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摘 要：中央和地方政府积极采取各项措施对房地产业进行宏观调控，坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”。要抑制房地产泡沫，必然要防范住房抵押贷款风险，而建立健全抵押贷款保险机制，利用保险来分散和转移风险，是行之有效的方法。保证险是一种住房抵押贷款保险，在其基础上适当改进，给出了房屋抵押贷款保险的一种新设计，在市场完备无套利，房价服从广义指数Ornstein-Uhlenback过程的假设下，利用期权定价的鞅评价方法，得到了该保险的无套利评价公式。
关键词：抵押贷款保险;期权;鞅定价
中图分类号：F840 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2021）30-0040-03
一、研究背景
在我国，个人住房抵押按揭贷款虽然起步较晚，政府和监管部门相应的法律法规也不完善，但是，随着近年来城市规模的迅速扩张，我国金融机构的房地产抵押贷款业务发展却十分迅猛。不少金融机构为获取高额利润，不惜降低住房抵押贷款的发放标准，大力发展住房抵押信贷，并将其作为主营业务。住房抵押贷款得到快速发展，住房抵押信贷在银行资产中所占比例逐渐增大，风险逐渐积累。个人住房抵押贷款业务中，信用风险是银行面临的最基本最直接的风险，借款人可能因为个人的经济情况、疾病、意外事故等被迫违约，也可能因抵押房产价值下降而理性违约。利率风险、管理风险、资金流动性风险、抵押物处置风险等等，都是较为常见的风险。如果风险过度累积，外部经济环境一旦发生波动，房地产泡沫极易破裂，房地产市场的剧烈震荡必将导致宏观经济的剧烈波动，爆发金融危机的可能性极大。
历史是一面镜子，2008年全面爆发的美国次贷危机，直接由住房金融危机引起，随后迅速蔓延，最终引发全球性的金融风暴，导致大规模的经济衰退。次贷危机造成的严重后果警示人们，必须对住房金融风险重新进行审视。2019年底，新型冠状病毒感染导致的肺炎大爆发，大量人员感染、死亡，许多国家和地区被迫实行封闭管理。突如其来的疫情给全球经济带来巨大影响，经济下滑和大规模失业已经发生，押贷款风险快速上升，不可控因素增加。因此，迫切需要建立、健全防范住房抵押贷款风险的对策。
我国没有抵押贷款政府担保制度，不过国外有一些经验值得借鉴。在加拿大，政府与保险公司会参与到个人住房按揭贷款的审批和发放过程中来，为高风险贷款提供政府担保。加拿大按揭贷款和住房公司（简称CMHC）对贷款额超过房屋总价值80%的抵押按揭业务提供强制保险保障。假若借款人违约，CMHC则对贷款人进行保险赔付。贷款审批通过后，CMHC保费通常会加入贷款总额，分期支付，并不要求借款人一次性付清。这种保险既能有效地分散、转嫁风险，又能满足低收入者的住房需求，改善民生。
目前，中央和地方政府积极采取各项措施，对房地产业进行宏觀调控，综合运用财税、立法等多种手段抑制房地产泡沫。坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”，要求“坚持不将房地产作为短期刺激经济的手段”。抑制房地产泡沫，必然要防范住房抵押贷款风险，而防范住房抵押贷款风险的对策除了贷款金融机构自身风险管理的改进、风险预警机制的建立、个人征信体系的完善、抵押贷款相应法律法规的建立、各地政府出台的“房产新政”之外，还有一种行之有效的方法——建立健全抵押贷款保险机制，利用保险来分散和转移风险。随着我国经济的腾飞，金融市场和避险工具的不断完善，我国的抵押贷款保险业务的前景是广阔的，应予以高度的重视。
二、房屋抵押贷款保险的一种创新设计
