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[摘 要]解决数学问题时，我们总希望能将复杂问题简单化，尤其是那些情况很复杂的几何变形体问题，如果只是按照几何变换的过程一步步推理，那么问题将会变得无比困难，但忽略那些变化的表象，抓取不变的本质规律，那么问题就会迎刃而解。
[关键词]体积;几何问题;割补法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0029-02
《中小学数学》（小学版）2014年第5期刊登了余志军老师的一篇论文——《对一个思考题的再思考》，谈论的是苏教版数学六年级（下册）第28页的一道关于圆柱形容器排水的思考题。余老师对如何讲解这道题进行了充分调研，尤其是其他教师对这道题的讲评和学生的学习状况，对学生解答时常见的障碍进行了鞭辟入里的剖析。读罢此文，如醍醐灌顶，不得不佩服余老师见解独到。钦佩之余，笔者斗胆对余老师的“再思考”提出一些个人看法。
原题：在一个圆柱形储水桶里，把一段半径5厘米的圆钢全部放入水中，水面就上升9厘米;把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米。求圆钢的体积。
一、余老师的解法
余老师曾在《中小学数学》（小学版）2008年第11期上发表过研讨这道题的文章，文中提到“如果圆钢放入水中时，水面刚好浸没圆钢”的特殊情况（如图1），假想将圆钢竖着拉出水面8厘米时，水下会留出一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形“空洞”，这个“空洞”的体积需要用下降的4厘米环形水柱来填满。后经过仔细推理，发现这种设想有偏差，因为题中已经明确说道“把圆钢竖着拉出水面8厘米”，而这句话大有深意：竖着拉出水面的8厘米包含圆钢本身上升的高度和液面下降的双重效应，并不是圆钢上升高度的“净含量”，因为竖着拉出圆钢的同时水面也在下降，二者是一个相对运动的状态，这是一个同步推进的动态过程，不能静止地考虑问题。
余老师通过“再思考”确认：圆钢实际上升高度只有4厘米（因为拉起圆钢后，水面同时下降4厘米），照此推算，水下只能形成一个半径为5厘米，高为4厘米的圆柱形“空洞”（如图2），这个“空洞”需用下降的4厘米的环形水柱来填满。按照这种思路，先求出下降的环形水柱的底面积是3.14×5[2]×4÷4=78.5（平方厘米），由此推算，原水面下圆钢的体积（即上升9厘米的环形水柱的体积）是78.5×9=706.5（立方厘米），而上面9厘米圆钢的体积是3.14×5[2]×9=706.5（立方厘米），总计是706.5×2=1413（立方厘米）。
二、將情况想得太复杂，简单问题复杂化
余老师在文中还着重分析了学生理解的难点，一共有两处。一是当储水桶里面的水足够深、水量足够大时，圆钢能完全浸没在水下，圆钢顶端到水面还留出一大段距离，情形则为之一变，学生理解起来也很烧脑，就连有些执教教师也容易被绕进去。因为此时水面上升的9厘米是一段环形木柱加一段圆柱形水柱（如图3），如果对学生解释“上升9厘米的水柱的体积刚好等于圆钢的体积”，那么学生理解起来就很困难。二是“竖着拉出水面8厘米的圆钢体积等于下降水柱的体积”对学生而言也很费解。笔者对余老师严谨治学的态度甚为钦佩，同时认为余老师解答该题时，采用的方法似乎将简单问题复杂化了。
