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初等几何研究的立体图形包括棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球等。其中圆柱、圆锥、圆台都是旋转体。以长方形的一边或直角三角形一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体,分别叫作圆柱和圆锥。不仅如此,利用平面图形和它的运动,可以方便地定义相关的概念。旋转轴是它们的轴,在轴上的这条边叫作它们的高,垂直于轴的边旋转成的圆面叫作底面,不垂直于轴的边旋转成的曲面叫作侧面,无论旋转到什么位置,这条边都叫作侧面的母线。
古希腊的几何学家对圆、球、柱、锥进行研究,而且还对其他的多种曲线如椭圆、抛物线、双曲线等等的性质进行研究,获得杰出的成果。[1]这三类曲线统称为圆锥曲线,是数学研究的重要对象。小学生认识圆柱与圆锥,学习相关的测量,为进一步研究圆锥曲线的性质打下基础。下面从概念引入、转化方法与学生理解三个方面,讨论教材的设计,比较不同教材的编排方式,分析学生的理解与掌握情况。
一、概念的引入:分类与抽象
不同教材引入圆柱与圆锥的方式大致可以分成两类:一类是从图形的分类中引入,一类是从实物的抽象中引入。
从分类中引入。教材提供众多的直柱体与正锥体,让学生按一定的标准进行分类,在分类的活动中认识圆柱与圆锥区别于其他柱体与锥体的特征。如韩国2006年修订的《数学课程标准》,在小学六年级图形的教学内容中,安排了角柱(棱柱,下同)与角锥(棱锥,下同)的性质、圆柱与圆锥的性质,[2]在认识棱柱与棱锥的基础上学习圆柱与圆锥。台湾版《国民小学数学课本》第十一册(南一书局企业股份有限公司,中华民国九十一年八月版),以“角柱与角锥”为单元标题,先是提供了各种各样的直棱柱与正棱锥,按照是否有尖顶分成柱体和锥体,再根据底面形状把柱体分成圆柱与角柱。如下图:
不过,抽象似乎并没有确切的定义,从实物图抽象到几何图,究竟哪些属性应当保持不变,不同教材其处理的方式也有差异。以上两个版本的教材,实物图与几何图形的大小是一致的,或者说抽象前后基本保持1∶1的大小比例关系。以前的教材似乎并不注意这一点。如下图:
学生在认识图形的过程中,积累了许多观察图形的经验,比如分析平面直线图形可以观察它的边与角,分析长方体可以观察棱和面的大小与位置关系,这些经验不容易直接迁移到认识圆柱的活动中来,教材需要设计更加直观与丰富的活动。
比一比。圆柱与圆锥联系密切,同底等高的圆柱体与圆锥体的体积存在确定的倍数关系。通过对这两类立体图形进行比较,学生容易找到它们的相同点与不同点。北师大版教材把认识圆柱与圆锥安排在同一课时,使比较成为认识图形的现实途径。如下图:
做一做。把立体图形转化为平面图形进行研究,比较直观的方式就是展开与折叠。人教版教材在学生初步认识圆柱的特征之后,通过展开与折叠的活动,发现立体图形的组成元素与平面展开图之间的关系,为学习表面积计算打下基础。如下图:
朗文出版社出版的《小学数学》,在6A学段呈现了丰富多样的圆柱或圆锥截面。如下图:
测查的问题是:上面的图形哪些是圆柱体,哪些不是?想一想圆柱有什么特点,用自己的话写下来。
主要从两个方面进行分析:一是学生对图形特征的描述是否完备?二是反例是否支持学生改善特征描述?
圆柱的组成元素包括底面、侧面、高等,这些元素包括形状、大小、空间关系。这项研究主要考查学生从哪些角度描述圆柱特征,研究的方法是对学生描述的特征进行归类分析。主要包括:(1)底面是形状一样、大小相同的圆;(2)侧面是曲面,展开是长方形;(3)有无数条高,这些高都相等;(4)由长方形旋转得到,是圆平移的轨迹。结果如下:
可见,对于底面的特征学生比较容易把握,而对于圆柱的动态形成过程印象并不深刻。其中,特征描述中包含(1)(2)(3)这三项的有34人,占30.1%。可以这样说,这部分学生对于圆柱特征的描述比较完备。或者说,与那些“顾此失彼”(只描述一项或两项)的描述相比,约1/3的学生对圆柱特征的描述比较完备,可以理解为他们对图形特征的掌握比较好。
正例与反例对于概念学习有各自不同的价值,正例用于概括,反例推动反思。调查时先让学生独立写下圆柱的特征,然后提示学生:再想一想,你写的话有没有把上面不是圆柱的例子排除在外,如果没有排除外,应当怎样修改你写的话。对113名学生进行分析,描述中包含了许多错误或不够清晰、严谨的地方,但在教师提示学生对照反例后,对描述作了修改的有23人,占20.4%。这样看来,反例对学生改善图形特征的描述所起的作用比较小,这是在教学时需要引起注意的地方。
“透过现象看本质”是一句至理名言,它对数学概念教学也有启示意义。教材提供的实物或几何图形,各种属性是混杂在一起的,它是“现象”。抽象、分类、转化与概括正例、思考反例,这些活动就像一个个筛子,把本质属性与非本质属性分离开来,帮助学生“看透”概念的本质,形成对图形特征的理解。
(注:本文作者系朱乐平名师工作站一课研究组成员)
参考文献:
[1]项武义著.几何学的源起与演进[M].北京:科学出版社,1983:130~131.
[2]曹一鸣主编.十三国数学课程标准评介[M].北京:北京师范大学出版社,2012:224.
