关键词：高等数学课程;微分运算;积分运算
1 函数极限定义与应用标准探究
在高等数学中，我们接触到的第一个定义就是函数极限的定义，这个定义是高等数学的核心思想，我们先来重温一下函数极限的定义。
定义：设函数在上有定义，A为一个常数，如果对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使7得当时，有
则称函数当
时极限为A。
函数极限定义极其严缜。定义首先给极限制定了一个标准，这个标准就是定理中任意给定的一个无穷小量，给定了这个标准后定义又提供了检验该标准的方法，这个方法就是找到某一正数x，从x以右的所有的函数减去某个常数A的绝对值都要小于给定的这个标准小量。
从极限观点来看，无穷小量是极限为零的一个变量。古代人不知道如何求圆的周长，想了很多方法，我国古代数学家刘徵先从求圆内接六边形的周长开始，然后逐渐把边数扩大的方法来求圆的周长大小。刘徵每求一次就算一下正多边形周长与直径的比，用一个分数来表示，这样反复做了多次后，刘徵得到一个分数系列。刘徵的结论是圆内接正多边形的边数越多，圆内接正多边形的周长与圆周就越接近，所得到的分数就越接近圆周率。
我们可以很清晰的认识到，无论正多边形的边数如何，它都是一个圆内接的正多边形，不是圆。但是刘徵的方法是可以操作的，做出来的结果与预先设定的标准是无限接近的。
极限只能是在有标准的条件下可操作的方法中过程的无限接近，而不是达到。这种思想方法可以称为高等数学核心思想。这种思想贯穿了微积分的求极限，求导数，求积分的运算之中。它是一次革命性的思想转变，
表现为标准可以检验，方法可以操作，
由此及彼，此不一定是彼，彼也不一定是此。
抓大放小，抓主要矛盾，研究主要实体。
函数极限的思想从根本上改变了我们中学数学中呆板的举一返三的学习模式，它启发我们，做任何一件项目，先要制定出项目的应用标准，然后在此标淮下寻找到行之有效的可以操作的方法。
如果制定项目标准是一种创新思想，在这种思想下采取行之有效的操作方法是一种创业能力，我们职业教育培养的人才，就应该是这种具有创新思想创业能力的应用型人才。
2 三个导数中值定理在函数中证明及计算
高等数学中第二个运算是微分运算，微分运算中有三个中值定理，分别是罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这三个中值定理互为补充，再配合表格图形，对函数的研究如庖丁解牛一般准确。
先看罗尔定理;设函数满足
（1）在闭区间上连续，
（2）在开区间内可导
（3）若有
则至少存在一点，使
我们认真解读一下羅尔定理，罗尔定理的前二个条件是函数连续，或有可去间断点，第三个条件是重点，函数只要有二处函数值相等，那么在连续函数中就存在着极值点，通过把所有的极值点找出来，就确定了函数增减区间的分界点。这些点分布在坐标轴上就是函数的区间分界点。
我们找到了增函数和减函数的区间以后，如何判断区间内函数是增函数还是减函数呢？拉格朗日中值定理给予了很好的回答。
拉格朗日中值定理：设函数满足
（1）在闭区间上连续
（2）在开区间内可导
则至少存在一点，使
在中，，若，则函数单调增，反之，函数单调减。
拉格朗日还给我们提供了一种思路，若在一段区间内函数都是增函数，我们就可以用求导的总法来求解函数中的不等式和恒等式。
例如，证明当，
这类题目在中学数学中是难题，而应用拉格朗日中值定理，我们只须设，在内单调递增即可。证明过程如下。
证明; 设，
我们可以利用中值定理，通过表格来清楚的知道函数的增减区间和增减的性质。
例，讨论的单调性
解，函数y的定义域为
通过列表我们可以让读者清楚我们所做的工作，我们的工作条理清楚，以数据说明问题，以理服人。
