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【摘要】对任意整数 ，运用（ 型）等分方程定理，就可产生一个特殊的一元 次代数方程式，且具配套求根公式。
【关键词】等分方程定理 方程通项公式 配套求根公式 一般方程式 给定方程式
EQUATION AND CURVES——A Theorem for Equation of Devision
Mi Changming
（No. 1 Middle School ， Anlong ， Guizhou 552400）
【Abstract】To any positiue integer n ， as we apply the theorem for equation of devision ， that can produce a algebraic equation of nth degree in one unknown and a relevant unalgebraic radical formula.
【Key words】Equation of devision Formula for reduction of equation to a common term Radical formula for equations Definitive equation
引言：[1]和[2]是整理本课题的基础理论部分，提出几何学中新的公理体系——演变形概念、演变公理。该理念与欧氏几何的五组公理系统，不仅具有和谐性，还具有独立性和完备性。在该体系中通过两个分式恒等式，可转换为数字几何分角模型和数字函数曲线模型，从而形成图形和曲线的无限集合。具有规律的轨迹函数曲线，可转换为随数字而变化的代数方程模型，从而又形成了方程及其配套求根（解）公式的无限集合。[3]和[4]是代表多项式等分方程定理，在实数域和复数域中，对不同类型的特殊一元n次方程，应用配套公式求根，并用根与系数的关系进行检验。本文进一步提出多项式等分方程定理（C2型），它是上述特殊高次方程的继续和发展。定理的复杂性导致其证明十分烦琐，需极大的篇幅，因此，计划在今后出版的专著中进行论证。
1.等分方程定理（C2型）
Ⅰ方程式：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+aixn-i+…+an-1x+an=0①
方程中n（n∈N* ），其左边各项为：首项：T1=a0xn （即a0=1），第二项： T2=a1xn-1=0（即a1=0），从第三项至末项，运用方程通项公式，可求出含参数 和 的一般方程式。
Ⅱ代数方程的通项公式：（i=0 ，1，2，…，n-1，n ）
Ti+1=aixn-i=（-1）SCinKi∑hi=0（-1）tCPi-1KQ（K2+1）i-1rixn-i②
当i为偶数时 s=i2
h=i-22
p=2t
q=（i-2）-2t
当i为奇数时s=i+12
h=i-32
p=2t+1
q=（i-3）-2t
，参数k=tanα02 ，α0为被分角；r为分圆半径。
Ⅲ配套求根公式：（ t∈N*）（i=0，1，2，…，n-1 ）
当n为偶数时：（h=n-22 ）
xi+1=-r[2∑ht=1costn（α0+360°i）+1]sin12（α0+360°i）③
当n为奇数时：（h=n-12 ）
xi+1=-2r[∑ht=1cos2t-12n（α0+360°i）]sin12（α0+360°i）④
2.因式
由于配套公式所求的根，能满足于用根与系数的关系对方程式的检验。因此，可将上式写成因式的形式，即：
（x-x1）（x-x2）…（x-xn-1）（x-xn）=0⑤
3.等分多项方程式的性质
Ⅰ方程左边有（n+1 ）项，（其中缺第二项），右边等于0。
Ⅱ x按降幂排列，次数由n 逐项减1到0；常量r 则由0逐项加1到n。
Ⅲ任取n （n∈N* ）时，运用方程通项公式就可产生一个含参数k 和r 的一元n 次方程式。因此，一般方程式是随n而变化的无限集合。
Ⅳ对一般方程式，由于所含参数k=tanα2 ，r>0 ，所以，只要在坐标平面上任取一点，就可将一般式转换为具体给定方程，因此，每个一般方程式都对应着给定方程式的无限集合。
