结论.注意每一步推理都必须是正确的，反证法的实质是证原命题的逆否命题.
例3 等差数列[{an}]的前[n]项和为[Sn]，[a1=1+2]，[S3=9+32.]
（1）求数列[{an}]的通项[an]与前[n]项和[Sn]；
（2）设[bn=Snn]（[n][∈]N+），求证：数列[{bn}]中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
解析 （1）由已知得[a1=2+1，3a1+3d=9+32，]∴[d=2.]
故[an=2n-1+2]，[Sn=n?（n+2）.]
（2）证明：由（1）得[bn=Snn=n+2.]
假设数列[bn]中存在三项[bp]，[bq]，[br]，（[p，q，r]互不相等）成等比数列，则[bq2=bpbr]，
即[（q+2）2=（p+2）（r+2）]，
∴[（q2-pr）+（2q-p-r）2=0].
∵[p，q，r∈N+]， ∴[q2-pr=0，2q-p-r=0.]
∴[（p+r2）2=pr]，∴[p=r]与[p≠r]矛盾.
∴[bn]中任意不同的三项都不可能成等比数列.
点拨 （1）正难则反.当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.（2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理，否则将出现循环论证的错误.
四、数学归纳法
数学归纳法易犯的错误有：（1）对项数估算的错误，特别是寻找[n=k]与[n=k+1]的关系时，项数发生什么变化被弄错；（2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了；（3）关键步骤含糊不清，“假设[n=k]时结论成立，利用此假设证明[n=k+1]时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性.
例4 用数学归纳法证明：[1+n21+12+13][+…+12n12+n（n∈N+）].
证明 （1）当[n=1]时，左边=1+[12]，右边=[12]+1，
[∴][321+1232]，命题成立.
当[n=2]时，左边=1+[22]，右边=[12]+2=[52]，
[∴][2<1+12+13+14<52]，命题成立.
（2）假设[n=k]（[k]≥2，且[k][∈][N+]）时命题成立，
即：[1+k2<1+12+13+…+12k<12+k]. 则当[n=k]+1时，
[1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2+…+12k+2k]
>[1+k2+12k+1+12k+2+…+12k+2k]
>[1+k2+2k?12k+1=1+k+12].
又[1+12+13+…+12k+12k+1+12k+2]
[+…+12k+2k]
<[12+k+12k+1+12k+2+…+12k+2k]
<[12+k+2k?12k=12+（k+1）].
即[n=k]+1时，命题也成立.
由（1）（2）可知，命题对所有[n][∈]N+都成立.
点拨 （1）[n=1]是不等式等号成立的条件，故要验证[n=2].（2）[n=k]到[n=k+1]，项数增加了[12k+1+12k+2+…+12k+2k]，共[k]项，这是很多同学易犯的错误，再就是运用了放缩技巧，证大于向最小项转化，证小于向最大项转化，这一方法要掌握.
例5 已知数列[{xn}]满足[x1=12]，[xn+1=][11+xn]，猜想数列{[x2n]}的单调性，并证明你的结论.
解析 由[x1=12]及[xn+1=11+xn]得[x2=23]，[x4=58]，[x6=1321].
由[x2>x4>x6]，猜想：数列[x2n]是递减数列.
下面用数学归纳法证明：
（1）当[n=1]时，已证命题成立.
（2）假设当[n=k]时命题成立，即[x2k>x2k+2].
易知[xn>0]，当[n=k+1]时，
那么[x2k+2-x2k+4=11+x2k+1-11+x2k+3]
[=x2k+3-x2k+1（1+x2k+1）（1+x2k+3）]
=[x2k-x2k+2（1+x2k）（1+x2k+1）（1+x2k+2）（1+x2k+3）>0].
即[x2（k+1）>x2（k+1）+2]，即当[n=k+1]时命题也成立.
由（1）（2）知，{[x2n]}是递减数列，命题成立.
点拨 （1）归纳、猜想、证明的模式，是不完全归纳法与数学归纳法的综合应用，其一般思路是：通过有限个特例，猜想出一般性的结论，然后用数字归纳法证明.它在解决探索性问题、存在性问题与正整数有关的命题中有着广泛的应用.（2）本题还可以证明{[x2n-1]}是递增数列，有兴趣的同学不妨一试.