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摘要：图形变换问题是研究几何图形的运动中，伴随着图形位置和数量关系的“变”与“不变”，以及解决问题的类似性和延伸性。就其运动对象而言可分为点动、线动、面动，就其运动形式而言有平移、旋转、翻转、滚动等。这是近几年来中考命题的热点。本文从旋转的角度让学生养成在题目图中注明解决问题的不变性的信息的习惯，从动手操作为解决变换问题创设解题的情境等方面加以阐述解题的策略。
关键词：不变性；旋转变化；动手操作；解题策略
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）03-0084
图形的变换问题往往集几何、代数知识于一身，数形结合有很强的综合性，能够在运动中发展学生空间想象能力、综合分析能力，是近几年来中考命题的热点。要解决此类问题，一定要用运动和发展的眼光观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程。一方面，要注意在图形变换过程中各个时刻分类画图，由“动”变“静”以“静”制“动”；另一方面，还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，以及让学生动手操作，创设情境解决问题。
一、从旋转的角度在题目图中注明不变性的信息
几何图形的旋转在教材中以比较简单的形式呈现，但是很好地归纳了旋转的本质（旋转中心、方向和角度）。这些本质是教与学的依据，也是题目的主要来源。但在平时教学过程中往往就题论题，没有和一些特殊的几何图形相结合，也没有让学生通过自己动手操作感受和体会旋转变化过程中的本质以及那些不变的量，或者是潜在相等的量。其实，很多题目只要动手画画，把一些不变的量找到并标注出来就很容易把问题解决。
例1. 图1、2是两个相似比为1∶的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：DE=DF。②求证：AE2 BF2=EF2；（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它与斜边和CD延长线分别交于点E，点F，如图5，证明结论：AE2 BF2=EF2仍成立。
分析：习题“图1、2是两个相似比为1∶的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4。
（1）①连接CD，得出AD=CD，求出∠1=∠3，证出△CDF≌△ADE即可；
②由△CDF≌△ADE得出AE=CF，同理证△CED≌△BFD，推出BF=CE，在△CEF中根据勾股定理得出CE2 CF2=EF2，代入求出即可；
（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，如图5连接GE，求出∠GCE∠ECF，CG=CF，根据SAS证△CGE≌△CFE，推出GE=EF，根据勾股定理求出即可。
此题不管图形怎么旋转变化，永远找到两个全等的三角形得到相等的边与角，通过等量代换解决问题。在旋转的过程中很多量是不变的，只要让学生把这些不变的量找到并标注出来，从简单的图形中找到解题方法，后面复杂的问题遵从这些不变性，可以让学生充分挖掘题中的内涵和外延，把一些看似很难的题目变得很容易找到解题方法。且此类问题证明思路也是不变的，常常把已知条件往一个三角形中搬。如下面例2：
例2. 如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是AB上的两个点，且AD=6，BE=8，∠DCE=45°，则DE的长为（ ）
分析：作∠1=∠2，并截取CF=CD，连接BF，EF。
则△ADC≌△BCF，∴BF=AD=6，∠CBF=∠A=45°，∴∠EBF=∠ABC ∠CBF=90°，
∴在直角△BEF中， ， ∴ EF=10，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∴∠2 ∠BCE=45°，
又∵∠1=∠2，∴∠ECF=45°，∴∠DCE=∠ECF，
