论文部分内容阅读
三垂线定理是贯串于整个《立体几何》始终的一个定理. 它是证明两线垂直和空间角转化为平面角的基础. 同时, 解决某些轨迹问题, 也离不开它. 在研究立体几何问题中, 往往把空间图形的问题, 转化为平面图形的问题去解决, 由于三垂线定理能给我们提供直角, 这就为把空间图形问题转化为解直角三角形问题,提供了良好的条件. 因此在解决空间图形问题时, 要充分发挥三垂线定理的作用.
一、证垂直: 三垂线定理是证明垂直关系的基础.
例1 (2009年北京宣武)如图1,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,
∠BCD=60°, 点E是BC边的中点, AC与DE交于点O, PO⊥平面ABCD.
求证: PD⊥BC.
分析: PD是底面的斜线, BC是底面内的一条直线. 根据三垂线定理,
只要证明PD在底面内的射影垂直于BC.
在菱形ABCD中, 连接DB, 则△BCD是等边三角形.
因为点E是BC边的中点, 所以 DE⊥BC. 因为 PO⊥平面ABCD, 所以 OD是斜线PD在底面ABCD内的射影.
根据三垂线定理 PD⊥BC.
点评: 本题利用射影OD⊥BC, 根据三垂线定理得到斜线PD⊥BC. 这是证明两线垂直常用的方法.
例2 (2008年全国卷Ⅱ) 如图2, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB=4, 点E在C1C上, 且C1E=3EC, 证明: A1C⊥平面BED .
分析: 要证A1C⊥平面BED, 只要证明A1C垂直于平面BED内的两条相交直线. 连结AC交BD于F, 则BD⊥AC, 由三垂线定理知, BD⊥A1C. 连结EF交A1C于G, 在平面A1CA内, 由于
AA1FC=ACCE=22
. 故Rt△A1AC∽Rt△FCE, ∠AA1C=∠CFE, ∠CFE与∠FCA1互余, 于是A1C⊥EF, A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直, 所以 A1C⊥平面BED .
点评: 本题利用三垂线定理证明BD垂直于平面BED内的直线A1C, 这说明: 线线垂直是线面垂直的基础. 同样, 由A1C⊥平面BED, 且A1C平面A1CA, 得平面A1CA⊥平面BED.
故线面垂直又是面面垂直的基础. 因此, 三垂线定理是证明垂直的基础.
二、求空间角: 三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
例3 (2005年天津卷) 如图3, 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠A1AB=
∠A1AC, AB=AC,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°, E是棱B1C1的中点. 求A1A与底面ABC所成的角.
分析: 先把A1A与底面所成的角转化为平面角. 过A1作A1H⊥平面ABC于H, 连结AH, 并延长交BC于G, 连结EG, 于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角. 因为∠A1AB=∠A1AC, 所以AG为∠BAC的平分线.又AB=AC, 则AG⊥BC, 且G为BC中点. 因此，由三垂线定理, 得A1A⊥BC. 因为A1A∥B1B, 且EG∥B1B,所以EG⊥BC, 于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角, 即∠AGE=120°.由于四边形A1AGE为平行四边形, 得∠A1AG=60°. 所以, A1A与底面ABC所成的角为60°.
点评:为了找出斜线与平面所成角, 二面角的平面角, 需用三垂线定理才能得到A1A⊥BC. 这是找空间角常用的方法. 所以三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
例4 (2010年湖北卷) 如图4,在四面体ABOC中, OC⊥OA, OC⊥OB,
∠AOB=120°, 且OA=OB=OC=1.(Ⅰ)设P为AC的中点, Q在AB上且AB=3AQ,
证明:PQ⊥OA; (Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
分析: (Ⅰ) 为了构造与OA垂直的平面, 在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N, 连结CN. 由OA⊥OC,OA⊥ON, 得OA⊥平面ONC, 从而OA⊥CN. 利用三角形的边角关系及AB=3AQ, 可得Q为AN中点, 所以PQ∥CN, 即可证明PQ⊥OA.
(Ⅱ)为了找出二面角O-AC-B的平面角, 连结PN、PO, 由OC⊥OA,OC⊥OB得OC⊥平面AOB, 从而OC⊥ON, 又OA⊥ON,所以 ON⊥平面AOC, OP是NP在平面AOC内的射影, 而AC⊥OP, 根据三垂线定理知AC⊥NP, 所以∠OPN为二面角O-AC-B的平面角. 解三个直角三角形△COA,△AON,△PON, 分别求得:
OP=22
,ON=33,PN=
306
,所以cos∠OPN=
OPPN
=155.