（1）余教师假想把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水下会形成一个半径为5厘米的圆柱形“空洞”。暂且不管这个所谓的“空洞”有多高，就这么一个“空洞”就能把学生弄得头昏脑涨。因为储水桶里装的是液态的水，是流体，并非结冰的固态水，圆钢也不是插在冰柱中的铁棒，往上拉出8厘米，就能形成显而易见的“空洞”，就连空间观念超强的余老师在首次推想时，也难免将“空洞”的高度错算成8厘米。另外，竖着拉出圆钢后留下的“空洞”由下降的4厘米环形水柱来填满，更是给学生出了一道世纪难题。单是环形水柱体积的求法就难倒一批人，还要脑补出整个水体静止，再将环形水柱转移到“空洞”处，这更是难上加难。
（2）余老师认为水面升高的9厘米是由一段距离的环形水柱加一段距离的圆柱形水柱“合流”而成（如图4）。如果继续解释“升高的9厘米的水柱体积等于圆柱的体积，那么学生必定会误解题意”，不得已，只能采取等量代换的策略。其实，这个问题换一个思路和角度，就很容易理解。因为水的体积 圆钢的体积=钢水混合物的体积=蓄水桶中原有水的体积 升高水柱的体积，所以“圆钢的体积=升高水柱的体积”。
三、假想截取冒出水面的圆钢，复杂问题简单化
笔者潜心研究后，认为《教师教学用书》上提供的解法才是“学术正宗”：根据竖着拉出水面8厘米的圆钢体积等于下降的环形水柱的体积，即圆柱形储水桶的底面积为3.14×5[2]×8÷4=157（平方厘米），而升高9厘米的水柱的体积刚好与圆钢的体积等值，据此计算出圆钢的体积为157×9=1413（立方厘米）。如果学生理解遇到障碍，可以假想将“竖着拉出水面的8厘米圆钢”锯掉，那么这道题就演变为“在一个圆柱形储水桶里，把一段半径5厘米的圆钢全部浸没水中，水面就上升9厘米;假如将圆钢截断8厘米后，水面就下降4厘米。求原圆钢的体积。”（如图5）这样一来，就更好理解了，因为截断留出的“真空”需要下降4厘米的水柱去填满，于是下降4厘米的水柱的体积正好就是截断的8厘米的圆钢的体积了，二者刚好“扯平”。
割补法用在静态的平面几何图里非常管用，但是用在这种流体水中就显得捉襟见肘，因为水无常形，一旦投入水中的物体没有完全浸没，就会影响整个水体体积的测算，水溶液的外形不再是一个规则的形状，也不再与容器保持相同。在抽离浸入水中的物体时，如果没有彻底脱离水面，水回流的体积（水面下降部分的体积）不再严格等于浸入水中的物体的体积，而这两大难点这道题全都占了。只有另辟蹊径，果断弃用“割补法”，不要纠结于其中水体变化的细节，而用整体法解题，牢牢把握整个过程的恒量，问题就会简单许多。
化繁为简的本质就是透过现象看本质，把握其关键要素：浸没水中的圆钢的体积始终等于上升9厘米的水柱的体积，不管是刚好浸没还是完全浸没，都是这样。将圆钢抽出水面8厘米后，水面下降4厘米，根据相对运动，说明圆钢相对于储水桶底面只是上升了4厘米（8-4=4），水面相对于储水桶底面下降了4厘米，那么出水的圆钢体积就与下降的环形水柱的体积相等，所以圆钢的底面积与环形水柱的底面积相等，于是容易得出：储水桶的底面面积为圆钢底面面积的2倍，于是，储水桶的底面积为3.14×5[2]×2，圆钢体积为3.14×5[2]×2×9=1413（立方厘米）。
笔者认为这道题如果推移到“正比例和反比例”单元之后，其功能将更加强大。教师可以引导学生运用比例知识解答，从而培养学生换位思考问题的能力和灵活处理问题的应变能力，落实灵活选择方法解决问题的教育理念。因为圆钢的体积与升高的9厘米水柱的体积等值，竖着拉出水面的8厘米圆钢的体积又与下降的4厘米水柱体积等值，而上升的9厘米水柱与下降的4厘米水柱底面积相同，根据圆柱的底面积一定，体积与高成正比例关系，可以推知：上升水柱体积∶下降水柱体积=9∶4。应用等量代换，可以置换出整个圆钢的体积∶8厘米圆钢的体积=9∶4，所以整个圆钢的体积等于8厘米圆钢体积的9/4
