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考查双曲线的方程
例1 已知方程[x2m2+n-y23m2-n=1]表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A. （-1，3） B. （-1，[3]）
C. （0，3） D. （0，[3]）
解析 若[n≥0，]则[m2+n>0]，焦点落在[x]轴上.
若[n<0]，则[3m2-n>0].
由于[y23m2-n]前面有一个负号，
所以焦点仍落在[x]轴上.
所以[a2=m2+n]，[b2=3m2-n].
由[c=2]及[c2=a2+b2]得，[m2+n+3m2-n=4]，
解得，[m2=1].
因为方程[x21+n-y23-n=1]表示双曲线，
所以[1+n>0，3-n>0，]即[-1 所以[n]的取值范围是[-1，3].
答案 A
点评 本题只需将已知条件[2c=4]及基础知识[a2]，[b2]大于0用上即可.
考查渐近线
例2 已知双曲线C：[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为[52]，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.y=[±14x] B.y=[±13x]
C.y=[±12x] D.y=±x
解析 ∵[e=ca=52]，∴[e2=c2a2=a2+b2a2=54].
∴a2=4b2，即[ba=±12].
∴所求渐近线方程为[y=±bax=±12x].
答案 C
点评 要求双曲线的渐近线方程，只需将方程化为标准方程后，将方程中的1换成0，然后整理成直线方程即可. 本题由离心率及[c2=a2+b2]很容易求出[ba]的值.
考查离心率
例3 设直线[l]过双曲线[C]的一个焦点，且与双曲线C的一条对称轴垂直，[l]与双曲线[C]交于A， B两点，[|AB|]为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A. [2] B. [3]
C. [2] D. [3]
解析 由通径[|AB|=2b2a=4a]得，[b2=2a2].
所以[c2-a2=2a2]，即[c2=3a2.] [∴e=3].
答案 B
点评 离心率属于圆锥曲线中的高频考点，其综合性及灵活性都较高，一般都设置为中、高档难度的题. 其实离心率问题的规律性也很强，只要基础知识扎实，一般都能解决. 因为离心率[e=ca]，所以只要找到一个只含有[a，c]的齐次式即可. 而实际上要得到这样的式子，需两个含有[a，b，c]的式子，消去[b]即可. 根据双曲线的定义，已经有一个式子：[c2=a2+b2]，所以只需根据已知条件再得到一个等式即可. 如本题中的[2b2a=4a].
与其他知识的综合
例4 等轴双曲线[C]的中心在原点，焦点在[x]轴上，双曲线[C]与抛物线[y2=16x]的准线交于[A，B]两点，[AB=43]，则双曲线[C]的实轴长为（ ）
A.[2] B. [22]
C.[4] D. [8]
解析 由题意得，[A（-4，23）]，[B（-4，-23）]，
所以[a2=（-4）2-（23）2=4]，即[a=2].
答案 C
例5 已知F为双曲线C：x2-my2=3m（m>0）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ）
A.[3] B.3
C.[3m] D.3m
解析 由题意得，双曲线C为[x23m-y23=1]，则双曲线的半焦距[c=3m+3]，渐近线方程为[y=±1mx]，即[x±my=0].
不妨取右焦点[F3m+3，0]，
由点到直线的距离公式得，[d=3m+31+m=3].
答案 A
例6 已知[M（x0，y0）]是双曲线[C：x22-y2=1]上的一点，[F1，F2]是双曲线C上的两个焦点，若[MF1?MF2<0]，则[y0]的取值范围是（ ）
A. （-[33]，[33]） B. （-[36]，[36]）
C. （[-223]，[223]） D. （[-233]，[233]）
解析 由题意得，[F1（-3，0），F2（3，0）]，[x202-y20=1].
所以[MF1?MF2]=[（-3-x0，-y0）?（3-x0，-y0）]
=[x20+y20-3=3y20-1<0].
即[-33 答案 A
点评 解决这类问题只需将相关知识和已知条件结合用式子表达出来即可. 如例5中，只需将点到直线的距离公式写出来，问题就解决了. 例6中，只需将向量的数量积用坐标表示出来，然后通过双曲线方程消去一个参数，问题也就迎刃而解了.
[练习]
1. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为（ ）
A.[5] B.[2]
C.[3] D.[2]
2. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在双曲线C上.若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A.[14] B.[13]
C.[24] D.[23]
3. 若椭圆[x2m+y2n=1m>n>0]与双曲线[x2a-y2b=1][（a>b>0）]有相同的焦点[F1，F2，P]是两条曲线的一个交点，则[|PF1|·|PF2|]的值是（ ）
A. [m-a] B. [12m-a]
C. [m2-a2] D. [m-a]
4. 双曲线[x2-y2=1]的一弦的中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（ ）
A. [y=2x-1] B. [y=2x-2]
C. [y=2x-3] D. [y=2x+3]
5. 设[P]为双曲线[x2-y212=1]上的一点，[F1，F2]是该双曲线的两个焦点，若[|PF1|∶|PF2|=3∶2]，则[△PF1F2]的面积为（ ）
A. [63] B. [12]
C. [123] D. [24]
[参考答案]
1～5 DAACB
例1 已知方程[x2m2+n-y23m2-n=1]表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（ ）
A. （-1，3） B. （-1，[3]）
C. （0，3） D. （0，[3]）
解析 若[n≥0，]则[m2+n>0]，焦点落在[x]轴上.