3 五个函数贯穿三种计算方法之中
在高等数学中有五个基本初等函数贯穿始终，这五个基本初等函数是幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数。高等数学课程看起来问题多，思绪复杂，但贯穿整体的就是这五个基本初等函数及其组合而成的复合函数在极限运算中，微分运算中，积分运算中的应用和变化。我们学习者掌握了这条主线后就可以在学习中进行比较，使学习变得简单起来。
五个基本函数在极限和微分运算中较为简单，不多重复，在分部积分法中有两两相乘的积分情况。
它主要的方法和技巧就是把较难的积分转化为容易积分的，这不是一种偷梁换柱的耍滑头，而是在工作中用简单的技巧代替复杂的困难，是一种智慧，也是一种工作能力的体现。 分部积分法的关键是和的认识和分配，做好了事半功倍，开卷有益，一举拿下，用的不好，刚难上加难，雪上加霜。
此处如何选择呢？有个非常简单的口诀，三指动，反对不动，三指相遇，循环决定。
这里的三指三角函数，指指数函数，三指动，指三角函数和指数函数与幂函数相乘积，把三角函数和指数函数凑到中去。
反对不动，指反三角函数，对数函数与幂函数相乘积时，反三角函数和对数函数仍为，把幂函数凑到中去。
如果是三角函数与指数函数乘积时，则可任意选，作一次循环才能出结果。
例;求
我们看，它是反三角函数
与幂函数
相乘，按我们的口诀来，反对不动。
有
4 高等数学习题本质上是逻辑能力的培养
高等数学课在本质上也是一门习题课，我们有些学生上课听得懂课，下课也会教其他学生，但是考试起来就会出错。追究其原因，主要是缺练。数学课程只有练习才会。多练才能出彩，如果懂了原理而缺乏练习，最终结果还是不会。
高等数学的习题其实质上是一种逻辑思维的锻炼，习题过程是一种语言模式，一行一行的作业过程写下来，让看作业的老师和同学看懂了，理解了，其中的逻辑关系一定要正确，逻辑思维我们都能接受。
我们的高校，有很多学校没有开设逻辑课程，我们大学生的逻辑能力大部分是从高等数学的习题练习而来。
数学练习的格式是一种逻辑推理，在高等数学中有时候遇到一些较难解决的题目时则要运用一些特殊的方法，例如构造法来解题。现举二例。
例1，求 的值域和单调区间
这个题用常规方法解答过于繁琐，我们可以先观察特点，题目的分母是根号下的1加上x的平方，如何去掉根号，可以参照三角函数恒等式。
我们可以构造一个函数，设
有
从而将代数运算转入三角函数的计算，转入三角函数计算时，是一个相当有意思的数。
有y 进一步化简，
有
面对这个结果，可以很容易知道。
时函数递减，函数递增。
数学难题的计算，基本上都是无巧不成书，这个巧它本身包含了我们的知识宽度，学习数学的境界正如陆游的诗词一般;山重水复疑无路，柳暗花明又一村。在工作当中我们也会经常遇到这种境况，我们只有不屈不挠，发挥大家的聪明才智才能克服困难，增强自己的工作能力。
高粤数学习题的练习，我们必须做到;
第一，不怕困难。
第二，努力创新和改造。
第三，注意过程上每一步的逻辑关系。
第四，一步一个脚印的走出来。
例，求
这个题目看似简单，但计算起来相当繁琐，如何简化计算过程，我们要看题目的特征，此题分子单纯，能否构造一个如分母的式子，做题本身就是试错。
令
再令
则3I+2J （1）
（2）
得出二个新的方程组，在这二个方程中我们的任务是求I的解
由3*（1）+2*（2）便有了解
9I+4I=
现在由于线性教育或计算机软件的广泛使用，一些搜題库的出现和应用软件的出现，使难题不再难，学生千辛万苦的解决了难题也得不到赞许的目光，学生们不断探索的心灵得不到鼓励，便会丧失争强好胜的勇气，也会丧失掉人类智慧的闪光点，甚至养成抄作业的习惯，逻辑思维能力也遭到破坏。大学不是不能去抄作业，但每个人都去抄作业，大学生的创新创业能力会遭到毁灭性的打击。