点评: 为了找出二面角的平面角, 需用三垂线定理才能得到AC⊥NP. 本例同样说明: 三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
三、求轨迹
例5 (2007年北京崇文)如图5, P是正四面体V-ABC的面VBC上一点,点P到平面ABC的距离与到点V的距离相等, 则动点P的轨迹为. 其轨迹的离心率为.
分析: 设正四面体的棱长为2, 取AB中点E, 连结VE,CE,则∠VEC是二面角V-AB-C的平面角
VE=CE=3, 所以
cos∠VEC=3+3-4
2×3×3
=13,
sin∠VEC=223
.在平面ABC内, 过P的射影D作DF⊥BC于F, 连结PF, 根据三垂线定理知BC⊥PF, 所以 ∠PFD是二面角V-BC-A的平面角. ∠PFD=∠VEC.
由此可得:
sin∠PFD=
PDPF
=223
,所以PVPF=223.
这就说明: 在平面VBC内, 动点P到定点V的距离和它到定直线BC的距离之比, 是一个小于1的正数. 根据椭圆的第二定义, 动点P的轨迹是椭圆的一部分, 其轨迹的离心率为
223
点评:在某些求轨迹的问题中, 也离不开三垂线定理.
练习:
1.四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC⊥底面ABCD, 已知∠ABC=45°, AB=2, BC=22,SA=SB=3. 证明: SA⊥BC .
2.在三棱锥P-ABC中, PA=PB, PA⊥PB, AB⊥BC, ∠BAC=30°, 平面PAB⊥平面ABC. 求二面角P-AC-B的大小.
3.四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形, 其对角线AC=2, BD=
2. CF⊥底面ABCD, CF=2.求二面角B-AF-D 的大小.
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3, 点M在棱AB上, 且AM=1, 点P是平面ABCD上的动点, 且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为9, 则动点P的轨迹是什么图形? 该图形与线段BC有没有交点? 若有, 指出是哪一点; 若没有, 说明理由.
答案:
1.作AO⊥BC于D, 利用三垂线定理 2.arctan2 3.45° 4.抛物线,交于E,BE=5
山东省滨州市沾化县第二中学（256800）
一、证垂直: 三垂线定理是证明垂直关系的基础.
例1 (2009年北京宣武)如图1,已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形,
∠BCD=60°, 点E是BC边的中点, AC与DE交于点O, PO⊥平面ABCD.
求证: PD⊥BC.
分析: PD是底面的斜线, BC是底面内的一条直线. 根据三垂线定理,
只要证明PD在底面内的射影垂直于BC.
在菱形ABCD中, 连接DB, 则△BCD是等边三角形.
因为点E是BC边的中点, 所以 DE⊥BC. 因为 PO⊥平面ABCD, 所以 OD是斜线PD在底面ABCD内的射影.
根据三垂线定理 PD⊥BC.
点评: 本题利用射影OD⊥BC, 根据三垂线定理得到斜线PD⊥BC. 这是证明两线垂直常用的方法.
例2 (2008年全国卷Ⅱ) 如图2, 正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AA1=2AB=4, 点E在C1C上, 且C1E=3EC, 证明: A1C⊥平面BED .
分析: 要证A1C⊥平面BED, 只要证明A1C垂直于平面BED内的两条相交直线. 连结AC交BD于F, 则BD⊥AC, 由三垂线定理知, BD⊥A1C. 连结EF交A1C于G, 在平面A1CA内, 由于
AA1FC=ACCE=22
. 故Rt△A1AC∽Rt△FCE, ∠AA1C=∠CFE, ∠CFE与∠FCA1互余, 于是A1C⊥EF, A1C与平面BED内两条相交直线BD、EF都垂直, 所以 A1C⊥平面BED .
点评: 本题利用三垂线定理证明BD垂直于平面BED内的直线A1C, 这说明: 线线垂直是线面垂直的基础. 同样, 由A1C⊥平面BED, 且A1C平面A1CA, 得平面A1CA⊥平面BED.
故线面垂直又是面面垂直的基础. 因此, 三垂线定理是证明垂直的基础.
二、求空间角: 三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
例3 (2005年天津卷) 如图3, 在斜三棱柱ABC-A1B1C1中, ∠A1AB=
∠A1AC, AB=AC,侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°, E是棱B1C1的中点. 求A1A与底面ABC所成的角.
