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数学科学是严谨的，严谨性是发展学生思维能力的核心环节，发展学生严谨的逻辑思维能力，也是中学数学教学的重要目的之一。因此，在课堂教学中，要有意识地逐步培养学生概念清楚、言必有据、思维缜密、思路清晰的良好习惯。
一、概念准确
数学中的每一个名词、术语、公式、法则都有精确的含义，学生能否确切地理解以及理解的程度是学生思维严谨性培养的基础。因此，应该要求学生掌握精确的数学语言。
在教学中，结合教学内容，采取集中训练的方式，使学生的数学语言日趋精确化。例如，结合列代数式、列方程的教学内容，充分利用变式教学，集中训练学生进行语言与常用符号、数学式子的相互翻译，使学生能够准确地建立数学语言与数学符号、数学式子之间的对应关系。同时，教师还必须结合教材对数学语言的精确化作典型的分析或诱导。例如，为了让学生弄清“-22”与“（-2）2”的差异，可以先要求学生会将“-22”念成“2的平方的相反数”，将“（-2）2”念成“负2的平方”。再问学生二者的运算结果是什么？有何差异？用这样对比的方法，使学生灵活运用数学语言，准确判断二者的差异。又如，在建立有理数与数轴上点的对应关系时，应当使学生区分“每一个有理数对应数轴上唯一的一个点”与“数轴上的每一个点对应唯一的一个有理数”这两个命题的不同含义，并经过分析明确其对与错。当然，要培养学生语言的精确性，教师的课堂教学语言既要精练又要准确，既要规范又要适应学生的水平。
二、言必有据
言必有据是学生数学思维严谨性培养的核心，在一般解题过程中，除证明的论证要步步有据、符合逻辑外，就是计算题、作图题的求解过程中都包含着推理，都要强调每一步推理的充分依据。计算过程中，算理是算法的依据，在算理的指导下解题，学生才能真正理解算法。灵活运用算理，算法才能熟练自如、得心应手。画图也要有根据，教学中要恰当处理画法程序与画理之间的关系，还要特别处理好一般与特殊的关系，不能把任意三角形画成特殊的等腰三角形，也不能把平行四边形画成矩形或菱形。
数学教学中，要求学生做到言必有据，有时可以借助于直观或猜想去探寻所需的根据。例如，要证明两个角或两条线段相等，可以从图形出发，利用直观试证与它们相关的两个三角形全等。当然，这种直观性只是入门的向导，只能起到一种启示作用，不能作为根据。同样，解题中的猜想也只能起到启示的作用，只有猜想得到证明以后，才能作为进一步推理的根据。因此，言必有据并不排斥直观与猜想。强调思维的严谨性时，应允许直观与猜想，并力求以充分的论据将它变为现实，从而辩证地处理好推理有据与直观猜想的关系。例如，要解答问题：如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形。求证：b=a+c。
可以这样分析：如图，欲证结论成立单凭直观很难找出证明途径，而三个正方形的边之间也无法得到证明。但从图中我们可以直观地看出并猜测：a，b，c关系能否通过图中三角形建立起联系呢？由此猜想，通过三角形相似进行试证，显然图中正方形分割得到的三角形都相似，从中选择一对含有a，b，c三角形证明相似，从而实现猜想，通过相似证明了本题结论。
培养学生言必有据，应加强代数教学中的说理、论证因素，类似代数式的恒等证明从七年级开始就可以渗入。例如：
已知 求证：a2+b2+c2=（a+b+c）2
引导学生观察所证等式的左右两边的关系，不难看出右边的展开式中含有式子a2+b2+c2，故将展开并整理得：2ab-2ac-2bc=0；联想已知条件，发现将所得结果两边除以2abc，可得 ，即 。把整个过程逆推回去即是证明过程。
三、思考缜密
考虑问题要全面、周密而不重不漏。为了培养学生思考缜密的良好思维品质，在教学中必须潜移默化地进行训练，既要正面强调，又要反面烘托。结合典型教材、典型例题的教学，进行细致的剖析和逐步深入的训练，这是提高学生思考缜密的必要途径。例如：解方程32x-1=2x+1。这是一个含绝对值的方程，首先引导学生联想绝对值的概念和解这类方程的一般途径，然后提出去掉绝对值符号，进行分类讨论。即分为当2x+1≥0和2x+1<0两种情况，化简方程，从而求解。最后，还可以问学生：这一带方程并不是一元二次方程，它为什么有两个根呢？