又∵DC=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE，
∴DE=EF=10。
二、动手操作为解决对称问题创设解题的情境
我国著名特级数学教师马明先生有一句很生动的比喻：教师把知识“抛”得越快，学生忘得越快。教得多并不意味着学得也多，有时教得少反而学得多。究其原因，是学生缺乏对数学知识的主动的建构过程。以“学”为中心的教学是在教师的介入下，学生自立地、合作地进行活动，这才是学校中“学习”的本质。以“学”为中心的课堂，学生是学习的主体，教师应在其中担当好引导的角色，要为学生的学习创设良好的知识生成情境，要让学生投身到知识的发生、发展和应用中，为学生的知识生成做好充分的预设，让学生真正成为学习的主人。
例3. 浙教版八年级下6.2.2菱形的判定的教学
菱形的判定这一课时，笔者通过四个操作，让学生经历知识的发现、归纳、验证以及应用过程。让学生自然生成菱形的判定及折叠中难点的突破。
操作1： 取一张长方形纸片，按下图的方法对折两次，并沿圖（3）中的斜线剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上。
议一议：（1）观察展开的四边形中，“剪痕”“折痕”分别是什么？它们分别有什么关系？（2）展开的四边形是哪一种四边形？（3）一个四边形或平行四边形应该具备什么条件，就可以判定它是菱形？
问题1的“剪痕”正是剪下四边形的四边，“折痕”正是剪下四边形的对角线，追问它们的关系，引导学生生成“四边都相等”“对角线互相垂直平分”，这些正是菱形的特性。
问题2中引导学生逆向思维猜想是什么四边形，并利用菱形的定义说理。
问题3则在前面猜想的基础上让学生猜想可以作为菱形判定的条件，鼓励学生生成各种各样的添法如：①四边都相等的四边形；②四边都相等的平行四边形；③对角线互相垂直的平行四边形；④对角线互相垂直平分且四边相等的四边形等。 教师则从矩形判定定理的发现经验出发，引导学生从最简洁的条件出发进行推理验证。笔者对课本议一议的问题作了改进，更加突出折叠、裁剪中的特殊性，而它們的关系也正是菱形的特性，正是判定菱形所需添加的必备条件。通过折叠、裁剪等实验操作，让学生经历知识的实验、猜想、验证的生成过程，参与到知识的发现中获得成功的体验。通过对猜想的论证，体现了直观操作与逻辑推理的有机结合，让学生进一步认识逻辑推理的必要性， 突出了教学的重点。在学生的猜想中生成菱形的判定定理，更好地体现了以学为中心的思想，让学生获得更多的体验。
操作2：将等腰△ABC，沿着底边BC向下翻折得到像△A′BC。画完后得到四边形ABA′C，判断四边形ABA′C是什么四边形并证明。
操作3：画一个菱形，使它的两条对角钱的长分别为2cm和4cm。并说明其中的道理。
这里通过两个简单的操作和说理，让学生在操作和说理中掌握菱形的两种判别方法的应用和书写，达到学以致用的目的，进一步加深对两条判定的应用意识。同时，启发学生由菱形的判定生成画菱形的常用方法。
操作4：将准备好的矩形纸片沿对角折出一条对角线AC，再折叠矩形纸片，使得点C与点A重合，折痕为EF，连接AF、CE。判断四边形AECF的形状，并说明理由。
操作4是由课本的例题改编而来，改变了题目的呈现形式。折叠中线段的大小和位置关系是学生分析和解题的一个难点，通过让学生体验图形的产生过程，感受AC被EF垂直平分，也可操作验证EF被AC垂直平分。再通过推理证明，强化了判定定理的应用。
三、平移变换为解决实际问题提供转化的背景
教师必须清楚地认识到数学教学是一种“过程教学”，它既包括了数学新知识的发现、形成、发展的过程，也包括了教师学生的思维过程。因此，教师在课堂教学中，应该从不同的方向引导学生思考问题，思考过程中想到哪些方法，用一种比较简单的方法去解决实际问题；若在多种解法的情况下，应该反思选择哪种解法为好，这种方法好在哪里等。
例4. （八年级数学第四册同步练）某中学为了美化校园，准备在长30米，宽20米的长方形场地上，修筑两条宽度相等且互相垂直的水泥道路，如图，余下部分作花坛，为了使花坛的总面积为551平方米，问道路的宽为多少米？
分析：多数同学会用这样的解法，即：
