论文部分内容阅读
摘 要：本文从对苏州大学2010届高考指导测试（一）的第13题的解法进行深入挖掘和研究，深思一个定义，品味和借鉴一种解法，变换情境加以运用，触类旁通，从中感悟出题者的独具匠心．
关键词：向量；数量积；投影；最值
苏州大学2010届高考指导测试（一）的第13题是一道三角与向量运算结合的题目．
题?摇 在?荀ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点M为AB的中点，点P在CB与DC上运动（包括端点），则•的取值范围是________．
法一：建立如图1所示的平面直角坐标系，则易知D，，M（1，0），B（2，0），C，． 设P（x，y），当P∈DC时，x∈，，y=，=x，，=，－，所以•=－∈－，；当P∈BC时，y=（x－2），x∈2，，所以•=－x+3∈，1，所以•的取值范围为－，1．
点评：利用向量数量积的坐标运算，把•化归成分段函数求取值范围，典型的几何问题代数化． 学生多数使用这种方法，运算简单，准确率高．
法二：依据向量加法的平行四边形法则，对向量进行分解．
当P∈DC时，
=+，所以•=•+•=－+•cos=－+，其中∈［0，2］，所以•∈－，；
当P∈BC时，=+，
所以•=•+•=1+•cos=1－ ，其中∈［0，1］，所以•∈，1，所以•的取值范围为－，1．?摇
点评：利用向量数量积的几何运算，把数量积•转化为以或为变量的分段函数来讨论，学生想得到，但会越化越乱，缺乏建模的思想．
法三：过点A作与平行的直线l，在l上取点M′，使=，由•=•cos，= •cos，．
其中cos，的几何意义是：向量在向量方向上的投影，注意到点P在D点时的投影最小，在点B时的投影最大，设点D，B在l上的射影分别为D′，B′，易求?摇?摇?摇?摇
cos，=cos=－，
cos，=2•cos=1，
所以•的取值范围为－，1．
点评：依托一个向量在另一个向量方向上的投影这一定义，借形助数，从课本最朴素的定义中得到最简便的解法． 站在高考的角度来看，立足于课本的同时又体现了一定的区分度，这个区分度体现在“识图”上，此题此法值得品味和借鉴．
深思一个定义，品味和借鉴一种解法，变换情境加以运用，触类旁通，方能从中感悟出题者的独具匠心，下面借题发挥，继续探究：
（1）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足
x－1?摇+y－1?摇≥1，1≤x≤2，1≤y≤2， 则•的最小值为__________．
解：作出其可行域如图3中的阴影部分所示，•=•cos，=•cos，．
由向量投影的定义可知，当点B（x，y）在线段CD上时，•cos，取最小值是，
所以•的最小值为3．
（2）在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1，O是△ABC的外心，若=λ•+μ•，求λ，μ的值．
解：由=λ•+μ•知，
•=λ••+μ•，•=λ••+μ••.
又O是△ABC的外心，设线段AB，AC的垂直平分线与AB，AC交于点F，E，所以•=•cos∠OAB=•=2=（+1）2，
同理•=1，
即有
（+1）2=λ•（+1）+μ•（1+）2，1=2•λ+μ•（+1），
所以λ=，μ=．
（3）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，且点B（－1，0），点D（2，0）为AC的中点，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）已知直线m：x+y=4，求在直线m上的投影的最大值．
解：（1）易得点C的轨迹方程为M：（x－1）2+y2=4（y≠0）．
（2）过点B作直线n∥m，在直线m上的投影转化为在直线n上的投影，作直线l⊥m且与圆M切于点E，观察图象易知，当点C运动到E点时，在直线m上的投影最大．
设l:y=x+b，由=2，得b=－1－2，联立方程组y=x－1－2，（x－1）2+y2=4 求出E（+1，－）．
因为E到n的距离d==，BE=，
所以在直线m上的投影的最大值为==2+．
评注：（1）以图4中的线段CD和直线OA垂直为情境直接运用定义；
（2）以O是△ABC的外心，即三角形三边垂直平分线的交点为情境构造数量积运算，进而运用定义；