若[n<0]，则[3m2-n>0].
由于[y23m2-n]前面有一个负号，
所以焦点仍落在[x]轴上.
所以[a2=m2+n]，[b2=3m2-n].
由[c=2]及[c2=a2+b2]得，[m2+n+3m2-n=4]，
解得，[m2=1].
因为方程[x21+n-y23-n=1]表示双曲线，
所以[1+n>0，3-n>0，]即[-1
答案 A
点评 本题只需将已知条件[2c=4]及基础知识[a2]，[b2]大于0用上即可.
考查渐近线
例2 已知双曲线C：[x2a2-y2b2=1]（a>0，b>0）的离心率为[52]，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A.y=[±14x] B.y=[±13x]
C.y=[±12x] D.y=±x
解析 ∵[e=ca=52]，∴[e2=c2a2=a2+b2a2=54].
∴a2=4b2，即[ba=±12].
∴所求渐近线方程为[y=±bax=±12x].
答案 C
点评 要求双曲线的渐近线方程，只需将方程化为标准方程后，将方程中的1换成0，然后整理成直线方程即可. 本题由离心率及[c2=a2+b2]很容易求出[ba]的值.
考查离心率
例3 设直线[l]过双曲线[C]的一个焦点，且与双曲线C的一条对称轴垂直，[l]与双曲线[C]交于A， B两点，[|AB|]为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为（ ）
A. [2] B. [3]
C. [2] D. [3]
解析 由通径[|AB|=2b2a=4a]得，[b2=2a2].
所以[c2-a2=2a2]，即[c2=3a2.] [∴e=3].
答案 B
点评 离心率属于圆锥曲线中的高频考点，其综合性及灵活性都较高，一般都设置为中、高档难度的题. 其实离心率问题的规律性也很强，只要基础知识扎实，一般都能解决. 因为离心率[e=ca]，所以只要找到一个只含有[a，c]的齐次式即可. 而实际上要得到这样的式子，需两个含有[a，b，c]的式子，消去[b]即可. 根据双曲线的定义，已经有一个式子：[c2=a2+b2]，所以只需根据已知条件再得到一个等式即可. 如本题中的[2b2a=4a].
与其他知识的综合
例4 等轴双曲线[C]的中心在原点，焦点在[x]轴上，双曲线[C]与抛物线[y2=16x]的准线交于[A，B]两点，[AB=43]，则双曲线[C]的实轴长为（ ）
A.[2] B. [22]
C.[4] D. [8]
解析 由题意得，[A（-4，23）]，[B（-4，-23）]，
所以[a2=（-4）2-（23）2=4]，即[a=2].
答案 C
例5 已知F为双曲线C：x2-my2=3m（m>0）的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为（ ）
A.[3] B.3
C.[3m] D.3m
解析 由题意得，双曲线C为[x23m-y23=1]，则双曲线的半焦距[c=3m+3]，渐近线方程为[y=±1mx]，即[x±my=0].
不妨取右焦点[F3m+3，0]，
由点到直线的距离公式得，[d=3m+31+m=3].
答案 A
例6 已知[M（x0，y0）]是双曲线[C：x22-y2=1]上的一点，[F1，F2]是双曲线C上的两个焦点，若[MF1?MF2<0]，则[y0]的取值范围是（ ）
A. （-[33]，[33]） B. （-[36]，[36]）
C. （[-223]，[223]） D. （[-233]，[233]）
解析 由题意得，[F1（-3，0），F2（3，0）]，[x202-y20=1].
所以[MF1?MF2]=[（-3-x0，-y0）?（3-x0，-y0）]
=[x20+y20-3=3y20-1<0].
即[-33
点评 解决这类问题只需将相关知识和已知条件结合用式子表达出来即可. 如例5中，只需将点到直线的距离公式写出来，问题就解决了. 例6中，只需将向量的数量积用坐标表示出来，然后通过双曲线方程消去一个参数，问题也就迎刃而解了.
[练习]
1. 已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则双曲线E的离心率为（ ）
A.[5] B.[2]
C.[3] D.[2]
2. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在双曲线C上.若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（ ）
A.[14] B.[13]
C.[24] D.[23]
3. 若椭圆[x2m+y2n=1m>n>0]与双曲线[x2a-y2b=1][（a>b>0）]有相同的焦点[F1，F2，P]是两条曲线的一个交点，则[|PF1|·|PF2|]的值是（ ）
A. [m-a] B. [12m-a]
C. [m2-a2] D. [m-a]
4. 双曲线[x2-y2=1]的一弦的中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（ ）
A. [y=2x-1] B. [y=2x-2]
C. [y=2x-3] D. [y=2x+3]
5. 设[P]为双曲线[x2-y212=1]上的一点，[F1，F2]是该双曲线的两个焦点，若[|PF1|∶|PF2|=3∶2]，则[△PF1F2]的面积为（ ）
A. [63] B. [12]
C. [123] D. [24]
[参考答案]
1～5 DAACB