论文部分内容阅读
“一题十一解”看辅助线的添加
《四边形》一章中,添加辅助线构造平行四边形是必须要掌握的一个重点。很多学生往往不知如何添加辅助线。现将一道题的十一种解法小结如下,以供学生及同行参考。
探究:已知梯形ABCD中,AB∥CD,以AC、AD为边作一个?荀ACED,DC的延长线交BE于F,试说明EF与FB相等。
(一)构造过点F的平行四边形
解法1:如图1所示,过F作FM∥AD交AB于M,得?荀AMFD,
则AD=MF=CE,
∠FMB=∠CFM=∠ECF,
∠MBF=∠EFC,
∴⊿FMB≌⊿ECF,
∴EF=FB。
解法2:如图2所示,过F作FN∥AC交AB于N,得?荀ANFC,
则有NF=AC=DE,
∠EDF=∠DCA=∠CAB=∠FNB,
∠EFD=∠FBN,
∴⊿DEF≌⊿NFB,
∴EF=FB。
(二)构造过点C的平行四边形
解法3:如图3所示,延长EC交AB于点G,得?荀ADCG,
则有CG=DA=EC,
又∵CF∥GB,
∴EF=FB。
解法4:如图4所示,过点E作EH∥AB交AD延长线于H,得?荀DCEH,
则有DH=CE=AD,
又∵DF∥AB,
∴EF=FB。
解法5:如图5所示,过点B作BP∥AC交CF延长线于点P,得?荀ABPC,
则有BP=AC=ED,
BP∥AC∥DE,
∴∠EDF=∠P,
∠DEF=∠PBF,
∴⊿DEF≌⊿PBF,
∴EF=FB。
解法6:如图6所示,延长ED、BA于点Q,得?荀ACDQ,
则有QD=AC=DE,
又∵DF∥AB,
∴EF=FB。
解法7:如图7所示,连结AE交DC于点O,则有点O是的AE中点,
又∵OF∥AB,
∴EF=FB。
解法8:如图8所示,过点C作CS∥BF交AB于点S,得?荀CSBF,
则有∠EDF=∠DCA=∠CAS,
∠EFD=∠EBA=∠CSA,
DE=AC,CS=FB,
∴⊿DEF≌⊿ACS,
∴EF=CS,
∵CS=FB,
∴EF=FB。
(三)构造过点D的平行四边形
解法9:如图9所示,过点B作BT∥AD交DF的延长线于T,得?荀ABTD,
则有BT=AD=CE且 BT∥AD∥CE,
∴四边形BTEC是平行四边形,
∴EF=FB。
解法10:如图10所示,过点D作DI∥BE交AB于I,得?荀BFDI,
则有DI=BF,∠AID=∠ABE=∠CFE,
∵四边形ACED是平行四边形,
∴AD=CE;∠ADC=∠ECD,
∵∠ADC+∠DAI=∠ECD+∠ECF,
∴∠DAI=∠ECF,
∴⊿AID≌⊿CEF,
∴DI=EF,
又∵DI=FB,
∴EF=FB。
解法11:如图11所示,过点B作BK∥AD交DF的延长线于K,得?荀ABKD,
则有BK∥AD∥CE,
且BK=AD=CE,
∴∠ECF=∠K,
∠CEF=∠KBF,
∴⊿CEF≌⊿KBF,
∴EF=BF。
命题的目的:此题主要考查平行四边形的性质及证明两条线段相等的基本方法。
解题的关键:证法1、2、5、8、10、11利用平行四边形的性质得出三角形全等的条件,通过证明三角形全等证得EF=BF;证法3、4、6、7利用三角形或梯形的中位线证得EF=BF;证法7、9利用平行四边形的对角线互相平分的性质,构造出平行四边形,从而证得EF=BF。
《二元一次方程组的解法》的教学反思
2005年我从一所国办中学调入县城一所乡镇中学,该学校生源的状况是:及格率低、低分率高,一部分学生连四则运算都不会;此时恰好迎来人教新课标的第一轮使用。我一直在思考:怎样的教学才能适合学生?