住房抵押贷款保证险是贷款银行要求借款购房者投保的一种险种。国内的保险公司曾开办过一段时期的这种保险，合同约定，即在借款期限内，如果借款人违约，不能如期偿还借款，贷款银行的损失就由签约的保险公司进行全额或者部分赔付[1～2]。全额担保和部分担保是保证险的两种不同类型。保险公司为减少承担的风险，只对住房抵押贷款余额的一定比例实施担保，这就是部分担保保证险。合理借鉴并融合国外抵押贷款保险的经验，在保证险的基础上适当改进，给出如下保险设计：商定两个常数k1，k2（0<k1≤1，0≤k2<1），损失额若控制在在原始贷款本金A0的商定比例k1内，保险公司赔付全部损失;若超过这一商定的额度k1A0，额度k1A0由保险公司赔付，超出的部分依据协商比例k2在保险公司和贷款银行之间分配损失额，因此不妨称它为协同保险[3]。
设T时刻的未偿付额U（T）=U为常数（可由风险信用评估得到），无风险利率为时间t的函数r（t），房产价格为时间t的函数PH（T），贷款机构持有的抵押贷款协同保险保单的到期收益为VT[4～7]。
如果借款人违约，保险公司可以采取以下两种方式之一进行赔付。
一是如果未偿付额没有超出额度k1A0，保险公司赔付全部未偿贷款余额，房屋产权交由保险公司实现抵押权。赔付额为max（U（T）-？琢PH（T），0），其中？琢为实现抵押权后所得住房价值比例，？琢为常数。
二是如果未偿付额超出额度k1A0，则房屋产权由贷款机构处置实现抵押权后，保险公司再进行赔付，赔付额为：k1A0+k2[U（T）-？琢PH（T）-k1A0]。
综上可知，协同保险保单的到期收益如下：
VT=max（U（T）-？琢PH（T），0），max（U（T）-？琢PH（T），0）<k1A0k1A0+k2[U（T）-？琢PH（T）-k1A0]，U（T）-？琢PH（T）≥k1A0
（1）
三、金融数学模型的构建
考虑连续时间的金融市场，贷款期限为[0，T]，0表示现在，T表示到期日。给定某完备概率空间（？赘，F，P），（Ft）0≤t≤T为相应的自然布朗讯息流，FT=F，P是风险环境下的概率测度。 房屋的价格设为PH（t），它是随机波动变化的，用Ornstein-Uhlenback过程来描述PH（t）的动态过程，满足的随机微分方程如下：
四、房屋抵押贷款保险的Martingale 评价
对衍生性商品进行评价，常用解偏微分方程的方法，但其过程复杂，难度较大。概率平赌评价方法（the Martingale Pricing Method）是评价衍生性商品的另一種途径。根据Martingale 评价方法，一种证券（或衍生性商品）的价格，在风险中性的测度下，可借助于将该证券的期望现金流折现来得到[8]。Martingale评价方法较简单直观，应用范围广泛，但也有其局限性，它通常需要假设金融市场是无套利的完备市场，若是金融市场有套利或者不完备，其使用就存在一定的困难。下面假设金融市场完备、无套利，用Martingale评价方法计算房屋抵押贷款协同保险的无套利定价。
其中，？椎（·）表示标准正态分布函数，IA为A的示性函数。
定理1：假设市场完备无套利，房屋抵押贷款协同保险的合约期限为[0，T]，到期现金流满足式（1），无风险利率为时间t的函数r（t），房屋的价格H（t）遵从广义Ornstein-Uhlenback过程，其价格变化满足式（2），未偿付额设为常数U，则该协同保险的保费（Martingale 评价）为：
代入式（6）、式（7）、式（8）、式（9），化简式（5），定理得证。①
参考文献：
[1] 侯新华，田策.住房抵押贷款保证险研究[J].中国房地产金融，2002，（11）：11-13.
[2] 戴建国，黄培清.住房抵押贷款定价研究进展[J].管理工程学报，2001，（1）：72-74.
[3] 毛宏，罗守成，等.国外保险定价的发展及其对我国的借鉴[J].运筹与管理，2003，（2）：77-82.
[4] 陈丽萍，杨向群.房价服从非时齐Poisson跳扩散的住房抵押贷款保证险的定价[J].应用概率统计，2007，（4）：345-351.
[5] 李晨，陈丽萍，杨向群.随机波动率与跳扩散相结合的保证险的鞅定价[J].系统工程，2009，（3）：41-45.
[6] 陈丽萍.抵押贷款共同保险的两种评价方法及其比较[J].重庆工商大学学报：自然科学版，2012，（2）：43-46.
[7] 闫海峰，刘三阳.股票价格遵循Ornstein-Uhlenback过程的期权定价[J].系统工程学报，2003，（6）：547-551.