为了加强习题的练习，我们在教学过程中加强形式多样的练习，从要达到的目标层次上来看，主要有三种练习;
1） 立竿见影的练习。
2） 循序渐进的练习。
3） 进入深度思考的练习。
针时这三种练习，我们可进行：
1）课堂上10分钟练习。
2）老师讲完练习后，学生课堂练习。
3）课后习题。
4）小测验进行阶段性练习。
这些练习要求学生独立自主的完成，养成学生学习能力提高的素质。
5 应用数学建模来促进同学们应用数学的能力
高等数学不是大学生在大学的象牙塔里玩的数字游戏，我们要把生活中的数学引入到他们的学习之中，让他们在学习之中会应用数学知识建立数学模型，提高和促进他们应用数学知识的能力。
我们由浅而深的介绍二种建立数学模型的例子。
（1）铁路钱上AB段的距离为100公里，工厂C在距A20公里处，AC垂直于AB，为了运输需要，要在AB钱上选定一上D修筑一条公路，己知铁路与公路每千米货运的运费之比为三比五，为了使产品从工厂运到消费点B的运费最省，问D点应选在何处？
解;画图略
设D点在AB铁路上，D距A点x公里处.
依题意有，BD=100-x， CD=
设总的运费为W，则铁路运费为3K，公路运费为5K（K为常数）
则
求W的最小值，只须令W的导数=0
有
得x=，
，，
从而当x=15时W最小。
我们可以选择2013年全国大学生数学建模竞赛的D题为例。
D;在公共自行车的服务系统中，自行车的租赁的站点位置及各站点自行车锁桩和自行车数量的配置。现为浙江省温州市鹿城区公共自行车管理中心的20天借车和还车的数据。
在所给出的所有站点每天车辆借还情况的已知数据中，分别统计出每一个站点每天的借还车频次和每一个站点的20天的总的借还车频次;其次对所有站点的20天的总的借还车频次的多少排序;最后对每次用车的时间作统计并分析出其分布情况。
（2）从已给出的数据中，统计20天中每天使用不同借车卡的数量，并统计每张借车卡所累计借车次数的分布情况。
（3） 利用所给数据找出所有站点使用公共自行车数最大的一天。
（4）定义两个站点之间的距离，找出自行车借车后还车之间距离最短的站点和距离最长的站点。即用时最少的两个站和用时最长的两个站;其次统计出借还车在同一站点且用时超过一分钟的情况。
（5）统计出借还车频次最多的站点并对借车还车时刻和使用时间长短作出分布图。
（6）找出各站点的借车和还车高峰时段，列表出高峰时段各站点的借车频次和还车频次;并且归类出具有共同借车和还车高峰时段的站点。
（7） 利用统计结果中的信息，提出對目前公共自行车服务系统站点的设置和锁桩数量的配置的建议。
（8）找出公共自行车系统的运行规律，并对此提出改进建议。
6 结语
这个题目限于篇幅我们就不展开讨论了。笔者从2005年开始带领学生参加大专组的数学建模比赛，大专组数学建模比赛主要做C题和D组，二个题目中一个题是希望学生利用数学公式进行解题，一个题是希望学生从优化角度进行解题。二个题都要进行数据处理，二个题中的每个小问题又牵涉到许多小模块的数据知识点。例如插值，进行预估的最小二乘法，线性回归补充某个数，二个量的比较，期望值的求法，等等，学生们只要在论文中对题目中的知识点有所回应，有所计算，都可以取得不错的成绩。
全国大学生数学建模比赛应用性强，起点不低，拓宽视野，有利于三人团队合作，真的是一次参赛，学生终生受益。
参考文献：
[1]闫振荣.如何处理微积分中的分部积分法.教育教学研究论丛，1999，159-160.
[2]许克威.应用构法解决疑难题.大学时代，2008，（11）：58-59.
作者简介：许克威（1964— ），男，汉族，本科，高级讲师，研究方向：高等数学教学。