在先前的解二元一次方程组的教学中,教材安排“代入法解二元一次方程组”在前,我就先教“代入法”,因为没有考虑到学生的知识结构,因此效果非常一般。现在我第二轮使用人教新课标,备课时我突发奇想:何不先讲“加减法解二元一次方程组”。我的具体做法如下:
考虑到部分学生的运算能力差,在解方程组之前用一节课简单介绍二元一次方程(组)的概念、二元一次方程(组)的解的概念,练习时降低要求,删去实际问题不讲,因为列方程解实际问题对于大多数的学生来讲是个难点,一般费时费力收效却甚微。然后用三、四节课的时间学习并巩固加减法解二元一次方程组,引导学生自己归纳方法。最后才学习代入法解二元一次方程组。这样取得了良好的教学效果。
总之,“加减法”在解题中出错率低,掌握了“加减法”, 在求第二个未知数时,学生常常会很自然地使用“代入法”,即便不能实现自动迁移,只要教师稍加提示就可以;然后在训练中得到加强。如果学生先学“加减法”,自然会习惯优先选择“加减法”解题。
如果下次再讲本节内容,我会直接用三课时甚至四课时的时间来学习加减消元法解二元一次方程组。因为学生掌握了二元一次方程组的解法后,类比学习一元一次方程的经验,就可以检验方程组的解,不用再费时间。同时要注意例题难度。未知数的系数由相等或互为相反数→倍数关系→互质→简单真分数→需要化简后再观察即由两方程直接相加(或相减)消元→一个方程扩大倍数后加减消元→两个方程都扩大倍数后加减消元。另外,课本中的练习题、习题最好能在课上五十分钟完成。以保证课内让学生得到充分的训练,教师通过巡视、个别辅导,使每一个学生都会解二元一次方程组。
一节数学公开课的课后反思
有一次,学校组织教学组听毛淑霞老师的公开课,听后我感受颇深。她的课堂内容充实、实用,尤其是突出的教室文化,为课堂学习营造了良好的氛围。
她们班的教室里,黑板上方正中是一面鲜红的国旗,国旗左面是“团结紧张”,右面是“严肃活泼” ; 黑板右边是“八荣八耻”,黑板左边“优秀作品展” ,贴着学生的优秀作文;教室左墙上贴着:“中学生日常行为规范”,右墙上贴着“中小学生守则”;教室的后墙正中的一块大黑板是她们班的文化园地。右面一幅“眼保健操挂图” ,左边是“光荣榜” ——那是进步学生,优秀学生的地盘。“墙壁”承载了这样多内容,因此她们班的好成绩显然也有“墙壁”一份功劳。
干净的环境让人舒服;各项制度给人以警戒,胜过老师每天说教;“眼保健操挂图” 提醒学生科学用眼;“八荣八耻” 、“ 中小学生守则”、“ 中小学生日常行为规范” 等这些都在教育学生!
身在这样的教室,好象回到了自己的家,见到了正等着自己回家的父母,有效提高了学习效率。学校无小事,事事有教育;教育无小事,处处皆育人。
课题来源——河北省教师教育学会
《四边形》一章中,添加辅助线构造平行四边形是必须要掌握的一个重点。很多学生往往不知如何添加辅助线。现将一道题的十一种解法小结如下,以供学生及同行参考。
探究:已知梯形ABCD中,AB∥CD,以AC、AD为边作一个?荀ACED,DC的延长线交BE于F,试说明EF与FB相等。
(一)构造过点F的平行四边形
解法1:如图1所示,过F作FM∥AD交AB于M,得?荀AMFD,
则AD=MF=CE,
∠FMB=∠CFM=∠ECF,
∠MBF=∠EFC,
∴⊿FMB≌⊿ECF,
∴EF=FB。
解法2:如图2所示,过F作FN∥AC交AB于N,得?荀ANFC,
则有NF=AC=DE,
∠EDF=∠DCA=∠CAB=∠FNB,
∠EFD=∠FBN,
∴⊿DEF≌⊿NFB,
∴EF=FB。
(二)构造过点C的平行四边形
解法3:如图3所示,延长EC交AB于点G,得?荀ADCG,
则有CG=DA=EC,
又∵CF∥GB,
∴EF=FB。
解法4:如图4所示,过点E作EH∥AB交AD延长线于H,得?荀DCEH,
则有DH=CE=AD,
又∵DF∥AB,
∴EF=FB。
解法5:如图5所示,过点B作BP∥AC交CF延长线于点P,得?荀ABPC,
则有BP=AC=ED,
BP∥AC∥DE,
∴∠EDF=∠P,
∠DEF=∠PBF,
∴⊿DEF≌⊿PBF,
∴EF=FB。
解法6:如图6所示,延长ED、BA于点Q,得?荀ACDQ,
则有QD=AC=DE,
又∵DF∥AB,
∴EF=FB。
解法7:如图7所示,连结AE交DC于点O,则有点O是的AE中点,
又∵OF∥AB,
∴EF=FB。
解法8:如图8所示,过点C作CS∥BF交AB于点S,得?荀CSBF,
