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数学问题的求解都是运用已知条件，对问题进行恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。因此，解题过程实际是由一连串的转化所组成的。数学转化思想的目标就是复杂问题向简单问题转化。具体表现为当解决生疏、复杂的问题不易入手时，必须变换思考的角度，利用发散性思维，多角度思考，并产生新的联想，将问题转化为熟悉的简单问题。数学转化思想已经成为近几年高考数学中的热点问题，高考命题不仅要求我们掌握常见的转化策略，还要求我们必须在转化过程中审时度势的处理相关问题。笔者将结合教学实践谈谈在教学中渗透数学转化思想要注意的若干问题：
一．寻找联系，注意转化的方向
解题的第一个步骤即审题，明确已知和所求。要求我们要熟悉数学问题的概念情境，明确转化的条件及转化的目的。要搭建条件与所求之间的桥梁，如何引导学生启发联想，寻找条件与所求之间的联系至关重要。对于一个数学问题，因不同的联系方式，其解题过程中转化的方向可能有若干个。
例1：在 中， ，求 的值。
分析：在 中， 可得到 ，又已知 ，此时应注意 和 的联系
解：因为 ，所以 。
法一： 。即 ，因为 ，所以 。
法二：。即 ，即 ，即 ，因为 ，所以 。
联系三：因为 ，所以 。 ，两边平方得到： 。因为 ，所以 。
构造三角形，如图：
例1转化为：在 中， ， ， ，求 的值。
联系四：因为 ，所以 。即 。 因为 ， ，所以
，即 。因为 ，所以 。
说明:前三种联系主要从 与 之间搭建桥梁，联系四构造三角形，在图形中体现条件与所求之间的联系，因此一题多解即条件与所求之间不同的联系方式。解题观察过程中，如果注意寻找条件与所求之间的联系，我们就能迅速洞穿数学问题的本质。
二.合理估计，注意转化的出发点
审题之后要将复杂的问题向简单问题转化，运用所学知识的基本概念，思考采用何种运算方式。此时，必须要进行合理的估计，确定思维的起点，即找准转化的出发点。转化出发点的寻找尤其要注意条件中隐藏的一些常用结论，这常常是解题的突破口。
例2:已知 ，区间有且只有3个整数，则 的取值范围是
分析：因为区间 的长度为 ，所以 离 越远，区间长度越大。区间里有且只有3个整数，区间长度不会太长，所以估计 离 不远。而 时，区间为 ，恰好符合要求。那就不妨从 开始吧。运用分类讨论的思想，对 ， ， ， ， ， ， ， ， 的各种情况进行验证。
评注：对转化的出发点的选择要注意题设中的关键信息，进行合理的估计或直觉猜想，对于复杂的问题可从局部出发，逐渐调整，在调整的过程中去寻找解决问题的方法。
三.化简运算，注意转化结构的简化
转化结构大致分为代数结构和图形结构。如何有效简化转化结构，运算能力是关键。运算能力是一个综合性的能力，要合理选择运算的方法，优化运算的途径，这不仅是迅速运算的需要，也是运算准确的需要，因而根据问题的条件和要求合理地选择解题方法、优化运算途径，不但是转化的关键，也是提高数学综合能力的有效途径。
1.代数结构的简化：
例3：已知函数， 若对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
分析：“对任意的实数 ，不等式 恒成立”可转化为最值问题。
分离常数得： ，为简化结构，令还是令 呢？
解： ，令，则 ， 。因为对任意的实数 ，不等式 恒成立，所以 ----①。
所以当 时， ，①式可化简为 ，即 。
当 时， ，①式可化简为 ，即 。
综上： 。
评注：在上述转化过程中，首先要注意条件中的“任意”两字，将不等式转化为求 的最值问题。其次恰当地令 ，求 的最值就转化为求 在 的最值。最后对 的讨论使得问题逐渐简化 。
2.图形结构的简化：
例4： 是直线 上的三点， 是直线 外一点，
已知 ， ， ，则
分析：由条件可知： ，但 的长度不清楚，如何求 的长度呢？观察图形，考
虑到 是 中点，可添加辅助线使图形结构简化。
解：延长 到 ，使得 是 的中点。连接 。因为 是 的中位线，所以 ， 。
设 ，则 ， ，因为 ，所以 ，即 ，。
评注：抓住图形特点，适当添加辅助线，将陌生图形结构向熟悉图形结构转化。
四.演绎推理，注意转化策略的选择
演绎推理是指根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。转化策略有很多，在演绎推理的过程中，如何审时度势地选择合理的转化策略才是演绎推理的根本。
例5：已知实数 满足 ， ，且 ，则 的取值范围是
分析: 因为 ， ，
转化策略1：运用合理估计得到： ， 。
转化策略2：多变量向少变量转化
将方程 两边同时除以 ，得到： ----①
将不等式 同时除以 ，得到： -------②
转化策略3：运用换元思想
令 ，①式化简为 ------③，②式化简为------④.