4.应用
例1：当 n=5，n=6时，求一般方程式及其配套求根公式。
解Ⅰ、当n=5时，由②得：首项T1=a0x5=x5 （即a0=1 ）；第二项：T2=a1x4=0 （即a1=0）；从第三项至末项，（即i=2、3、4、5）；就可求出五次方程的一般式。
i=2，s=i2=1 ，h=i-22=0，p=2t=0， （t∈N* ，t从0 到h），q=（i-2）-2t=0
T3=a2x3 =（-1）scinki∑ht=0（-1）tcpi-1kq（k2+1）i-1rixn-i=-10k2（k2+1）r2x3
i=3，s=i+12=2，h=i-32=0，p=2t+1=1，q=（i-3）-2t=0
T4=a3x2=（-1）scinki∑ht=0（-1）tcpi-1kq（k2+1）i-1=20k3（k2+1）2r3x2
i=4，s=2，h=1，p=2t= 0（当t=0时）2（当t=1时），q=（i-2）-2t= 2（当t=0时）0（当t=1时）
T5=a4x=C45k4∑ht=0（-1）tCp3kq（k2+1）3r4x=5k4（k2-3）（k2+1）3r4x
i=5，s=3，h=1，p=2t+1=1，（t=0）3，（t=1），q=（i-3）-2t=2（当t=0时）0（当t=1） T6=（-1）3C55k5∑h=1t=0（-1）tCp4kq（k2+1）4r5= -4k5（k2-1）（k2+1）4r5
得：x5-10k2（k2+1）r2x3+20k3（k2+1）2r3x2+5k4（k2-3）（k2+1）3r4x-4k5（k2-1）（k2+1）4r5 ⑥
由④得：配套求根公式：
xi+1=-2r[cos110（a0+360°i）+cos310（a0+360°i）]sin12（a0+360°i）
Ⅱ、当n=6时：T1=a0x6=x6 （即a0=1）， T2=a1x5=0（即 a1=0），从第三项到末项，（即i=2，3，4，5，6），应用公式②，依照上述方法得：
x6-15k2（k2+1）r2x4+40k3（k2+1）2r3x3+15k4（k2-3）（k2+1）3r4x2-6k5（4k2-4）（k2+1）4r5x-k6（k4-10k2+5）（k2+1）4r5x-k6（k4-10k2+5）（k2+1）5r6=0 ⑦
由③得其配套求根公式：
xi+1=-r[2cos16（a0+360°i）+2cos26（a0+360°i）+1]sin12（a0+360°i）
例2：用k=-（2+1） ，r=10，组成一个（C2型）的五次给定方程式，并用计算器进行求根和验算。
解：Ⅰ、求给定方程式：将k 和r 代入一般方程式⑥得：
x5-250（2+2）x3-2500（2+1）x+12500（22+3）=0
Ⅱ、转换：由k=tana2 a2=arctan[-（2+1）]=-67.5°a0=-135°
Ⅲ、求根：将a0和r的值代入⑥式的配套求根公式得：（其中i=0，1，2，3，4）
xi+1=-20[cos110（-135°-360°i）+cos310（-135°-360°i）]sin12（-135°-360°i）⑧
x1=32.01752351，x2=3.754500743，x3=-2.863772819
x4=-8.766115811，x5=-24.14213562
Ⅳ、验根：用根与系数的关系对⑧式进行检验：
a1=0，x1+x2+x3+x4+x5=0
a2=-250（2+2）=-853.5533906，
a2=x1（x2+x3+x4+x5）+x2（x3+x4+x5） +x3（x4+x5）+x4x5=-853.5533906
a3=-2500（2+1）=-6035.533906
a'3= x4x5（x1+x2+x3）+（x4+x5）（x1x2+x1x3+x2x3）+x1x2x3=6035.533905
a5=12500（22+3）=72855.33905
a'5= x1 x2 x2 x4 x5=-72855.33905
a4=6250（2+1）=15088.83476
a4=a'5（1x1+1x2+1x3+1x4+1x5）=15088.83476
例3：求下列六次方程的根：
