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摘要 新课标下高中数学反证法是一种实用有效的数学证明方法，也体现了一种重要的数学思想，反证法的独特的思维方法对提高学生创造性分析问题和解决问题的思维素质有重要意义，因此，本文讨论了一些有关反证法的运用问题，供参考学习。
关键词 新课标，反设，归谬，存真
通常，人们在做数学论证时，往往习惯于用直接法正向求证，由条件逐步推出结果，然而，有时候对某一些数学问题，根据已知条件很难推出所要求的结论，这就要求我们必须尝试用另一种方式进行间接论证，这就是我们通常所説的反证法。
看下面例子：
例1 把1600颗花生分给100只猴子，证明：不管怎样分法，至少有四只猴子得到的花生一样多。
解法探析：假设至多有三只猴子分得的花生数相同，我们从所需花生最少的情况考虑：
3只猴子各分得0颗花生，
3只猴子各分得1颗花生，
3只猴子各分得2颗花生，
、、、 、、、
3只猴子各分得32颗花生，
最后一只猴子分得33颗花生。
这样，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（颗）
这与题设只有1600颗花生矛盾，故原命题成立。
通过以上例子，对这类用直接证法难以下手的题目，用反证法求解时则十分简便，那么究竟如何运用反证法呢？
（一） 通常来说，用反证法时有三个步骤：
ⅰ 反设
“反设”就是正确的否定结论。由于它是反证法的出发点，所以如果反设出现错误，将导致全盘皆错。关于“反设”应注意：
1 首先要弄清题目的条件和结论；
2 强调“反设”是对结论的全否定。
例如 求证：若a，b为自然数，且a×b是奇数，则a，b都是奇数。
结论的反面应是：“a，b不都是奇数”。而不是：“a，b都不是奇数”。
ⅱ 归谬
以“反设”为出发点，题设条件为根据，通过正确推理，得出矛盾。这是反证法的核心。
由于反证法推出矛盾的类型很多，出现矛盾的情形又比较复杂，因此在进行归谬时，经常会陷入困境，甚至对自己的正确推理产生疑惑，因此，举例説明推出矛盾的主要类型：
①与客观事实矛盾
例 高一有400名学生，求证：这400名学生中至少有两名学生的生日是相同的。
证明：假设400名学生的生日都不相同，那么一年将有400天，这与客观实际相矛盾，故原命题成立。
②与公理，定理矛盾
例 如果两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也相互平行。
证明：假设这两条直线不平行，则必然相交于一点。这样就得出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平行公理矛盾。
③与题设矛盾
例如 前面猴子分花生的例子，由假设求出的结果共需花生1617颗，而题设只有1600颗花生，矛盾。
④与反设矛盾
ⅲ 存真
由所得矛盾肯定原命题成立。
（二）反证法的适用范围
什么类型的数学命题可以用反证法证明呢？一般来説，对于“若Ａ则B”一类的数学命题，都能用反证法来证明，但难易程度不同，就多数题来説，直接证法比较简捷。因此在证题时，首先应考虑使用直接证法。当用直接证法无法下手甚至不可能时，可考虑使用反证法。
通常来说，下列情况可以考虑使用反证法：
（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；
（2）命题的结论以否定形式出现时；
（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；
（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；
（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；
（6）关于存在性命题；
（7）某些定理的逆定理．
总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．
以上简单列出了运用反证法推出矛盾的主要类型，方便我们参考，应该注意的是，一个数学命题，究竟使用那种证明方法更方便一些，要具体问题具体分析，切不可生搬硬套。
参考文献
1 “正难则反”好思路 峰回路转现通途
作者：朱浩； 福建中学数学2009年第05期
反证法完全解读
作者：陈素珍 中学生数理化（高二版）2010年第02期
3 反证法在中学数学证明题中的应用
作者：朱慧 《教育教学论坛》2010年第35期
（作者单位：甘肃省武山县第三高级中学）
关键词 新课标，反设，归谬，存真
通常，人们在做数学论证时，往往习惯于用直接法正向求证，由条件逐步推出结果，然而，有时候对某一些数学问题，根据已知条件很难推出所要求的结论，这就要求我们必须尝试用另一种方式进行间接论证，这就是我们通常所説的反证法。
看下面例子：
例1 把1600颗花生分给100只猴子，证明：不管怎样分法，至少有四只猴子得到的花生一样多。
解法探析：假设至多有三只猴子分得的花生数相同，我们从所需花生最少的情况考虑：
3只猴子各分得0颗花生，
3只猴子各分得1颗花生，
3只猴子各分得2颗花生，
、、、 、、、
3只猴子各分得32颗花生，
最后一只猴子分得33颗花生。
这样，100只猴子共需花生 3×﹙1﹢32﹚×32∕2 ﹢33＝1617（颗）
这与题设只有1600颗花生矛盾，故原命题成立。
通过以上例子，对这类用直接证法难以下手的题目，用反证法求解时则十分简便，那么究竟如何运用反证法呢？
（一） 通常来说，用反证法时有三个步骤：
ⅰ 反设
“反设”就是正确的否定结论。由于它是反证法的出发点，所以如果反设出现错误，将导致全盘皆错。关于“反设”应注意：
1 首先要弄清题目的条件和结论；
2 强调“反设”是对结论的全否定。
例如 求证：若a，b为自然数，且a×b是奇数，则a，b都是奇数。
结论的反面应是：“a，b不都是奇数”。而不是：“a，b都不是奇数”。
ⅱ 归谬
以“反设”为出发点，题设条件为根据，通过正确推理，得出矛盾。这是反证法的核心。
由于反证法推出矛盾的类型很多，出现矛盾的情形又比较复杂，因此在进行归谬时，经常会陷入困境，甚至对自己的正确推理产生疑惑，因此，举例説明推出矛盾的主要类型：
①与客观事实矛盾
例 高一有400名学生，求证：这400名学生中至少有两名学生的生日是相同的。
证明：假设400名学生的生日都不相同，那么一年将有400天，这与客观实际相矛盾，故原命题成立。
②与公理，定理矛盾
例 如果两直线都平行与第三条直线，则这两条直线也相互平行。
证明：假设这两条直线不平行，则必然相交于一点。这样就得出：过直线外一点，能做出两条直线与该直线平行的直线。这与平行公理矛盾。
③与题设矛盾
例如 前面猴子分花生的例子，由假设求出的结果共需花生1617颗，而题设只有1600颗花生，矛盾。
④与反设矛盾
ⅲ 存真
由所得矛盾肯定原命题成立。
（二）反证法的适用范围
什么类型的数学命题可以用反证法证明呢？一般来説，对于“若Ａ则B”一类的数学命题，都能用反证法来证明，但难易程度不同，就多数题来説，直接证法比较简捷。因此在证题时，首先应考虑使用直接证法。当用直接证法无法下手甚至不可能时，可考虑使用反证法。
通常来说，下列情况可以考虑使用反证法：
（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；
（2）命题的结论以否定形式出现时；
（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；
（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；
（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；
（6）关于存在性命题；
（7）某些定理的逆定理．
总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易．反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．
以上简单列出了运用反证法推出矛盾的主要类型，方便我们参考，应该注意的是，一个数学命题，究竟使用那种证明方法更方便一些，要具体问题具体分析，切不可生搬硬套。
参考文献
1 “正难则反”好思路 峰回路转现通途
作者：朱浩； 福建中学数学2009年第05期
反证法完全解读
作者：陈素珍 中学生数理化（高二版）2010年第02期
3 反证法在中学数学证明题中的应用
作者：朱慧 《教育教学论坛》2010年第35期
（作者单位：甘肃省武山县第三高级中学）