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“问题是数学的心脏!”发现问题和解决问题是数学的真正组成部分,而作为一年一度“万众瞩目”的高考试题,其典型性不言而喻,探究其求解之道,不仅是巩固基础、高效学习的需要,更是提高解题能力,体验数学乐趣的需要.
例题 设[x,y,z∈R],且满足:[x2+y2+z2=1,][x+2y+3z=14],则[x+y+z=] .
解法一(柯西不等式) 由“三维柯西不等式”可得,
[(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2],
当且仅当[x∶y∶z=1∶2∶3]时等号成立,
由条件[x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14]得,
[1×14=(14)2](即上式等号成立).
联立[x∶y∶z=1∶2∶3],[x2+y2+z2=1,][x+2y+3z=14]得,
[x=114],[y=214],[z=314],
所以[x+y+z=614=3147].
解法二(判别式法) 设[x+y+z=t],结合[x+2y+3z=14]得,
[x=2t+z-14,y=14-t-2z].
代入[x2+y2+z2=1]整理得,
[6z2+(8t-614)z+5t2-614t+27=0],
由[Δ=(8t-614)2-24(-614t+27)≥0],
即[(7t-32)2≤0],
故[t=3147],即[x+y+z=3147].
解法三(换元法) 由[x2+y2+z2=1]知,不妨设[x=sinα,y=cosαsinβ,z=cosαcosβ,]其中[α∈[0,2π),][β∈[0,2π)],
代入[x+2y+3z=14]得,
[x+2y+3z=][sinα+cosα(2sinβ+3cosβ)]
[=sinα+13sin(β+θ)cosα]
[=1+13sin2(β+θ)sin(α+φ)]
[≤1+13sin2(β+θ)][≤14].
(其中[cosθ=213,sinθ=313],[cosφ=][11+13sin2(β+θ)],[sinφ=13sin(β+θ)1+13sin2(β+θ)]),
当[sin(β+θ)=sin(α+φ)=1]时等号成立,此时[sinβ=cosθ=213,][cosβ=sinθ=313],[sinα=cosφ=114],[cosα=sinφ=1314],
则[x=114],[y=214],[z=314].
所以[x+y+z=614=3147].
解法四(数形结合法) 将[z]当作常数,由[x2+y2+z2=1]得[x2+y2=1-z2],它表示[xOy]平面上圆心[(0,0)]的圆.
[x+2y+3z=14]即[x+2y+(3z-14)=0],它表示[xOy]平面上的直线.
因为圆心[(0,0)]到直线[x+2y+(3z-14)=0]的距离不大于半径,即[d=3z-145][≤1-z2],
则[z=314],进而解得[x=114],[y=214],
所以[x+y+z=614=3147].
例题 设[x,y,z∈R],且满足:[x2+y2+z2=1,][x+2y+3z=14],则[x+y+z=] .
解法一(柯西不等式) 由“三维柯西不等式”可得,
[(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2],
当且仅当[x∶y∶z=1∶2∶3]时等号成立,
由条件[x2+y2+z2=1,x+2y+3z=14]得,
[1×14=(14)2](即上式等号成立).
联立[x∶y∶z=1∶2∶3],[x2+y2+z2=1,][x+2y+3z=14]得,
[x=114],[y=214],[z=314],
所以[x+y+z=614=3147].
解法二(判别式法) 设[x+y+z=t],结合[x+2y+3z=14]得,
[x=2t+z-14,y=14-t-2z].
代入[x2+y2+z2=1]整理得,
[6z2+(8t-614)z+5t2-614t+27=0],
由[Δ=(8t-614)2-24(-614t+27)≥0],
即[(7t-32)2≤0],
故[t=3147],即[x+y+z=3147].
解法三(换元法) 由[x2+y2+z2=1]知,不妨设[x=sinα,y=cosαsinβ,z=cosαcosβ,]其中[α∈[0,2π),][β∈[0,2π)],
代入[x+2y+3z=14]得,
[x+2y+3z=][sinα+cosα(2sinβ+3cosβ)]
[=sinα+13sin(β+θ)cosα]
[=1+13sin2(β+θ)sin(α+φ)]
[≤1+13sin2(β+θ)][≤14].
(其中[cosθ=213,sinθ=313],[cosφ=][11+13sin2(β+θ)],[sinφ=13sin(β+θ)1+13sin2(β+θ)]),
当[sin(β+θ)=sin(α+φ)=1]时等号成立,此时[sinβ=cosθ=213,][cosβ=sinθ=313],[sinα=cosφ=114],[cosα=sinφ=1314],
则[x=114],[y=214],[z=314].
所以[x+y+z=614=3147].
解法四(数形结合法) 将[z]当作常数,由[x2+y2+z2=1]得[x2+y2=1-z2],它表示[xOy]平面上圆心[(0,0)]的圆.
[x+2y+3z=14]即[x+2y+(3z-14)=0],它表示[xOy]平面上的直线.
因为圆心[(0,0)]到直线[x+2y+(3z-14)=0]的距离不大于半径,即[d=3z-145][≤1-z2],
则[z=314],进而解得[x=114],[y=214],
所以[x+y+z=614=3147].