[3][4]史宁中著.小学数学教学中的核心问题——基本概念与运算法则[M].北京:高等教育出版社,2013:57.
[5]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[Z].北京:北京师范大学出版社,2012:23.
(浙江省新思维教育科学研究院 310003)
古希腊的几何学家对圆、球、柱、锥进行研究,而且还对其他的多种曲线如椭圆、抛物线、双曲线等等的性质进行研究,获得杰出的成果。[1]这三类曲线统称为圆锥曲线,是数学研究的重要对象。小学生认识圆柱与圆锥,学习相关的测量,为进一步研究圆锥曲线的性质打下基础。下面从概念引入、转化方法与学生理解三个方面,讨论教材的设计,比较不同教材的编排方式,分析学生的理解与掌握情况。
一、概念的引入:分类与抽象
不同教材引入圆柱与圆锥的方式大致可以分成两类:一类是从图形的分类中引入,一类是从实物的抽象中引入。
从分类中引入。教材提供众多的直柱体与正锥体,让学生按一定的标准进行分类,在分类的活动中认识圆柱与圆锥区别于其他柱体与锥体的特征。如韩国2006年修订的《数学课程标准》,在小学六年级图形的教学内容中,安排了角柱(棱柱,下同)与角锥(棱锥,下同)的性质、圆柱与圆锥的性质,[2]在认识棱柱与棱锥的基础上学习圆柱与圆锥。台湾版《国民小学数学课本》第十一册(南一书局企业股份有限公司,中华民国九十一年八月版),以“角柱与角锥”为单元标题,先是提供了各种各样的直棱柱与正棱锥,按照是否有尖顶分成柱体和锥体,再根据底面形状把柱体分成圆柱与角柱。如下图:
不过,抽象似乎并没有确切的定义,从实物图抽象到几何图,究竟哪些属性应当保持不变,不同教材其处理的方式也有差异。以上两个版本的教材,实物图与几何图形的大小是一致的,或者说抽象前后基本保持1∶1的大小比例关系。以前的教材似乎并不注意这一点。如下图:
学生在认识图形的过程中,积累了许多观察图形的经验,比如分析平面直线图形可以观察它的边与角,分析长方体可以观察棱和面的大小与位置关系,这些经验不容易直接迁移到认识圆柱的活动中来,教材需要设计更加直观与丰富的活动。
比一比。圆柱与圆锥联系密切,同底等高的圆柱体与圆锥体的体积存在确定的倍数关系。通过对这两类立体图形进行比较,学生容易找到它们的相同点与不同点。北师大版教材把认识圆柱与圆锥安排在同一课时,使比较成为认识图形的现实途径。如下图:
做一做。把立体图形转化为平面图形进行研究,比较直观的方式就是展开与折叠。人教版教材在学生初步认识圆柱的特征之后,通过展开与折叠的活动,发现立体图形的组成元素与平面展开图之间的关系,为学习表面积计算打下基础。如下图:
朗文出版社出版的《小学数学》,在6A学段呈现了丰富多样的圆柱或圆锥截面。如下图:
测查的问题是:上面的图形哪些是圆柱体,哪些不是?想一想圆柱有什么特点,用自己的话写下来。
主要从两个方面进行分析:一是学生对图形特征的描述是否完备?二是反例是否支持学生改善特征描述?
圆柱的组成元素包括底面、侧面、高等,这些元素包括形状、大小、空间关系。这项研究主要考查学生从哪些角度描述圆柱特征,研究的方法是对学生描述的特征进行归类分析。主要包括:(1)底面是形状一样、大小相同的圆;(2)侧面是曲面,展开是长方形;(3)有无数条高,这些高都相等;(4)由长方形旋转得到,是圆平移的轨迹。结果如下:
可见,对于底面的特征学生比较容易把握,而对于圆柱的动态形成过程印象并不深刻。其中,特征描述中包含(1)(2)(3)这三项的有34人,占30.1%。可以这样说,这部分学生对于圆柱特征的描述比较完备。或者说,与那些“顾此失彼”(只描述一项或两项)的描述相比,约1/3的学生对圆柱特征的描述比较完备,可以理解为他们对图形特征的掌握比较好。
正例与反例对于概念学习有各自不同的价值,正例用于概括,反例推动反思。调查时先让学生独立写下圆柱的特征,然后提示学生:再想一想,你写的话有没有把上面不是圆柱的例子排除在外,如果没有排除外,应当怎样修改你写的话。对113名学生进行分析,描述中包含了许多错误或不够清晰、严谨的地方,但在教师提示学生对照反例后,对描述作了修改的有23人,占20.4%。这样看来,反例对学生改善图形特征的描述所起的作用比较小,这是在教学时需要引起注意的地方。
“透过现象看本质”是一句至理名言,它对数学概念教学也有启示意义。教材提供的实物或几何图形,各种属性是混杂在一起的,它是“现象”。抽象、分类、转化与概括正例、思考反例,这些活动就像一个个筛子,把本质属性与非本质属性分离开来,帮助学生“看透”概念的本质,形成对图形特征的理解。
(注:本文作者系朱乐平名师工作站一课研究组成员)
参考文献:
[1]项武义著.几何学的源起与演进[M].北京:科学出版社,1983:130~131.
[2]曹一鸣主编.十三国数学课程标准评介[M].北京:北京师范大学出版社,2012:224.
[3][4]史宁中著.小学数学教学中的核心问题——基本概念与运算法则[M].北京:高等教育出版社,2013:57.
[5]中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准(2011年版)[Z].北京:北京师范大学出版社,2012:23.
(浙江省新思维教育科学研究院 310003)