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解题是数学学习的重要组成部分。很多学生在解题时，常常遇到很多题目看似知道怎么做，但最终却做不完整或做错，久而久之就会挫伤学生学习数学的积极性，从而导致了数学成绩的下滑。在此我通过对学生在解题过程中所犯的错误的分析和研究，归纳得如下几个方面的误区以及几点应对策略。
一、审题不清
例1.过抛物线x2=2py（p>0）的焦点的一条直线和抛物线交于p1（x1，y1），p2（x2，y2），则（ ）
A. y1·y1=-p2 B. y1·y2=p2
C. x1·x2=-p2 D. x1·x1=p2
不少人不假思索地选了A，这是受结论：“过抛物线C：y2=2px的焦点的一条直线和抛物线交于p1（x1，y1）p2（x2，y2）则 y1·y2=-p2”的影响所致。做错是因为没审清题意，没有注意抛物线的开口方向，从而导致错误。而有些学生只认为这只是一时粗心，不是不会做，也没引起足够的重视，这是对自己不负责任。因为经常粗心就会形成习惯，习惯的养成就是一个人的性格。性格的负面作用在关键时会影响人的一生。
原因及解决方法：在此失误的原因有：受以前做过的习题影响，没有辨清题意。而这些都是非智力因素所为，所以学生只要平时养成严谨的习惯，比如在题目的关键处做出适当的标记，提醒自己注意等等，在每次做题时内心要“暗示”自己不要犯审题错误等，就可以少犯或不犯此类错误。
二、解题方法选择不恰当
有些问题的解法较多，但有繁简之别，因此解题方法选择不当常常也会导致计算不彻底或计算错误。
例2.求函数y=■的最值。
解法1.用万能公式，令t=tan■，可化成（y-1）t2-6t+5y-1=0；当时y≠1，△≥0，解得-■≤y≤2；当时y=1时，t=■=tan■，θ也存在，所以-■≤y≤2。
故函数的最大值为2，最小值为-■。
解法2.将函数化成2ycosθ-3sinθ=1-3y，即
■cos（θ+？渍）=1-3y，此方程有解的条件是■≤1，即4y2+9≥（1-3y）2，5y2-6y-8≤0，-■≤y≤2。
这两种解法都正确，但第一种方法比第二种解法费时，容易使学生对讨论的“y=1”条件遗漏，从而导致解题的正确性存有问题。
原因及解决方法：上述的例子可以看出，动手解题前应该分析和比较各种解题步骤的多少，计算量的大小，运算难度的难与易，选择合理恰当的解题方案，才能够准确又省时。否则，一见到题目不认真思考，随便想到一种方法就动笔写，结果会算不下去。所以方法的正确选择很重要。
三、运算出错导致结果错误
数学解题一方面是对思维能力的考查，另一方面也是对运算能力的考查。而很多学生运算能力较弱，经常出现加、减、乘、除、乘方、开方、合并同类项、配方等计算失误的。如把方程y-1=-■（x-1）化简3x+5y-2=0（右边1移项没有变号）或化为3x+5y-4=0（左边-1忘乘5）。
原因及解决方法：运算错误是数学考试中最常见的错误，学生多认为是粗心。其实是多方面原因造成的。一是运算过程中口算多，如上例中要去分母、去括号、移项、合并同类项，尽管数字简单，但“程序”不可少，平时可能不会出错，但一到考试时精神高度紧张，口算或直觉会出错，结果在脑子里一闪就写在纸上，这样的错误复查时较难查出。建议常犯此类错误的学生在运算时，先把过程写出来再往试卷上抄，可能会减少些错误。如指数运算中22×24=26，由于是口算，在脑子里就把22×24看成（22）4了。在解析几何的解答题中，有的学生开始计算时误把2a当2c代入条件，其他地方都对，还是一分没得，如果当时在草稿纸上画张图，或许会避免错误。建议有此类错误教训的学生在考试时一定要用笔算，平时对于会解的题目最好还是动手算算，俗话说：“再好的记性，不如手中的烂笔头！”因为从理解题目的解题思路到自己会解并且得全分是一个相当长的过程。只有养成一丝不苟的学风，才能少犯错误。二是开始时心理紧张，俗称“怯场症”，由于前面选择填空题简单，急于做完留出时间做后面的解答题，结果忙中出错，尤其是前5小题是最容易犯错误的，而且检查时也不会特别注意这几小题。有些学生由于紧张会出现暂时的遗忘，熟悉的知识一时想不起来，或把简单的计算如移项、合并同类项、去括号算错。最好以平常心态进考场，保持适度紧张有利于集中思维，使运算高效有序，而过度紧张或根本就不紧张起来，对考试一定不利。