转化策略4：运用变量分离思想
将③变量分离可得到： 。
转化策略5：运用分类讨论思想
由④可得 ，即 。
（考虑到分式双边不等式的运算比较复杂，对 的正负进行分类讨论），
（1） 时，①可化简为 ，此不等式组无解。
（2） ，①可化简为 。解此不等式组可得： 。
评注：合理转化策略的选择不是一蹴而就的，需要我们在日常教学中加强双基和五大基本能力的培养，突出数学思想方法，更注重能力培养。通过数学问题的发生，转化过程中转化策略的选择，数学教学就能以此来促进学生基础知识、基本技能、基本思想方法和解决问题能力的提高。合理的化简变形及准确的计算是最好的转化策略。
五.思维迁移，注意转化的等价性
通过思维迁移，将数学问题的一种表述形式通过思维的迁移转化为可操作的另一种表述形式，其本质是在等价的基础上充要条件之间的相互替代。近几年高考中尤其注重考察学生对数学问题的思维迁移并等价转化的能力。
例6：（2011江苏卷第14题改编）已知 ，设集合
，若 ，则实数 的取值范围是
分析：由 ，得∴因为 ，所以 。集合A是以（2，0）为圆心，以 和 为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间区域。如何理解 ，从形的角度看：即圆环与条形区域有重叠，可考虑圆心到直线的距离。从数的角度看： 即不等式组有解，可考虑将集合 中点的坐标通过三角换元的形式代入集合 的约束不等式，使之有解。
等价转化一： 只要圆心到两直线的距离 或 即可，解得 或 。 ∴实数 的取值范围是 。
等价转化二：设， 只要 对 有解。即 对 有解。所以
，所以 ，∴实数 的取值范围是。
评注：思维迁移是转化的本质，等价是转化的关键。通过对数学问题的思维迁移，合理地进行等价转化，我们可以实现化难为易，化繁为简，化隐为显。转化思想在渗透过程中最容易产生原命题与新命题不等价的现象。对于不等价转化则需对所得结论进行必要的修正。
结束语：数学问题中运用“转化”思维方法解题的例子比比皆是，不是几种类型，几种常见策略可以加以概括的。在日常教学中，经常地进行转化思想的教学，针对不同的问题，缜密思考，及时的总结各种转化方法，学生解题能力及灵活性就会逐步地得到提高。
一．寻找联系，注意转化的方向
解题的第一个步骤即审题，明确已知和所求。要求我们要熟悉数学问题的概念情境，明确转化的条件及转化的目的。要搭建条件与所求之间的桥梁，如何引导学生启发联想，寻找条件与所求之间的联系至关重要。对于一个数学问题，因不同的联系方式，其解题过程中转化的方向可能有若干个。
例1：在 中， ，求 的值。
分析：在 中， 可得到 ，又已知 ，此时应注意 和 的联系
解：因为 ，所以 。
法一： 。即 ，因为 ，所以 。
法二：。即 ，即 ，即 ，因为 ，所以 。
联系三：因为 ，所以 。 ，两边平方得到： 。因为 ，所以 。
构造三角形，如图：
例1转化为：在 中， ， ， ，求 的值。
联系四：因为 ，所以 。即 。 因为 ， ，所以
，即 。因为 ，所以 。
说明:前三种联系主要从 与 之间搭建桥梁，联系四构造三角形，在图形中体现条件与所求之间的联系，因此一题多解即条件与所求之间不同的联系方式。解题观察过程中，如果注意寻找条件与所求之间的联系，我们就能迅速洞穿数学问题的本质。
二.合理估计，注意转化的出发点
审题之后要将复杂的问题向简单问题转化，运用所学知识的基本概念，思考采用何种运算方式。此时，必须要进行合理的估计，确定思维的起点，即找准转化的出发点。转化出发点的寻找尤其要注意条件中隐藏的一些常用结论，这常常是解题的突破口。
例2:已知 ，区间有且只有3个整数，则 的取值范围是
分析：因为区间 的长度为 ，所以 离 越远，区间长度越大。区间里有且只有3个整数，区间长度不会太长，所以估计 离 不远。而 时，区间为 ，恰好符合要求。那就不妨从 开始吧。运用分类讨论的思想，对 ， ， ， ， ， ， ， ， 的各种情况进行验证。
评注：对转化的出发点的选择要注意题设中的关键信息，进行合理的估计或直觉猜想，对于复杂的问题可从局部出发，逐渐调整，在调整的过程中去寻找解决问题的方法。
三.化简运算，注意转化结构的简化