矩形的面积-道路的面积=花坛的面积，得到如下的一元二次方程，30×20-（30x 20x-x2）=551。有的学生粗心大意，没有减去两路交叉部分重复计算的正方形面积x2，而得出错误答案30×20-（30x 20x）=551。教师问有没有其他不同的方法学生来列式解决问题，经过思考讨论，学生得出：
4×每小块花坛面积=551，即4××=551。
这个式子比前一个式子简单多了，也避免了用前面方法可能会出现的问题。此时，教师进一步引导学生观察式子，发现：左边4与分母上的两个2约去后成为（30-x）与（20-x）的积，教师让学生充分地思索30-x、20-x表示什么呢？然后启发学生在黑板上作如右图的平移，学生的思路豁然开朗。
因此，教师在引导、启发学生分析问题、探索问题的过程中，不仅暴露了思维分析的整个过程，而且用运动的观点，启发学生灵活地解决问题，既培养了学生思考分析问题的创新思维，又体验了从一般到特殊、从静止到运动的解题途径。
由此，学生也可以轻松解决如下图中两种图形求“道路的宽度”的问题。
这样的试题分析和操作，有利于学生真正把数学知识学活、用活，用脑子做题；既有利于教师进一步研究教材教法，更有利于引导学生对思维薄弱环节的学法思考，培养学生学数学、用数学的意识和能力。
综上所述，在实施素质教育的今天，既要全面落实“减负”工作，又要真正做到“减负不减质”，这就要求教师在数学教学中，立足于学生学习方法的培养，加强对学生学法的指导，“改变教学方法，从教知识变为教思考”，变“结果教学为过程教学”。日常教学要起到学生学习方法的示范作用，教给学生学习数学的方法，努力营造出有利于学生思维发展的氛围，在教学中渗透并引导学法帮助、指导学生研究并掌握学习方法。体现“以学为中心的理念”，在日常教学中，引导学生探究与发现，教会学生反思解题过程、发现题目的本质、体会所包含的数学思想，是有助于增强学生学习效果、培养思维能力、提升数学素养的。本文从数学图形变换的问题谈几点粗浅体会。
参考文献：
[1] 冯克诚，于 明，吴 霓.课堂学生学习方法指导全书——数学部分[M].北京：国际文化出版社，1996.
[2] 柳 斌.中国著名特级教师教学思想录[M].南京：江苏教育出版社，1996.
[3] 周明星.①教育创新途径与趋势——数学学科的学习策略[M].②教育创新与应试创新——学习方法创新[M].北京：中国人事出版社，1999.
（作者单位：浙江省嘉兴市南湖区凤桥镇中学 314000）
关键词：不变性；旋转变化；动手操作；解题策略
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2017）03-0084
图形的变换问题往往集几何、代数知识于一身，数形结合有很强的综合性，能够在运动中发展学生空间想象能力、综合分析能力，是近几年来中考命题的热点。要解决此类问题，一定要用运动和发展的眼光观察和研究图形，把握图形运动与变化的全过程。一方面，要注意在图形变换过程中各个时刻分类画图，由“动”变“静”以“静”制“动”；另一方面，还要善于抓住在运动过程中某一特殊位置的等量关系和变量关系，以及让学生动手操作，创设情境解决问题。
一、从旋转的角度在题目图中注明不变性的信息
几何图形的旋转在教材中以比较简单的形式呈现，但是很好地归纳了旋转的本质（旋转中心、方向和角度）。这些本质是教与学的依据，也是题目的主要来源。但在平时教学过程中往往就题论题，没有和一些特殊的几何图形相结合，也没有让学生通过自己动手操作感受和体会旋转变化过程中的本质以及那些不变的量，或者是潜在相等的量。其实，很多题目只要动手画画，把一些不变的量找到并标注出来就很容易把问题解决。
例1. 图1、2是两个相似比为1∶的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。
（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4，①求证：DE=DF。②求证：AE2 BF2=EF2；（2）在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它与斜边和CD延长线分别交于点E，点F，如图5，证明结论：AE2 BF2=EF2仍成立。