四、忽略原始公式成立的条件
很多学生在学习新知识时，往往对数学上的一些公式后面的限定条件不加以重视，导致在解题中出现答案的完整性。
例3.已知x∈R，求1+x+x2+x3+...+xn-1+xn的值。
许多学生一看题目就会想到此题用到等比数列的求和公式得：1+x+x2+x3+...+xn-1+xn=■，那么这些学生就是忽略了当x=0时，此数列不是等比数列，及公比为1时，求和公式不能用。正确的答案是当x≠1时，原式=■；当x=1时，原式=n+1。
原因及解决方法：此类错误是对公式、定理的成立条件不注意，应该属于知识性错误。克服此类错误的方法首先要回归课本，重视基础知识，经常回顾一些公式及定理的适用范围。其次是要有做完题再检验的习惯，发现问题及时解决。再如，解析几何中直线与曲线的关系中，一定要考虑直线斜率不存在时的情况，以及两直线平行或垂直时的充要条件等等。面对学生出现这种错误，我认为平时学生要养成“识错”“思错”和“纠错”的过程中完善自己对原始公式的认识，这也就是心理学所讲的“痕迹教育”。
出现上述错误多数是长期的学习态度不严谨，学习习惯不好等非智力因素所致，克服起来虽有一定困难，但只要找准原因，经过一段时间的努力，就会有显著进步。需要特别注意的是，这方面的弊端教师和家长是无法帮助学生的，只有靠自己脚踏实地的努力，才能有效。像那些学习成绩较差的学生，只有从这些常犯错误中改正，减少失误，不断提高自己的基础知识能力，才能够有效地提高自己的成绩。不光数学，物理、化学等科目都是如此。过而不改，是谓过矣！学生在平时的数学学习中一定要要树立严谨的学习态度，脚踏实地地通过自己的实力战胜缺点，战胜自己，定能提高自己的数学成绩。
（责编 高伟）
一、审题不清
例1.过抛物线x2=2py（p>0）的焦点的一条直线和抛物线交于p1（x1，y1），p2（x2，y2），则（ ）
A. y1·y1=-p2 B. y1·y2=p2
C. x1·x2=-p2 D. x1·x1=p2
不少人不假思索地选了A，这是受结论：“过抛物线C：y2=2px的焦点的一条直线和抛物线交于p1（x1，y1）p2（x2，y2）则 y1·y2=-p2”的影响所致。做错是因为没审清题意，没有注意抛物线的开口方向，从而导致错误。而有些学生只认为这只是一时粗心，不是不会做，也没引起足够的重视，这是对自己不负责任。因为经常粗心就会形成习惯，习惯的养成就是一个人的性格。性格的负面作用在关键时会影响人的一生。
原因及解决方法：在此失误的原因有：受以前做过的习题影响，没有辨清题意。而这些都是非智力因素所为，所以学生只要平时养成严谨的习惯，比如在题目的关键处做出适当的标记，提醒自己注意等等，在每次做题时内心要“暗示”自己不要犯审题错误等，就可以少犯或不犯此类错误。
二、解题方法选择不恰当
有些问题的解法较多，但有繁简之别，因此解题方法选择不当常常也会导致计算不彻底或计算错误。
例2.求函数y=■的最值。
解法1.用万能公式，令t=tan■，可化成（y-1）t2-6t+5y-1=0；当时y≠1，△≥0，解得-■≤y≤2；当时y=1时，t=■=tan■，θ也存在，所以-■≤y≤2。
故函数的最大值为2，最小值为-■。
解法2.将函数化成2ycosθ-3sinθ=1-3y，即
■cos（θ+？渍）=1-3y，此方程有解的条件是■≤1，即4y2+9≥（1-3y）2，5y2-6y-8≤0，-■≤y≤2。