则有∠EDF=∠DCA=∠CAS,
∠EFD=∠EBA=∠CSA,
DE=AC,CS=FB,
∴⊿DEF≌⊿ACS,
∴EF=CS,
∵CS=FB,
∴EF=FB。
(三)构造过点D的平行四边形
解法9:如图9所示,过点B作BT∥AD交DF的延长线于T,得?荀ABTD,
则有BT=AD=CE且 BT∥AD∥CE,
∴四边形BTEC是平行四边形,
∴EF=FB。
解法10:如图10所示,过点D作DI∥BE交AB于I,得?荀BFDI,
则有DI=BF,∠AID=∠ABE=∠CFE,
∵四边形ACED是平行四边形,
∴AD=CE;∠ADC=∠ECD,
∵∠ADC+∠DAI=∠ECD+∠ECF,
∴∠DAI=∠ECF,
∴⊿AID≌⊿CEF,
∴DI=EF,
又∵DI=FB,
∴EF=FB。
解法11:如图11所示,过点B作BK∥AD交DF的延长线于K,得?荀ABKD,
则有BK∥AD∥CE,
且BK=AD=CE,
∴∠ECF=∠K,
∠CEF=∠KBF,
∴⊿CEF≌⊿KBF,
∴EF=BF。
命题的目的:此题主要考查平行四边形的性质及证明两条线段相等的基本方法。
解题的关键:证法1、2、5、8、10、11利用平行四边形的性质得出三角形全等的条件,通过证明三角形全等证得EF=BF;证法3、4、6、7利用三角形或梯形的中位线证得EF=BF;证法7、9利用平行四边形的对角线互相平分的性质,构造出平行四边形,从而证得EF=BF。
《二元一次方程组的解法》的教学反思
2005年我从一所国办中学调入县城一所乡镇中学,该学校生源的状况是:及格率低、低分率高,一部分学生连四则运算都不会;此时恰好迎来人教新课标的第一轮使用。我一直在思考:怎样的教学才能适合学生?
在先前的解二元一次方程组的教学中,教材安排“代入法解二元一次方程组”在前,我就先教“代入法”,因为没有考虑到学生的知识结构,因此效果非常一般。现在我第二轮使用人教新课标,备课时我突发奇想:何不先讲“加减法解二元一次方程组”。我的具体做法如下:
考虑到部分学生的运算能力差,在解方程组之前用一节课简单介绍二元一次方程(组)的概念、二元一次方程(组)的解的概念,练习时降低要求,删去实际问题不讲,因为列方程解实际问题对于大多数的学生来讲是个难点,一般费时费力收效却甚微。然后用三、四节课的时间学习并巩固加减法解二元一次方程组,引导学生自己归纳方法。最后才学习代入法解二元一次方程组。这样取得了良好的教学效果。
总之,“加减法”在解题中出错率低,掌握了“加减法”, 在求第二个未知数时,学生常常会很自然地使用“代入法”,即便不能实现自动迁移,只要教师稍加提示就可以;然后在训练中得到加强。如果学生先学“加减法”,自然会习惯优先选择“加减法”解题。
如果下次再讲本节内容,我会直接用三课时甚至四课时的时间来学习加减消元法解二元一次方程组。因为学生掌握了二元一次方程组的解法后,类比学习一元一次方程的经验,就可以检验方程组的解,不用再费时间。同时要注意例题难度。未知数的系数由相等或互为相反数→倍数关系→互质→简单真分数→需要化简后再观察即由两方程直接相加(或相减)消元→一个方程扩大倍数后加减消元→两个方程都扩大倍数后加减消元。另外,课本中的练习题、习题最好能在课上五十分钟完成。以保证课内让学生得到充分的训练,教师通过巡视、个别辅导,使每一个学生都会解二元一次方程组。
一节数学公开课的课后反思
有一次,学校组织教学组听毛淑霞老师的公开课,听后我感受颇深。她的课堂内容充实、实用,尤其是突出的教室文化,为课堂学习营造了良好的氛围。
她们班的教室里,黑板上方正中是一面鲜红的国旗,国旗左面是“团结紧张”,右面是“严肃活泼” ; 黑板右边是“八荣八耻”,黑板左边“优秀作品展” ,贴着学生的优秀作文;教室左墙上贴着:“中学生日常行为规范”,右墙上贴着“中小学生守则”;教室的后墙正中的一块大黑板是她们班的文化园地。右面一幅“眼保健操挂图” ,左边是“光荣榜” ——那是进步学生,优秀学生的地盘。“墙壁”承载了这样多内容,因此她们班的好成绩显然也有“墙壁”一份功劳。
干净的环境让人舒服;各项制度给人以警戒,胜过老师每天说教;“眼保健操挂图” 提醒学生科学用眼;“八荣八耻” 、“ 中小学生守则”、“ 中小学生日常行为规范” 等这些都在教育学生!
身在这样的教室,好象回到了自己的家,见到了正等着自己回家的父母,有效提高了学习效率。学校无小事,事事有教育;教育无小事,处处皆育人。
课题来源——河北省教师教育学会