象这样涉及分情况讨论的问题，在数学中还有不少，如对含文字系数的方程、不等式的解的讨论、特殊图形、图形的相似等。教学中应充分利用这些题材，不失时机地正面训练学生思考的缜密性。同时，反面的烘托也应适当进行，主要是让学生从反面中纠正错误，提高思考的缜密性。例如，在适当时机，给出一个错误的解题如下：
解关于x的方程：2m-（m+n）x=（m-n）x
解：整理方程得：2mx=2m
系数化为1得：x=1
要求学生分析以上的解题过程，识别谬误，指出漏洞，这对于学生思考问题是否缜密是一个很好的考验。
四、思路清晰
分析考虑问题时，要求层次清楚、步骤明确、程序分明。作为教师首先要对每一节课的教学内容都要做到纲目清楚、组织结构严谨、层次分明。在讲解中有理有据、程序分明；在解题中有章有法、步骤明确。例如：分解因式。
教学中可以在分析题目特点的基础上，把这一问题归结为以下程序来解决：确定系数的最大公约数为2；找出各项公有的字母a，b；找出各项公有字母的最低次幂a，b2；确定各项的最高公因式2ab2；用每一项除以最高公因式所得商的代数和作为另一个因式，由此得出：4a3b2-6ab3c=2ab2（2a2-3bc）。
只有在教学中要求学生根据基本程序解题，才能保证解题过程的思路清晰、有条不紊、避免差错。特别是在证明题的论证过程中，要做到层次分明、思路清晰的关键就是引导和教会学生进行证明前的分析，找出证题途径。
如图所示，BD是圆O的直径，弦AC⊥BD，垂足是E，BA和CD的延长线交于点P。
求证：（1）AB=BC；（2）CD·PC=PA·AB。
分析：（1）由垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧，故AE=EC，AD=CD，AB=BC，故AB=BC，AD=CD。
（2）欲证明CD·PC=PA·AB须证 为此要构造两相似三角形，分母上的两线段可构成△PAC，但分子上的两条线段无法构成三角形，故采用等量代换法，AB=BC，可将AB用BC代换得 ，分子上的两线段构成Rt△BCD，与钝角△PAC不相似。再由CD=AD，可用AD代换CD，得 可得△PDA∽△PBC，于是两次应用等量代换，便构成两相似三角形，使结论得证。
当然，学生思维严谨性的培养还要考虑学生的可接受程度。因此，教学安排上要有适当的梯度，在教学内容的处理上应便于学生接受，从学生的实际情况出发培养学生对数学思维的适应兴趣，注意学生的个性差异，进而因材施教。
一、概念准确
数学中的每一个名词、术语、公式、法则都有精确的含义，学生能否确切地理解以及理解的程度是学生思维严谨性培养的基础。因此，应该要求学生掌握精确的数学语言。
在教学中，结合教学内容，采取集中训练的方式，使学生的数学语言日趋精确化。例如，结合列代数式、列方程的教学内容，充分利用变式教学，集中训练学生进行语言与常用符号、数学式子的相互翻译，使学生能够准确地建立数学语言与数学符号、数学式子之间的对应关系。同时，教师还必须结合教材对数学语言的精确化作典型的分析或诱导。例如，为了让学生弄清“-22”与“（-2）2”的差异，可以先要求学生会将“-22”念成“2的平方的相反数”，将“（-2）2”念成“负2的平方”。再问学生二者的运算结果是什么？有何差异？用这样对比的方法，使学生灵活运用数学语言，准确判断二者的差异。又如，在建立有理数与数轴上点的对应关系时，应当使学生区分“每一个有理数对应数轴上唯一的一个点”与“数轴上的每一个点对应唯一的一个有理数”这两个命题的不同含义，并经过分析明确其对与错。当然，要培养学生语言的精确性，教师的课堂教学语言既要精练又要准确，既要规范又要适应学生的水平。
二、言必有据
言必有据是学生数学思维严谨性培养的核心，在一般解题过程中，除证明的论证要步步有据、符合逻辑外，就是计算题、作图题的求解过程中都包含着推理，都要强调每一步推理的充分依据。计算过程中，算理是算法的依据，在算理的指导下解题，学生才能真正理解算法。灵活运用算理，算法才能熟练自如、得心应手。画图也要有根据，教学中要恰当处理画法程序与画理之间的关系，还要特别处理好一般与特殊的关系，不能把任意三角形画成特殊的等腰三角形，也不能把平行四边形画成矩形或菱形。