这两种解法都正确，但第一种方法比第二种解法费时，容易使学生对讨论的“y=1”条件遗漏，从而导致解题的正确性存有问题。
原因及解决方法：上述的例子可以看出，动手解题前应该分析和比较各种解题步骤的多少，计算量的大小，运算难度的难与易，选择合理恰当的解题方案，才能够准确又省时。否则，一见到题目不认真思考，随便想到一种方法就动笔写，结果会算不下去。所以方法的正确选择很重要。
三、运算出错导致结果错误
数学解题一方面是对思维能力的考查，另一方面也是对运算能力的考查。而很多学生运算能力较弱，经常出现加、减、乘、除、乘方、开方、合并同类项、配方等计算失误的。如把方程y-1=-■（x-1）化简3x+5y-2=0（右边1移项没有变号）或化为3x+5y-4=0（左边-1忘乘5）。
原因及解决方法：运算错误是数学考试中最常见的错误，学生多认为是粗心。其实是多方面原因造成的。一是运算过程中口算多，如上例中要去分母、去括号、移项、合并同类项，尽管数字简单，但“程序”不可少，平时可能不会出错，但一到考试时精神高度紧张，口算或直觉会出错，结果在脑子里一闪就写在纸上，这样的错误复查时较难查出。建议常犯此类错误的学生在运算时，先把过程写出来再往试卷上抄，可能会减少些错误。如指数运算中22×24=26，由于是口算，在脑子里就把22×24看成（22）4了。在解析几何的解答题中，有的学生开始计算时误把2a当2c代入条件，其他地方都对，还是一分没得，如果当时在草稿纸上画张图，或许会避免错误。建议有此类错误教训的学生在考试时一定要用笔算，平时对于会解的题目最好还是动手算算，俗话说：“再好的记性，不如手中的烂笔头！”因为从理解题目的解题思路到自己会解并且得全分是一个相当长的过程。只有养成一丝不苟的学风，才能少犯错误。二是开始时心理紧张，俗称“怯场症”，由于前面选择填空题简单，急于做完留出时间做后面的解答题，结果忙中出错，尤其是前5小题是最容易犯错误的，而且检查时也不会特别注意这几小题。有些学生由于紧张会出现暂时的遗忘，熟悉的知识一时想不起来，或把简单的计算如移项、合并同类项、去括号算错。最好以平常心态进考场，保持适度紧张有利于集中思维，使运算高效有序，而过度紧张或根本就不紧张起来，对考试一定不利。
四、忽略原始公式成立的条件
很多学生在学习新知识时，往往对数学上的一些公式后面的限定条件不加以重视，导致在解题中出现答案的完整性。
例3.已知x∈R，求1+x+x2+x3+...+xn-1+xn的值。
许多学生一看题目就会想到此题用到等比数列的求和公式得：1+x+x2+x3+...+xn-1+xn=■，那么这些学生就是忽略了当x=0时，此数列不是等比数列，及公比为1时，求和公式不能用。正确的答案是当x≠1时，原式=■；当x=1时，原式=n+1。
原因及解决方法：此类错误是对公式、定理的成立条件不注意，应该属于知识性错误。克服此类错误的方法首先要回归课本，重视基础知识，经常回顾一些公式及定理的适用范围。其次是要有做完题再检验的习惯，发现问题及时解决。再如，解析几何中直线与曲线的关系中，一定要考虑直线斜率不存在时的情况，以及两直线平行或垂直时的充要条件等等。面对学生出现这种错误，我认为平时学生要养成“识错”“思错”和“纠错”的过程中完善自己对原始公式的认识，这也就是心理学所讲的“痕迹教育”。
出现上述错误多数是长期的学习态度不严谨，学习习惯不好等非智力因素所致，克服起来虽有一定困难，但只要找准原因，经过一段时间的努力，就会有显著进步。需要特别注意的是，这方面的弊端教师和家长是无法帮助学生的，只有靠自己脚踏实地的努力，才能有效。像那些学习成绩较差的学生，只有从这些常犯错误中改正，减少失误，不断提高自己的基础知识能力，才能够有效地提高自己的成绩。不光数学，物理、化学等科目都是如此。过而不改，是谓过矣！学生在平时的数学学习中一定要要树立严谨的学习态度，脚踏实地地通过自己的实力战胜缺点，战胜自己，定能提高自己的数学成绩。
（责编 高伟）