转化结构大致分为代数结构和图形结构。如何有效简化转化结构，运算能力是关键。运算能力是一个综合性的能力，要合理选择运算的方法，优化运算的途径，这不仅是迅速运算的需要，也是运算准确的需要，因而根据问题的条件和要求合理地选择解题方法、优化运算途径，不但是转化的关键，也是提高数学综合能力的有效途径。
1.代数结构的简化：
例3：已知函数， 若对任意的实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是．
分析：“对任意的实数 ，不等式 恒成立”可转化为最值问题。
分离常数得： ，为简化结构，令还是令 呢？
解： ，令，则 ， 。因为对任意的实数 ，不等式 恒成立，所以 ----①。
所以当 时， ，①式可化简为 ，即 。
当 时， ，①式可化简为 ，即 。
综上： 。
评注：在上述转化过程中，首先要注意条件中的“任意”两字，将不等式转化为求 的最值问题。其次恰当地令 ，求 的最值就转化为求 在 的最值。最后对 的讨论使得问题逐渐简化 。
2.图形结构的简化：
例4： 是直线 上的三点， 是直线 外一点，
已知 ， ， ，则
分析：由条件可知： ，但 的长度不清楚，如何求 的长度呢？观察图形，考
虑到 是 中点，可添加辅助线使图形结构简化。
解：延长 到 ，使得 是 的中点。连接 。因为 是 的中位线，所以 ， 。
设 ，则 ， ，因为 ，所以 ，即 ，。
评注：抓住图形特点，适当添加辅助线，将陌生图形结构向熟悉图形结构转化。
四.演绎推理，注意转化策略的选择
演绎推理是指根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。转化策略有很多，在演绎推理的过程中，如何审时度势地选择合理的转化策略才是演绎推理的根本。
例5：已知实数 满足 ， ，且 ，则 的取值范围是
分析: 因为 ， ，
转化策略1：运用合理估计得到： ， 。
转化策略2：多变量向少变量转化
将方程 两边同时除以 ，得到： ----①
将不等式 同时除以 ，得到： -------②
转化策略3：运用换元思想
令 ，①式化简为 ------③，②式化简为------④.
转化策略4：运用变量分离思想
将③变量分离可得到： 。
转化策略5：运用分类讨论思想
由④可得 ，即 。
（考虑到分式双边不等式的运算比较复杂，对 的正负进行分类讨论），
（1） 时，①可化简为 ，此不等式组无解。
（2） ，①可化简为 。解此不等式组可得： 。
评注：合理转化策略的选择不是一蹴而就的，需要我们在日常教学中加强双基和五大基本能力的培养，突出数学思想方法，更注重能力培养。通过数学问题的发生，转化过程中转化策略的选择，数学教学就能以此来促进学生基础知识、基本技能、基本思想方法和解决问题能力的提高。合理的化简变形及准确的计算是最好的转化策略。
五.思维迁移，注意转化的等价性
通过思维迁移，将数学问题的一种表述形式通过思维的迁移转化为可操作的另一种表述形式，其本质是在等价的基础上充要条件之间的相互替代。近几年高考中尤其注重考察学生对数学问题的思维迁移并等价转化的能力。
例6：（2011江苏卷第14题改编）已知 ，设集合
，若 ，则实数 的取值范围是
分析：由 ，得∴因为 ，所以 。集合A是以（2，0）为圆心，以 和 为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间区域。如何理解 ，从形的角度看：即圆环与条形区域有重叠，可考虑圆心到直线的距离。从数的角度看： 即不等式组有解，可考虑将集合 中点的坐标通过三角换元的形式代入集合 的约束不等式，使之有解。
等价转化一： 只要圆心到两直线的距离 或 即可，解得 或 。 ∴实数 的取值范围是 。
等价转化二：设， 只要 对 有解。即 对 有解。所以
，所以 ，∴实数 的取值范围是。
评注：思维迁移是转化的本质，等价是转化的关键。通过对数学问题的思维迁移，合理地进行等价转化，我们可以实现化难为易，化繁为简，化隐为显。转化思想在渗透过程中最容易产生原命题与新命题不等价的现象。对于不等价转化则需对所得结论进行必要的修正。
结束语：数学问题中运用“转化”思维方法解题的例子比比皆是，不是几种类型，几种常见策略可以加以概括的。在日常教学中，经常地进行转化思想的教学，针对不同的问题，缜密思考，及时的总结各种转化方法，学生解题能力及灵活性就会逐步地得到提高。