[8] 约翰·赫尔.期权、期货和其他衍生产品[M].张陶伟，译.北京：华夏出版社，2000.
[9] A.Dravid，M.Richardon，T.Sun.Pricing Foreign Index Contingent Claims：An Application to Nikkei Index Warrants[J].The Journal of Derivatives，Fall 1993.
[责任编辑 文 峰]
关键词：抵押贷款保险;期权;鞅定价
中图分类号：F840 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2021）30-0040-03
一、研究背景
在我国，个人住房抵押按揭贷款虽然起步较晚，政府和监管部门相应的法律法规也不完善，但是，随着近年来城市规模的迅速扩张，我国金融机构的房地产抵押贷款业务发展却十分迅猛。不少金融机构为获取高额利润，不惜降低住房抵押贷款的发放标准，大力发展住房抵押信贷，并将其作为主营业务。住房抵押贷款得到快速发展，住房抵押信贷在银行资产中所占比例逐渐增大，风险逐渐积累。个人住房抵押贷款业务中，信用风险是银行面临的最基本最直接的风险，借款人可能因为个人的经济情况、疾病、意外事故等被迫违约，也可能因抵押房产价值下降而理性违约。利率风险、管理风险、资金流动性风险、抵押物处置风险等等，都是较为常见的风险。如果风险过度累积，外部经济环境一旦发生波动，房地产泡沫极易破裂，房地产市场的剧烈震荡必将导致宏观经济的剧烈波动，爆发金融危机的可能性极大。
历史是一面镜子，2008年全面爆发的美国次贷危机，直接由住房金融危机引起，随后迅速蔓延，最终引发全球性的金融风暴，导致大规模的经济衰退。次贷危机造成的严重后果警示人们，必须对住房金融风险重新进行审视。2019年底，新型冠状病毒感染导致的肺炎大爆发，大量人员感染、死亡，许多国家和地区被迫实行封闭管理。突如其来的疫情给全球经济带来巨大影响，经济下滑和大规模失业已经发生，押贷款风险快速上升，不可控因素增加。因此，迫切需要建立、健全防范住房抵押贷款风险的对策。
我国没有抵押贷款政府担保制度，不过国外有一些经验值得借鉴。在加拿大，政府与保险公司会参与到个人住房按揭贷款的审批和发放过程中来，为高风险贷款提供政府担保。加拿大按揭贷款和住房公司（简称CMHC）对贷款额超过房屋总价值80%的抵押按揭业务提供强制保险保障。假若借款人违约，CMHC则对贷款人进行保险赔付。贷款审批通过后，CMHC保费通常会加入贷款总额，分期支付，并不要求借款人一次性付清。这种保险既能有效地分散、转嫁风险，又能满足低收入者的住房需求，改善民生。
目前，中央和地方政府积极采取各项措施，对房地产业进行宏觀调控，综合运用财税、立法等多种手段抑制房地产泡沫。坚持“房子是用来住的，不是用来炒的”，要求“坚持不将房地产作为短期刺激经济的手段”。抑制房地产泡沫，必然要防范住房抵押贷款风险，而防范住房抵押贷款风险的对策除了贷款金融机构自身风险管理的改进、风险预警机制的建立、个人征信体系的完善、抵押贷款相应法律法规的建立、各地政府出台的“房产新政”之外，还有一种行之有效的方法——建立健全抵押贷款保险机制，利用保险来分散和转移风险。随着我国经济的腾飞，金融市场和避险工具的不断完善，我国的抵押贷款保险业务的前景是广阔的，应予以高度的重视。
二、房屋抵押贷款保险的一种创新设计
住房抵押贷款保证险是贷款银行要求借款购房者投保的一种险种。国内的保险公司曾开办过一段时期的这种保险，合同约定，即在借款期限内，如果借款人违约，不能如期偿还借款，贷款银行的损失就由签约的保险公司进行全额或者部分赔付[1～2]。全额担保和部分担保是保证险的两种不同类型。保险公司为减少承担的风险，只对住房抵押贷款余额的一定比例实施担保，这就是部分担保保证险。合理借鉴并融合国外抵押贷款保险的经验，在保证险的基础上适当改进，给出如下保险设计：商定两个常数k1，k2（0<k1≤1，0≤k2<1），损失额若控制在在原始贷款本金A0的商定比例k1内，保险公司赔付全部损失;若超过这一商定的额度k1A0，额度k1A0由保险公司赔付，超出的部分依据协商比例k2在保险公司和贷款银行之间分配损失额，因此不妨称它为协同保险[3]。