（3）以直线与圆的位置关系为情境，动向量看似不可捉摸，却可“走”临界点，从而快速确定答案．
从一道好题开始进行解题后反思，品味和借鉴一种方法，解决不同问题情境下的问题，形散而神不散，这正是数学的魅力．
关键词：向量；数量积；投影；最值
苏州大学2010届高考指导测试（一）的第13题是一道三角与向量运算结合的题目．
题?摇 在?荀ABCD中，已知AB=2，AD=1，∠DAB=60°，点M为AB的中点，点P在CB与DC上运动（包括端点），则•的取值范围是________．
法一：建立如图1所示的平面直角坐标系，则易知D，，M（1，0），B（2，0），C，． 设P（x，y），当P∈DC时，x∈，，y=，=x，，=，－，所以•=－∈－，；当P∈BC时，y=（x－2），x∈2，，所以•=－x+3∈，1，所以•的取值范围为－，1．
点评：利用向量数量积的坐标运算，把•化归成分段函数求取值范围，典型的几何问题代数化． 学生多数使用这种方法，运算简单，准确率高．
法二：依据向量加法的平行四边形法则，对向量进行分解．
当P∈DC时，
=+，所以•=•+•=－+•cos=－+，其中∈［0，2］，所以•∈－，；
当P∈BC时，=+，
所以•=•+•=1+•cos=1－ ，其中∈［0，1］，所以•∈，1，所以•的取值范围为－，1．?摇
点评：利用向量数量积的几何运算，把数量积•转化为以或为变量的分段函数来讨论，学生想得到，但会越化越乱，缺乏建模的思想．
法三：过点A作与平行的直线l，在l上取点M′，使=，由•=•cos，= •cos，．
其中cos，的几何意义是：向量在向量方向上的投影，注意到点P在D点时的投影最小，在点B时的投影最大，设点D，B在l上的射影分别为D′，B′，易求?摇?摇?摇?摇
cos，=cos=－，
cos，=2•cos=1，
所以•的取值范围为－，1．
点评：依托一个向量在另一个向量方向上的投影这一定义，借形助数，从课本最朴素的定义中得到最简便的解法． 站在高考的角度来看，立足于课本的同时又体现了一定的区分度，这个区分度体现在“识图”上，此题此法值得品味和借鉴．
深思一个定义，品味和借鉴一种解法，变换情境加以运用，触类旁通，方能从中感悟出题者的独具匠心，下面借题发挥，继续探究：
（1）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足
x－1?摇+y－1?摇≥1，1≤x≤2，1≤y≤2， 则•的最小值为__________．
解：作出其可行域如图3中的阴影部分所示，•=•cos，=•cos，．
由向量投影的定义可知，当点B（x，y）在线段CD上时，•cos，取最小值是，
所以•的最小值为3．
（2）在△ABC中，BC=2，AC=，AB=+1，O是△ABC的外心，若=λ•+μ•，求λ，μ的值．
解：由=λ•+μ•知，
•=λ••+μ•，•=λ••+μ••.
又O是△ABC的外心，设线段AB，AC的垂直平分线与AB，AC交于点F，E，所以•=•cos∠OAB=•=2=（+1）2，
同理•=1，
即有
（+1）2=λ•（+1）+μ•（1+）2，1=2•λ+μ•（+1），
所以λ=，μ=．
（3）在等腰三角形ABC中，已知AB=AC，且点B（－1，0），点D（2，0）为AC的中点，
（1）求点C的轨迹方程；
（2）已知直线m：x+y=4，求在直线m上的投影的最大值．
解：（1）易得点C的轨迹方程为M：（x－1）2+y2=4（y≠0）．
（2）过点B作直线n∥m，在直线m上的投影转化为在直线n上的投影，作直线l⊥m且与圆M切于点E，观察图象易知，当点C运动到E点时，在直线m上的投影最大．
设l:y=x+b，由=2，得b=－1－2，联立方程组y=x－1－2，（x－1）2+y2=4 求出E（+1，－）．
因为E到n的距离d==，BE=，
所以在直线m上的投影的最大值为==2+．
评注：（1）以图4中的线段CD和直线OA垂直为情境直接运用定义；
（2）以O是△ABC的外心，即三角形三边垂直平分线的交点为情境构造数量积运算，进而运用定义；
（3）以直线与圆的位置关系为情境，动向量看似不可捉摸，却可“走”临界点，从而快速确定答案．
从一道好题开始进行解题后反思，品味和借鉴一种方法，解决不同问题情境下的问题，形散而神不散，这正是数学的魅力．