x6-60（3+2）x4+160（3+2）x3+240（33+5）x2-192（73+12）x-64（43+7）=0⑨
解：Ⅰ、判别：一元n次方程的一般式（n∈N* ），是由等分函数曲线所转换的特殊方程式，它们分别为A、B、C、D四大类，每类分别由第一和第二型的实数方程，和第三型的复数方程所组成。每种型号都有其固定的特征，如在12型中，唯有C1 和C2 型缺第二项（T2=a1xn-1=0，即a1=0）。然而，C1 和C2 型又区别于在一般方程式中，当取n 时，由C1型方程的通项公式产生（n+1） 次一般方程式，而 C2型通过其方程通项公式却只能产生n次一般式。因此，用方程式⑨与六次方程的一般式⑦进行比较，它们互相吻合，这说明⑨是一般式⑦的给定方程式。
Ⅱ、转换：将一般式⑦和给定方程⑨中表示相应项a2和a4组成方程组，并求出参数k 和r的值，再将k可r 代入相应的a3项进一步验证。
-15k2k2+1r2=60（3+2）
15k4（k2-3）（k2+1）3r4=240（33+5）
r2=4（3+2）（k2+1）k2r4=16（33+5）（k2+1）3k4（k2-3）
r4=16（7+43（k2+1）2k4r4=16（33+5）（k2+1）3k4（k2-3）
（7+43）（k-3）=（33+5）（k2+1）（3+2）k2=26+153k2=（26+153）（3+2）（3-2）k2=（2+3）2k=±（2+3）
∵k=tana2a2=arctank=±75°
将k2=7+43 代入r2得：
r2=4（3+2）（8+43）7+43=16（3+2）27+43=16（49-48）=16
∴ r=4
将k=tan（±75°） 和r=4 代入一般式的a3，并与给定式的a3对照。
∵ a3=160（3+2）=597.1281292
a'3=40k3r3（k2+1）2 =597.1281292-597.1281292
∴a2 =arctan（2+3）=75°
a=150°
Ⅲ、求根：将a=150°，r=4代入⑦的求根公式得：
xi+1=-4[2cos16（150°+360°i）+2cos26（150°+360°i）+1]sin36（150°+360°i）
x1=-15.83419331，x2=-3.072818773，x3=-0.176711099，
x4=1.827375745，x5=4.419794498，x6=12.83655294
Ⅳ、验根：
a1=0，a'1=x1+x2+x3+x4+x5+x6=0.000000004
a2=-60（3+2）=-223.9230485
a'2=-（x21+x22+x23）-（x1x2+x1x3+x2x3）+x4x4+x4x6+x5x6=-223.9230483
a6=-64（43+7）=891.4050067
a'6=x1x2x3x4x5x6=-891.4050032
a5=-192（73+12）=-4631.876285
a'5=a'6（1x1+1x2+1x3+1x4+1x5+1x6）=4631.876286
结论：此类方程虽属于由曲线集转换的特殊高次方程，然而，十二种类型，就有十二种不同形式的通项公式随数字而产生的代数方程，且都具有配套求根公式，当正整数 有序地取值时，方程式就从简单到复杂有规律地变换着。数字是无限的，形式多样的特殊高次方程及求根公式等也是无穷无尽的。
参考文献
[1] 米家鑫，米昌明.《方程与曲线论[23]——演变公理体系》，《科技促进发展》2007年9月第9期，总34，7-15.
[2] 米家鑫，米昌明.《方程与曲线论[22]——图形、曲线、方程的数字模型》，《教育改革与发展》，世界华文传播媒体协会教育类核心期刊，2005年6月，总第三期，7-11.
[3] 米家鑫.《方程与曲线论[16]——等分方程定理（ 型）》，贵州师范大学（自然科学版）2000，18，（3），52-54.
[4] 米家鑫.《方程与曲线论[17]——等分方程定理（ 型）》，[J].贵州师范大学学报（自然科学版）2002，02，（1），74-77.
[5] C·N，诺渥塞洛夫，三角学专门教程（上，下）、高等学校教程，北京：高等教育出版社，1954.