数学教学中，要求学生做到言必有据，有时可以借助于直观或猜想去探寻所需的根据。例如，要证明两个角或两条线段相等，可以从图形出发，利用直观试证与它们相关的两个三角形全等。当然，这种直观性只是入门的向导，只能起到一种启示作用，不能作为根据。同样，解题中的猜想也只能起到启示的作用，只有猜想得到证明以后，才能作为进一步推理的根据。因此，言必有据并不排斥直观与猜想。强调思维的严谨性时，应允许直观与猜想，并力求以充分的论据将它变为现实，从而辩证地处理好推理有据与直观猜想的关系。例如，要解答问题：如图，在Rt△ABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形。求证：b=a+c。
可以这样分析：如图，欲证结论成立单凭直观很难找出证明途径，而三个正方形的边之间也无法得到证明。但从图中我们可以直观地看出并猜测：a，b，c关系能否通过图中三角形建立起联系呢？由此猜想，通过三角形相似进行试证，显然图中正方形分割得到的三角形都相似，从中选择一对含有a，b，c三角形证明相似，从而实现猜想，通过相似证明了本题结论。
培养学生言必有据，应加强代数教学中的说理、论证因素，类似代数式的恒等证明从七年级开始就可以渗入。例如：
已知 求证：a2+b2+c2=（a+b+c）2
引导学生观察所证等式的左右两边的关系，不难看出右边的展开式中含有式子a2+b2+c2，故将展开并整理得：2ab-2ac-2bc=0；联想已知条件，发现将所得结果两边除以2abc，可得 ，即 。把整个过程逆推回去即是证明过程。
三、思考缜密
考虑问题要全面、周密而不重不漏。为了培养学生思考缜密的良好思维品质，在教学中必须潜移默化地进行训练，既要正面强调，又要反面烘托。结合典型教材、典型例题的教学，进行细致的剖析和逐步深入的训练，这是提高学生思考缜密的必要途径。例如：解方程32x-1=2x+1。这是一个含绝对值的方程，首先引导学生联想绝对值的概念和解这类方程的一般途径，然后提出去掉绝对值符号，进行分类讨论。即分为当2x+1≥0和2x+1<0两种情况，化简方程，从而求解。最后，还可以问学生：这一带方程并不是一元二次方程，它为什么有两个根呢？
象这样涉及分情况讨论的问题，在数学中还有不少，如对含文字系数的方程、不等式的解的讨论、特殊图形、图形的相似等。教学中应充分利用这些题材，不失时机地正面训练学生思考的缜密性。同时，反面的烘托也应适当进行，主要是让学生从反面中纠正错误，提高思考的缜密性。例如，在适当时机，给出一个错误的解题如下：
解关于x的方程：2m-（m+n）x=（m-n）x
解：整理方程得：2mx=2m
系数化为1得：x=1
要求学生分析以上的解题过程，识别谬误，指出漏洞，这对于学生思考问题是否缜密是一个很好的考验。
四、思路清晰
分析考虑问题时，要求层次清楚、步骤明确、程序分明。作为教师首先要对每一节课的教学内容都要做到纲目清楚、组织结构严谨、层次分明。在讲解中有理有据、程序分明；在解题中有章有法、步骤明确。例如：分解因式。
教学中可以在分析题目特点的基础上，把这一问题归结为以下程序来解决：确定系数的最大公约数为2；找出各项公有的字母a，b；找出各项公有字母的最低次幂a，b2；确定各项的最高公因式2ab2；用每一项除以最高公因式所得商的代数和作为另一个因式，由此得出：4a3b2-6ab3c=2ab2（2a2-3bc）。
只有在教学中要求学生根据基本程序解题，才能保证解题过程的思路清晰、有条不紊、避免差错。特别是在证明题的论证过程中，要做到层次分明、思路清晰的关键就是引导和教会学生进行证明前的分析，找出证题途径。
如图所示，BD是圆O的直径，弦AC⊥BD，垂足是E，BA和CD的延长线交于点P。
求证：（1）AB=BC；（2）CD·PC=PA·AB。
分析：（1）由垂直于弦的直径必平分弦，并且平分弦所对的弧，故AE=EC，AD=CD，AB=BC，故AB=BC，AD=CD。
（2）欲证明CD·PC=PA·AB须证 为此要构造两相似三角形，分母上的两线段可构成△PAC，但分子上的两条线段无法构成三角形，故采用等量代换法，AB=BC，可将AB用BC代换得 ，分子上的两线段构成Rt△BCD，与钝角△PAC不相似。再由CD=AD，可用AD代换CD，得 可得△PDA∽△PBC，于是两次应用等量代换，便构成两相似三角形，使结论得证。
当然，学生思维严谨性的培养还要考虑学生的可接受程度。因此，教学安排上要有适当的梯度，在教学内容的处理上应便于学生接受，从学生的实际情况出发培养学生对数学思维的适应兴趣，注意学生的个性差异，进而因材施教。