分析：习题“图1、2是两个相似比为1∶的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合。（1）图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E、F，如图4。
（1）①连接CD，得出AD=CD，求出∠1=∠3，证出△CDF≌△ADE即可；
②由△CDF≌△ADE得出AE=CF，同理证△CED≌△BFD，推出BF=CE，在△CEF中根据勾股定理得出CE2 CF2=EF2，代入求出即可；
（2）把△CFB绕点C顺时针旋转90°得到△CGA，如图5连接GE，求出∠GCE∠ECF，CG=CF，根据SAS证△CGE≌△CFE，推出GE=EF，根据勾股定理求出即可。
此题不管图形怎么旋转变化，永远找到两个全等的三角形得到相等的边与角，通过等量代换解决问题。在旋转的过程中很多量是不变的，只要让学生把这些不变的量找到并标注出来，从简单的图形中找到解题方法，后面复杂的问题遵从这些不变性，可以让学生充分挖掘题中的内涵和外延，把一些看似很难的题目变得很容易找到解题方法。且此类问题证明思路也是不变的，常常把已知条件往一个三角形中搬。如下面例2：
例2. 如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D、E是AB上的两个点，且AD=6，BE=8，∠DCE=45°，则DE的长为（ ）
分析：作∠1=∠2，并截取CF=CD，连接BF，EF。
则△ADC≌△BCF，∴BF=AD=6，∠CBF=∠A=45°，∴∠EBF=∠ABC ∠CBF=90°，
∴在直角△BEF中， ， ∴ EF=10，
∵∠ACB=90°，∠DCE=45°，∴∠2 ∠BCE=45°，
又∵∠1=∠2，∴∠ECF=45°，∴∠DCE=∠ECF，
又∵DC=CF，CE=CE
∴△DCE≌△FCE，
∴DE=EF=10。
二、动手操作为解决对称问题创设解题的情境
我国著名特级数学教师马明先生有一句很生动的比喻：教师把知识“抛”得越快，学生忘得越快。教得多并不意味着学得也多，有时教得少反而学得多。究其原因，是学生缺乏对数学知识的主动的建构过程。以“学”为中心的教学是在教师的介入下，学生自立地、合作地进行活动，这才是学校中“学习”的本质。以“学”为中心的课堂，学生是学习的主体，教师应在其中担当好引导的角色，要为学生的学习创设良好的知识生成情境，要让学生投身到知识的发生、发展和应用中，为学生的知识生成做好充分的预设，让学生真正成为学习的主人。
例3. 浙教版八年级下6.2.2菱形的判定的教学
菱形的判定这一课时，笔者通过四个操作，让学生经历知识的发现、归纳、验证以及应用过程。让学生自然生成菱形的判定及折叠中难点的突破。
操作1： 取一张长方形纸片，按下图的方法对折两次，并沿圖（3）中的斜线剪开，把剪下的①这部分展开，平铺在桌面上。
议一议：（1）观察展开的四边形中，“剪痕”“折痕”分别是什么？它们分别有什么关系？（2）展开的四边形是哪一种四边形？（3）一个四边形或平行四边形应该具备什么条件，就可以判定它是菱形？
问题1的“剪痕”正是剪下四边形的四边，“折痕”正是剪下四边形的对角线，追问它们的关系，引导学生生成“四边都相等”“对角线互相垂直平分”，这些正是菱形的特性。
问题2中引导学生逆向思维猜想是什么四边形，并利用菱形的定义说理。
问题3则在前面猜想的基础上让学生猜想可以作为菱形判定的条件，鼓励学生生成各种各样的添法如：①四边都相等的四边形；②四边都相等的平行四边形；③对角线互相垂直的平行四边形；④对角线互相垂直平分且四边相等的四边形等。 教师则从矩形判定定理的发现经验出发，引导学生从最简洁的条件出发进行推理验证。笔者对课本议一议的问题作了改进，更加突出折叠、裁剪中的特殊性，而它們的关系也正是菱形的特性，正是判定菱形所需添加的必备条件。通过折叠、裁剪等实验操作，让学生经历知识的实验、猜想、验证的生成过程，参与到知识的发现中获得成功的体验。通过对猜想的论证，体现了直观操作与逻辑推理的有机结合，让学生进一步认识逻辑推理的必要性， 突出了教学的重点。在学生的猜想中生成菱形的判定定理，更好地体现了以学为中心的思想，让学生获得更多的体验。