[关键词]体积;几何问题;割补法
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）20-0029-02
《中小学数学》（小学版）2014年第5期刊登了余志军老师的一篇论文——《对一个思考题的再思考》，谈论的是苏教版数学六年级（下册）第28页的一道关于圆柱形容器排水的思考题。余老师对如何讲解这道题进行了充分调研，尤其是其他教师对这道题的讲评和学生的学习状况，对学生解答时常见的障碍进行了鞭辟入里的剖析。读罢此文，如醍醐灌顶，不得不佩服余老师见解独到。钦佩之余，笔者斗胆对余老师的“再思考”提出一些个人看法。
原题：在一个圆柱形储水桶里，把一段半径5厘米的圆钢全部放入水中，水面就上升9厘米;把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水面就下降4厘米。求圆钢的体积。
一、余老师的解法
余老师曾在《中小学数学》（小学版）2008年第11期上发表过研讨这道题的文章，文中提到“如果圆钢放入水中时，水面刚好浸没圆钢”的特殊情况（如图1），假想将圆钢竖着拉出水面8厘米时，水下会留出一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形“空洞”，这个“空洞”的体积需要用下降的4厘米环形水柱来填满。后经过仔细推理，发现这种设想有偏差，因为题中已经明确说道“把圆钢竖着拉出水面8厘米”，而这句话大有深意：竖着拉出水面的8厘米包含圆钢本身上升的高度和液面下降的双重效应，并不是圆钢上升高度的“净含量”，因为竖着拉出圆钢的同时水面也在下降，二者是一个相对运动的状态，这是一个同步推进的动态过程，不能静止地考虑问题。
余老师通过“再思考”确认：圆钢实际上升高度只有4厘米（因为拉起圆钢后，水面同时下降4厘米），照此推算，水下只能形成一个半径为5厘米，高为4厘米的圆柱形“空洞”（如图2），这个“空洞”需用下降的4厘米的环形水柱来填满。按照这种思路，先求出下降的环形水柱的底面积是3.14×5[2]×4÷4=78.5（平方厘米），由此推算，原水面下圆钢的体积（即上升9厘米的环形水柱的体积）是78.5×9=706.5（立方厘米），而上面9厘米圆钢的体积是3.14×5[2]×9=706.5（立方厘米），总计是706.5×2=1413（立方厘米）。
二、將情况想得太复杂，简单问题复杂化
余老师在文中还着重分析了学生理解的难点，一共有两处。一是当储水桶里面的水足够深、水量足够大时，圆钢能完全浸没在水下，圆钢顶端到水面还留出一大段距离，情形则为之一变，学生理解起来也很烧脑，就连有些执教教师也容易被绕进去。因为此时水面上升的9厘米是一段环形木柱加一段圆柱形水柱（如图3），如果对学生解释“上升9厘米的水柱的体积刚好等于圆钢的体积”，那么学生理解起来就很困难。二是“竖着拉出水面8厘米的圆钢体积等于下降水柱的体积”对学生而言也很费解。笔者对余老师严谨治学的态度甚为钦佩，同时认为余老师解答该题时，采用的方法似乎将简单问题复杂化了。