[6] B·N，斯米尔诺夫、聂灵沼等译，高等学校教程，北京高等教育出版社，1979.
【关键词】等分方程定理 方程通项公式 配套求根公式 一般方程式 给定方程式
EQUATION AND CURVES——A Theorem for Equation of Devision
Mi Changming
（No. 1 Middle School ， Anlong ， Guizhou 552400）
【Abstract】To any positiue integer n ， as we apply the theorem for equation of devision ， that can produce a algebraic equation of nth degree in one unknown and a relevant unalgebraic radical formula.
【Key words】Equation of devision Formula for reduction of equation to a common term Radical formula for equations Definitive equation
引言：[1]和[2]是整理本课题的基础理论部分，提出几何学中新的公理体系——演变形概念、演变公理。该理念与欧氏几何的五组公理系统，不仅具有和谐性，还具有独立性和完备性。在该体系中通过两个分式恒等式，可转换为数字几何分角模型和数字函数曲线模型，从而形成图形和曲线的无限集合。具有规律的轨迹函数曲线，可转换为随数字而变化的代数方程模型，从而又形成了方程及其配套求根（解）公式的无限集合。[3]和[4]是代表多项式等分方程定理，在实数域和复数域中，对不同类型的特殊一元n次方程，应用配套公式求根，并用根与系数的关系进行检验。本文进一步提出多项式等分方程定理（C2型），它是上述特殊高次方程的继续和发展。定理的复杂性导致其证明十分烦琐，需极大的篇幅，因此，计划在今后出版的专著中进行论证。
1.等分方程定理（C2型）
Ⅰ方程式：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+aixn-i+…+an-1x+an=0①
方程中n（n∈N* ），其左边各项为：首项：T1=a0xn （即a0=1），第二项： T2=a1xn-1=0（即a1=0），从第三项至末项，运用方程通项公式，可求出含参数 和 的一般方程式。
Ⅱ代数方程的通项公式：（i=0 ，1，2，…，n-1，n ）
Ti+1=aixn-i=（-1）SCinKi∑hi=0（-1）tCPi-1KQ（K2+1）i-1rixn-i②
当i为偶数时 s=i2
h=i-22
p=2t
q=（i-2）-2t
当i为奇数时s=i+12
h=i-32
p=2t+1
q=（i-3）-2t
，参数k=tanα02 ，α0为被分角；r为分圆半径。
Ⅲ配套求根公式：（ t∈N*）（i=0，1，2，…，n-1 ）
当n为偶数时：（h=n-22 ）
xi+1=-r[2∑ht=1costn（α0+360°i）+1]sin12（α0+360°i）③
当n为奇数时：（h=n-12 ）
xi+1=-2r[∑ht=1cos2t-12n（α0+360°i）]sin12（α0+360°i）④
2.因式
由于配套公式所求的根，能满足于用根与系数的关系对方程式的检验。因此，可将上式写成因式的形式，即：
（x-x1）（x-x2）…（x-xn-1）（x-xn）=0⑤
3.等分多项方程式的性质
Ⅰ方程左边有（n+1 ）项，（其中缺第二项），右边等于0。
Ⅱ x按降幂排列，次数由n 逐项减1到0；常量r 则由0逐项加1到n。
Ⅲ任取n （n∈N* ）时，运用方程通项公式就可产生一个含参数k 和r 的一元n 次方程式。因此，一般方程式是随n而变化的无限集合。
Ⅳ对一般方程式，由于所含参数k=tanα2 ，r>0 ，所以，只要在坐标平面上任取一点，就可将一般式转换为具体给定方程，因此，每个一般方程式都对应着给定方程式的无限集合。
4.应用
例1：当 n=5，n=6时，求一般方程式及其配套求根公式。