设T时刻的未偿付额U（T）=U为常数（可由风险信用评估得到），无风险利率为时间t的函数r（t），房产价格为时间t的函数PH（T），贷款机构持有的抵押贷款协同保险保单的到期收益为VT[4～7]。
如果借款人违约，保险公司可以采取以下两种方式之一进行赔付。
一是如果未偿付额没有超出额度k1A0，保险公司赔付全部未偿贷款余额，房屋产权交由保险公司实现抵押权。赔付额为max（U（T）-？琢PH（T），0），其中？琢为实现抵押权后所得住房价值比例，？琢为常数。
二是如果未偿付额超出额度k1A0，则房屋产权由贷款机构处置实现抵押权后，保险公司再进行赔付，赔付额为：k1A0+k2[U（T）-？琢PH（T）-k1A0]。
综上可知，协同保险保单的到期收益如下：
VT=max（U（T）-？琢PH（T），0），max（U（T）-？琢PH（T），0）<k1A0k1A0+k2[U（T）-？琢PH（T）-k1A0]，U（T）-？琢PH（T）≥k1A0
（1）
三、金融数学模型的构建
考虑连续时间的金融市场，贷款期限为[0，T]，0表示现在，T表示到期日。给定某完备概率空间（？赘，F，P），（Ft）0≤t≤T为相应的自然布朗讯息流，FT=F，P是风险环境下的概率测度。 房屋的价格设为PH（t），它是随机波动变化的，用Ornstein-Uhlenback过程来描述PH（t）的动态过程，满足的随机微分方程如下：
四、房屋抵押贷款保险的Martingale 评价
对衍生性商品进行评价，常用解偏微分方程的方法，但其过程复杂，难度较大。概率平赌评价方法（the Martingale Pricing Method）是评价衍生性商品的另一種途径。根据Martingale 评价方法，一种证券（或衍生性商品）的价格，在风险中性的测度下，可借助于将该证券的期望现金流折现来得到[8]。Martingale评价方法较简单直观，应用范围广泛，但也有其局限性，它通常需要假设金融市场是无套利的完备市场，若是金融市场有套利或者不完备，其使用就存在一定的困难。下面假设金融市场完备、无套利，用Martingale评价方法计算房屋抵押贷款协同保险的无套利定价。
其中，？椎（·）表示标准正态分布函数，IA为A的示性函数。
定理1：假设市场完备无套利，房屋抵押贷款协同保险的合约期限为[0，T]，到期现金流满足式（1），无风险利率为时间t的函数r（t），房屋的价格H（t）遵从广义Ornstein-Uhlenback过程，其价格变化满足式（2），未偿付额设为常数U，则该协同保险的保费（Martingale 评价）为：
代入式（6）、式（7）、式（8）、式（9），化简式（5），定理得证。①
参考文献：
[1] 侯新华，田策.住房抵押贷款保证险研究[J].中国房地产金融，2002，（11）：11-13.
[2] 戴建国，黄培清.住房抵押贷款定价研究进展[J].管理工程学报，2001，（1）：72-74.
[3] 毛宏，罗守成，等.国外保险定价的发展及其对我国的借鉴[J].运筹与管理，2003，（2）：77-82.
[4] 陈丽萍，杨向群.房价服从非时齐Poisson跳扩散的住房抵押贷款保证险的定价[J].应用概率统计，2007，（4）：345-351.
[5] 李晨，陈丽萍，杨向群.随机波动率与跳扩散相结合的保证险的鞅定价[J].系统工程，2009，（3）：41-45.
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[7] 闫海峰，刘三阳.股票价格遵循Ornstein-Uhlenback过程的期权定价[J].系统工程学报，2003，（6）：547-551.
[8] 约翰·赫尔.期权、期货和其他衍生产品[M].张陶伟，译.北京：华夏出版社，2000.
[9] A.Dravid，M.Richardon，T.Sun.Pricing Foreign Index Contingent Claims：An Application to Nikkei Index Warrants[J].The Journal of Derivatives，Fall 1993.
[责任编辑 文 峰]