（1）余教师假想把圆钢竖着拉出水面8厘米后，水下会形成一个半径为5厘米的圆柱形“空洞”。暂且不管这个所谓的“空洞”有多高，就这么一个“空洞”就能把学生弄得头昏脑涨。因为储水桶里装的是液态的水，是流体，并非结冰的固态水，圆钢也不是插在冰柱中的铁棒，往上拉出8厘米，就能形成显而易见的“空洞”，就连空间观念超强的余老师在首次推想时，也难免将“空洞”的高度错算成8厘米。另外，竖着拉出圆钢后留下的“空洞”由下降的4厘米环形水柱来填满，更是给学生出了一道世纪难题。单是环形水柱体积的求法就难倒一批人，还要脑补出整个水体静止，再将环形水柱转移到“空洞”处，这更是难上加难。
（2）余老师认为水面升高的9厘米是由一段距离的环形水柱加一段距离的圆柱形水柱“合流”而成（如图4）。如果继续解释“升高的9厘米的水柱体积等于圆柱的体积，那么学生必定会误解题意”，不得已，只能采取等量代换的策略。其实，这个问题换一个思路和角度，就很容易理解。因为水的体积 圆钢的体积=钢水混合物的体积=蓄水桶中原有水的体积 升高水柱的体积，所以“圆钢的体积=升高水柱的体积”。
三、假想截取冒出水面的圆钢，复杂问题简单化
笔者潜心研究后，认为《教师教学用书》上提供的解法才是“学术正宗”：根据竖着拉出水面8厘米的圆钢体积等于下降的环形水柱的体积，即圆柱形储水桶的底面积为3.14×5[2]×8÷4=157（平方厘米），而升高9厘米的水柱的体积刚好与圆钢的体积等值，据此计算出圆钢的体积为157×9=1413（立方厘米）。如果学生理解遇到障碍，可以假想将“竖着拉出水面的8厘米圆钢”锯掉，那么这道题就演变为“在一个圆柱形储水桶里，把一段半径5厘米的圆钢全部浸没水中，水面就上升9厘米;假如将圆钢截断8厘米后，水面就下降4厘米。求原圆钢的体积。”（如图5）这样一来，就更好理解了，因为截断留出的“真空”需要下降4厘米的水柱去填满，于是下降4厘米的水柱的体积正好就是截断的8厘米的圆钢的体积了，二者刚好“扯平”。
割补法用在静态的平面几何图里非常管用，但是用在这种流体水中就显得捉襟见肘，因为水无常形，一旦投入水中的物体没有完全浸没，就会影响整个水体体积的测算，水溶液的外形不再是一个规则的形状，也不再与容器保持相同。在抽离浸入水中的物体时，如果没有彻底脱离水面，水回流的体积（水面下降部分的体积）不再严格等于浸入水中的物体的体积，而这两大难点这道题全都占了。只有另辟蹊径，果断弃用“割补法”，不要纠结于其中水体变化的细节，而用整体法解题，牢牢把握整个过程的恒量，问题就会简单许多。
化繁为简的本质就是透过现象看本质，把握其关键要素：浸没水中的圆钢的体积始终等于上升9厘米的水柱的体积，不管是刚好浸没还是完全浸没，都是这样。将圆钢抽出水面8厘米后，水面下降4厘米，根据相对运动，说明圆钢相对于储水桶底面只是上升了4厘米（8-4=4），水面相对于储水桶底面下降了4厘米，那么出水的圆钢体积就与下降的环形水柱的体积相等，所以圆钢的底面积与环形水柱的底面积相等，于是容易得出：储水桶的底面面积为圆钢底面面积的2倍，于是，储水桶的底面积为3.14×5[2]×2，圆钢体积为3.14×5[2]×2×9=1413（立方厘米）。
笔者认为这道题如果推移到“正比例和反比例”单元之后，其功能将更加强大。教师可以引导学生运用比例知识解答，从而培养学生换位思考问题的能力和灵活处理问题的应变能力，落实灵活选择方法解决问题的教育理念。因为圆钢的体积与升高的9厘米水柱的体积等值，竖着拉出水面的8厘米圆钢的体积又与下降的4厘米水柱体积等值，而上升的9厘米水柱与下降的4厘米水柱底面积相同，根据圆柱的底面积一定，体积与高成正比例关系，可以推知：上升水柱体积∶下降水柱体积=9∶4。应用等量代换，可以置换出整个圆钢的体积∶8厘米圆钢的体积=9∶4，所以整个圆钢的体积等于8厘米圆钢体积的9/4