解Ⅰ、当n=5时，由②得：首项T1=a0x5=x5 （即a0=1 ）；第二项：T2=a1x4=0 （即a1=0）；从第三项至末项，（即i=2、3、4、5）；就可求出五次方程的一般式。
i=2，s=i2=1 ，h=i-22=0，p=2t=0， （t∈N* ，t从0 到h），q=（i-2）-2t=0
T3=a2x3 =（-1）scinki∑ht=0（-1）tcpi-1kq（k2+1）i-1rixn-i=-10k2（k2+1）r2x3
i=3，s=i+12=2，h=i-32=0，p=2t+1=1，q=（i-3）-2t=0
T4=a3x2=（-1）scinki∑ht=0（-1）tcpi-1kq（k2+1）i-1=20k3（k2+1）2r3x2
i=4，s=2，h=1，p=2t= 0（当t=0时）2（当t=1时），q=（i-2）-2t= 2（当t=0时）0（当t=1时）
T5=a4x=C45k4∑ht=0（-1）tCp3kq（k2+1）3r4x=5k4（k2-3）（k2+1）3r4x
i=5，s=3，h=1，p=2t+1=1，（t=0）3，（t=1），q=（i-3）-2t=2（当t=0时）0（当t=1） T6=（-1）3C55k5∑h=1t=0（-1）tCp4kq（k2+1）4r5= -4k5（k2-1）（k2+1）4r5
得：x5-10k2（k2+1）r2x3+20k3（k2+1）2r3x2+5k4（k2-3）（k2+1）3r4x-4k5（k2-1）（k2+1）4r5 ⑥
由④得：配套求根公式：
xi+1=-2r[cos110（a0+360°i）+cos310（a0+360°i）]sin12（a0+360°i）
Ⅱ、当n=6时：T1=a0x6=x6 （即a0=1）， T2=a1x5=0（即 a1=0），从第三项到末项，（即i=2，3，4，5，6），应用公式②，依照上述方法得：
x6-15k2（k2+1）r2x4+40k3（k2+1）2r3x3+15k4（k2-3）（k2+1）3r4x2-6k5（4k2-4）（k2+1）4r5x-k6（k4-10k2+5）（k2+1）4r5x-k6（k4-10k2+5）（k2+1）5r6=0 ⑦
由③得其配套求根公式：
xi+1=-r[2cos16（a0+360°i）+2cos26（a0+360°i）+1]sin12（a0+360°i）
例2：用k=-（2+1） ，r=10，组成一个（C2型）的五次给定方程式，并用计算器进行求根和验算。
解：Ⅰ、求给定方程式：将k 和r 代入一般方程式⑥得：
x5-250（2+2）x3-2500（2+1）x+12500（22+3）=0
Ⅱ、转换：由k=tana2 a2=arctan[-（2+1）]=-67.5°a0=-135°
Ⅲ、求根：将a0和r的值代入⑥式的配套求根公式得：（其中i=0，1，2，3，4）
xi+1=-20[cos110（-135°-360°i）+cos310（-135°-360°i）]sin12（-135°-360°i）⑧
x1=32.01752351，x2=3.754500743，x3=-2.863772819
x4=-8.766115811，x5=-24.14213562
Ⅳ、验根：用根与系数的关系对⑧式进行检验：
a1=0，x1+x2+x3+x4+x5=0
a2=-250（2+2）=-853.5533906，
a2=x1（x2+x3+x4+x5）+x2（x3+x4+x5） +x3（x4+x5）+x4x5=-853.5533906
a3=-2500（2+1）=-6035.533906
a'3= x4x5（x1+x2+x3）+（x4+x5）（x1x2+x1x3+x2x3）+x1x2x3=6035.533905
a5=12500（22+3）=72855.33905
a'5= x1 x2 x2 x4 x5=-72855.33905
a4=6250（2+1）=15088.83476
a4=a'5（1x1+1x2+1x3+1x4+1x5）=15088.83476
例3：求下列六次方程的根：
x6-60（3+2）x4+160（3+2）x3+240（33+5）x2-192（73+12）x-64（43+7）=0⑨