操作2：将等腰△ABC，沿着底边BC向下翻折得到像△A′BC。画完后得到四边形ABA′C，判断四边形ABA′C是什么四边形并证明。
操作3：画一个菱形，使它的两条对角钱的长分别为2cm和4cm。并说明其中的道理。
这里通过两个简单的操作和说理，让学生在操作和说理中掌握菱形的两种判别方法的应用和书写，达到学以致用的目的，进一步加深对两条判定的应用意识。同时，启发学生由菱形的判定生成画菱形的常用方法。
操作4：将准备好的矩形纸片沿对角折出一条对角线AC，再折叠矩形纸片，使得点C与点A重合，折痕为EF，连接AF、CE。判断四边形AECF的形状，并说明理由。
操作4是由课本的例题改编而来，改变了题目的呈现形式。折叠中线段的大小和位置关系是学生分析和解题的一个难点，通过让学生体验图形的产生过程，感受AC被EF垂直平分，也可操作验证EF被AC垂直平分。再通过推理证明，强化了判定定理的应用。
三、平移变换为解决实际问题提供转化的背景
教师必须清楚地认识到数学教学是一种“过程教学”，它既包括了数学新知识的发现、形成、发展的过程，也包括了教师学生的思维过程。因此，教师在课堂教学中，应该从不同的方向引导学生思考问题，思考过程中想到哪些方法，用一种比较简单的方法去解决实际问题；若在多种解法的情况下，应该反思选择哪种解法为好，这种方法好在哪里等。
例4. （八年级数学第四册同步练）某中学为了美化校园，准备在长30米，宽20米的长方形场地上，修筑两条宽度相等且互相垂直的水泥道路，如图，余下部分作花坛，为了使花坛的总面积为551平方米，问道路的宽为多少米？
分析：多数同学会用这样的解法，即：
矩形的面积-道路的面积=花坛的面积，得到如下的一元二次方程，30×20-（30x 20x-x2）=551。有的学生粗心大意，没有减去两路交叉部分重复计算的正方形面积x2，而得出错误答案30×20-（30x 20x）=551。教师问有没有其他不同的方法学生来列式解决问题，经过思考讨论，学生得出：
4×每小块花坛面积=551，即4××=551。
这个式子比前一个式子简单多了，也避免了用前面方法可能会出现的问题。此时，教师进一步引导学生观察式子，发现：左边4与分母上的两个2约去后成为（30-x）与（20-x）的积，教师让学生充分地思索30-x、20-x表示什么呢？然后启发学生在黑板上作如右图的平移，学生的思路豁然开朗。
因此，教师在引导、启发学生分析问题、探索问题的过程中，不仅暴露了思维分析的整个过程，而且用运动的观点，启发学生灵活地解决问题，既培养了学生思考分析问题的创新思维，又体验了从一般到特殊、从静止到运动的解题途径。
由此，学生也可以轻松解决如下图中两种图形求“道路的宽度”的问题。
这样的试题分析和操作，有利于学生真正把数学知识学活、用活，用脑子做题；既有利于教师进一步研究教材教法，更有利于引导学生对思维薄弱环节的学法思考，培养学生学数学、用数学的意识和能力。
综上所述，在实施素质教育的今天，既要全面落实“减负”工作，又要真正做到“减负不减质”，这就要求教师在数学教学中，立足于学生学习方法的培养，加强对学生学法的指导，“改变教学方法，从教知识变为教思考”，变“结果教学为过程教学”。日常教学要起到学生学习方法的示范作用，教给学生学习数学的方法，努力营造出有利于学生思维发展的氛围，在教学中渗透并引导学法帮助、指导学生研究并掌握学习方法。体现“以学为中心的理念”，在日常教学中，引导学生探究与发现，教会学生反思解题过程、发现题目的本质、体会所包含的数学思想，是有助于增强学生学习效果、培养思维能力、提升数学素养的。本文从数学图形变换的问题谈几点粗浅体会。
参考文献：
[1] 冯克诚，于 明，吴 霓.课堂学生学习方法指导全书——数学部分[M].北京：国际文化出版社，1996.
[2] 柳 斌.中国著名特级教师教学思想录[M].南京：江苏教育出版社，1996.
[3] 周明星.①教育创新途径与趋势——数学学科的学习策略[M].②教育创新与应试创新——学习方法创新[M].北京：中国人事出版社，1999.
（作者单位：浙江省嘉兴市南湖区凤桥镇中学 314000）