分析: 先把A1A与底面所成的角转化为平面角. 过A1作A1H⊥平面ABC于H, 连结AH, 并延长交BC于G, 连结EG, 于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角. 因为∠A1AB=∠A1AC, 所以AG为∠BAC的平分线.又AB=AC, 则AG⊥BC, 且G为BC中点. 因此，由三垂线定理, 得A1A⊥BC. 因为A1A∥B1B, 且EG∥B1B,所以EG⊥BC, 于是∠AGE为二面角A-BC-E的平面角, 即∠AGE=120°.由于四边形A1AGE为平行四边形, 得∠A1AG=60°. 所以, A1A与底面ABC所成的角为60°.
点评:为了找出斜线与平面所成角, 二面角的平面角, 需用三垂线定理才能得到A1A⊥BC. 这是找空间角常用的方法. 所以三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
例4 (2010年湖北卷) 如图4,在四面体ABOC中, OC⊥OA, OC⊥OB,
∠AOB=120°, 且OA=OB=OC=1.(Ⅰ)设P为AC的中点, Q在AB上且AB=3AQ,
证明:PQ⊥OA; (Ⅱ)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
分析: (Ⅰ) 为了构造与OA垂直的平面, 在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N, 连结CN. 由OA⊥OC,OA⊥ON, 得OA⊥平面ONC, 从而OA⊥CN. 利用三角形的边角关系及AB=3AQ, 可得Q为AN中点, 所以PQ∥CN, 即可证明PQ⊥OA.
(Ⅱ)为了找出二面角O-AC-B的平面角, 连结PN、PO, 由OC⊥OA,OC⊥OB得OC⊥平面AOB, 从而OC⊥ON, 又OA⊥ON,所以 ON⊥平面AOC, OP是NP在平面AOC内的射影, 而AC⊥OP, 根据三垂线定理知AC⊥NP, 所以∠OPN为二面角O-AC-B的平面角. 解三个直角三角形△COA,△AON,△PON, 分别求得:
OP=22
,ON=33,PN=
306
,所以cos∠OPN=
OPPN
=155.
点评: 为了找出二面角的平面角, 需用三垂线定理才能得到AC⊥NP. 本例同样说明: 三垂线定理是把空间角转化为平面角的基础.
三、求轨迹
例5 (2007年北京崇文)如图5, P是正四面体V-ABC的面VBC上一点,点P到平面ABC的距离与到点V的距离相等, 则动点P的轨迹为. 其轨迹的离心率为.
分析: 设正四面体的棱长为2, 取AB中点E, 连结VE,CE,则∠VEC是二面角V-AB-C的平面角
VE=CE=3, 所以
cos∠VEC=3+3-4
2×3×3
=13,
sin∠VEC=223
.在平面ABC内, 过P的射影D作DF⊥BC于F, 连结PF, 根据三垂线定理知BC⊥PF, 所以 ∠PFD是二面角V-BC-A的平面角. ∠PFD=∠VEC.
由此可得:
sin∠PFD=
PDPF
=223
,所以PVPF=223.
这就说明: 在平面VBC内, 动点P到定点V的距离和它到定直线BC的距离之比, 是一个小于1的正数. 根据椭圆的第二定义, 动点P的轨迹是椭圆的一部分, 其轨迹的离心率为
223
点评:在某些求轨迹的问题中, 也离不开三垂线定理.
练习:
1.四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形, 侧面SBC⊥底面ABCD, 已知∠ABC=45°, AB=2, BC=22,SA=SB=3. 证明: SA⊥BC .
2.在三棱锥P-ABC中, PA=PB, PA⊥PB, AB⊥BC, ∠BAC=30°, 平面PAB⊥平面ABC. 求二面角P-AC-B的大小.
3.四棱锥F-ABCD的底面ABCD是菱形, 其对角线AC=2, BD=
2. CF⊥底面ABCD, CF=2.求二面角B-AF-D 的大小.
4.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3, 点M在棱AB上, 且AM=1, 点P是平面ABCD上的动点, 且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为9, 则动点P的轨迹是什么图形? 该图形与线段BC有没有交点? 若有, 指出是哪一点; 若没有, 说明理由.
答案:
1.作AO⊥BC于D, 利用三垂线定理 2.arctan2 3.45° 4.抛物线,交于E,BE=5
山东省滨州市沾化县第二中学（256800）