解：Ⅰ、判别：一元n次方程的一般式（n∈N* ），是由等分函数曲线所转换的特殊方程式，它们分别为A、B、C、D四大类，每类分别由第一和第二型的实数方程，和第三型的复数方程所组成。每种型号都有其固定的特征，如在12型中，唯有C1 和C2 型缺第二项（T2=a1xn-1=0，即a1=0）。然而，C1 和C2 型又区别于在一般方程式中，当取n 时，由C1型方程的通项公式产生（n+1） 次一般方程式，而 C2型通过其方程通项公式却只能产生n次一般式。因此，用方程式⑨与六次方程的一般式⑦进行比较，它们互相吻合，这说明⑨是一般式⑦的给定方程式。
Ⅱ、转换：将一般式⑦和给定方程⑨中表示相应项a2和a4组成方程组，并求出参数k 和r的值，再将k可r 代入相应的a3项进一步验证。
-15k2k2+1r2=60（3+2）
15k4（k2-3）（k2+1）3r4=240（33+5）
r2=4（3+2）（k2+1）k2r4=16（33+5）（k2+1）3k4（k2-3）
r4=16（7+43（k2+1）2k4r4=16（33+5）（k2+1）3k4（k2-3）
（7+43）（k-3）=（33+5）（k2+1）（3+2）k2=26+153k2=（26+153）（3+2）（3-2）k2=（2+3）2k=±（2+3）
∵k=tana2a2=arctank=±75°
将k2=7+43 代入r2得：
r2=4（3+2）（8+43）7+43=16（3+2）27+43=16（49-48）=16
∴ r=4
将k=tan（±75°） 和r=4 代入一般式的a3，并与给定式的a3对照。
∵ a3=160（3+2）=597.1281292
a'3=40k3r3（k2+1）2 =597.1281292-597.1281292
∴a2 =arctan（2+3）=75°
a=150°
Ⅲ、求根：将a=150°，r=4代入⑦的求根公式得：
xi+1=-4[2cos16（150°+360°i）+2cos26（150°+360°i）+1]sin36（150°+360°i）
x1=-15.83419331，x2=-3.072818773，x3=-0.176711099，
x4=1.827375745，x5=4.419794498，x6=12.83655294
Ⅳ、验根：
a1=0，a'1=x1+x2+x3+x4+x5+x6=0.000000004
a2=-60（3+2）=-223.9230485
a'2=-（x21+x22+x23）-（x1x2+x1x3+x2x3）+x4x4+x4x6+x5x6=-223.9230483
a6=-64（43+7）=891.4050067
a'6=x1x2x3x4x5x6=-891.4050032
a5=-192（73+12）=-4631.876285
a'5=a'6（1x1+1x2+1x3+1x4+1x5+1x6）=4631.876286
结论：此类方程虽属于由曲线集转换的特殊高次方程，然而，十二种类型，就有十二种不同形式的通项公式随数字而产生的代数方程，且都具有配套求根公式，当正整数 有序地取值时，方程式就从简单到复杂有规律地变换着。数字是无限的，形式多样的特殊高次方程及求根公式等也是无穷无尽的。
参考文献
[1] 米家鑫，米昌明.《方程与曲线论[23]——演变公理体系》，《科技促进发展》2007年9月第9期，总34，7-15.
[2] 米家鑫，米昌明.《方程与曲线论[22]——图形、曲线、方程的数字模型》，《教育改革与发展》，世界华文传播媒体协会教育类核心期刊，2005年6月，总第三期，7-11.
[3] 米家鑫.《方程与曲线论[16]——等分方程定理（ 型）》，贵州师范大学（自然科学版）2000，18，（3），52-54.
[4] 米家鑫.《方程与曲线论[17]——等分方程定理（ 型）》，[J].贵州师范大学学报（自然科学版）2002，02，（1），74-77.
[5] C·N，诺渥塞洛夫，三角学专门教程（上，下）、高等学校教程，北京：高等教育出版社，1954.
[6] B·N，斯米尔诺夫、聂灵沼等译，高等学校教程，北京高等教育出版社，1979.