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一、引 言
对于商业银行来说,借款者违约将会造成不良资产的增加,在影响银行资金周转的同时更降低了银行的收益。为防止因违约行为而造成的损失,商业银行必须对贷款进行科学定价。定价模型是商业银行赖以进行有效定价的重要手段和工具,到目前为止,较具代表性的是住房抵押贷款证券定价模型,财务管理理论与风险定价理论是其重要的理论基础:财务管理理论主要站在银行业资产管理角度思考,住房贷款定价问题本质上通过对银行承担的信用风险进行预测及对资产成本及各项费用进行度量,对贷款确定合理的风险溢价和成本;风险定价理论则更多站在风险定价的角度,目前发展的两类较为完善的模型是结构化模型和简化形式模型。前者的核心原理是将违约概率看作内生变量,将企业债务看作一种期权,并利用期权定价公式对债务进行定价,具体又分为单经济因素模型与双经济因素模型。后者强调在贷款的历史数据中通过统计方法描述出借款人的还款行为特征函数并建立贷款定价模型,核心思想是利用固定收益证券的利率期限结构理论对风险债务进行定价。由于我国住房抵押贷款市场有着自己的规律和特点,使得研究不能仅仅照搬外国模式。因此,本文在分析总结国内外研究成果基础上,先将损失划分为理性违约损失与非理性违约损失,然后针对两种损失分别建立了死亡率模型和准备金提取模型两种精算模型,最后根据无套利定价理论,将贷款看做是一笔投资,与投资于国库券进行比较,从而得出贷款价格。
二、模型的建立
(一)基本假设
1.非理性违约损失。假设贷款人只有在发生失业、死亡等情况下才会选择非理性违约。因此对于同类贷款的非理性违约损失,其单位贷款损失额是一定的。由于非理性贷款损失与人的意愿无关,仅仅由客观因素决定(例如失业、死亡等),而此类客观因素在统计学上具有一定的规律性,因此可以用统计方法进行估计。如果用φ表示非理性违约贷款期望损失额,由于非理性违约与主观因素无关,因此当银行进行投资时会存在:
φ=Σn-1k=0Vt×k|qx×(1+R)n-k
(1)
(1)式中Vt表示到第t年为止还款后的剩余款额,k|qx表示危险函数(危险率函数),即为年龄为x岁的人在x+k岁到x+k+1岁发生非理性违约的概率,k表示贷款期限内的某一年,1+R表示累计因子,R表示贷款利率,n表示贷款年限。
由于k|qx很小,根据成本加成模型,R在基准利率左右,实际情况中虽然可以上调100%,但此时对商业银行来说将会面临很小的贷款需求,因此大多情况下都是在基准利率附近,故(1)式中R可写成R=r+ΔR。其中r表示基准利率,ΔR表示贷款利率与基准利率之间的差额,将(1+R)n-k展开得:
(1+R)n-k=(1+r)n-k+Σn-k1Cin-kΔiR(1+r)n-k-1(2)
由于|ΔR|远小于1,并且含ΔR的项随着ΔR阶数增高会对结果的影响越来越小,对于总体的影响也会越来越小,因此含ΔR的项可以不予考虑,故(1)式可以近似写成:
φ≈Σn-1k=0Vt×k|qx×(1+r)n-k
(3)
(2)式表明,非理性违约损失与还款方式、危险率和基准利率有关。
2.理性违约损失。对于理性的贷款违约行为,为了估计其贷款损失率μ,先将贷款根据它们的信用级别进行分类,然后,同一级别贷款的理性违约损失率μ大体上相等。如果用LA表示此类贷款的的理性违约损失,lAi表示此类贷款中某一笔贷款的理性违约损失,则LA=ΣilAi,用B表示某类贷款的总贷款额,βi表示此类贷款中某一笔贷款的的贷款额则B=Σiβi,则贷款损失率μ可以通过下面的式子得到:
μ=LAB=ΣiLAiΣiβi
(4)
(4)式可以得到某一信用级别的理性违约损失率,在不考虑信度问题的情况下,当有新的贷款时,只需知道其所处的信用级别就可以确定其理性违约损失率。
(二)基本模型
根据假设,一笔贷款的本金为p,贷款利率为R,将银行的贷款看做是一笔投资的话,其贷款收益可以认为是贷款利息所得,同时其要承担可能的损失和扣除相应的费用,依据无套利均衡法则,其得到的净收益至少应为投资于无风险国库券的收益率(rf)。即:
p(1+R)n-φ-pμ=p(1+rf)n,
R=n(1+rf)n+μ+φp-1(5)
通过(5)式可以看出,贷款价格与国库券的收益率、理性违约损失率和非理性违约损失率都是正相关的,它们的值越大,贷款价格越高。如果考虑成本的话,假设费用率为,则(4)式可以写成:
R=n(1+rf)n+μ+c+φp-1, (6)
(6)式表明,贷款价格还与费用率有关,费用率和无风险利率越高,贷款价格也越高。
三、实证检验与分析
假设,2005年某商业银行与一30岁的借款人签订一份住房抵押贷款合同,当时的住房价值为30万元,10年期的贷款基准利率为5.31%,10年还清,信用等级为AA级,采用等额本息付款方式还款。选择死亡作为非理性违约的变量,根据生命表计算贷款额为1元的非理性违约贷款期望损失额φ0,运用EXCEL计算过程如表1:
根据公式(1),代入贷款利率得φ0=Σn-1k=0Vt×k|qx×1.0531k+1=0.0082,计算得φ=30×φ0=0.2448万元。
下面,再计算理性違约贷款损失率μ,根据湖南省某商业银行不同年份对信用等级为AA级的客户实际贷款额(见表2)进行分析:
表1 非理性违约贷款期望损失额计算表
单位:元
危险率
k︱qx年初剩余款Vo
利息i
每年还款额A
年末剩余款Vt
乘数1.0531n-k
乘积∏
0.0009610.05310.13150.92161.67763
0.001484
0.0010090.92160.04890.13150.8391
1.5930390.001349
0.0010580.83910.04460.13150.75221.512714
0.001204
0.0011370.75220.03990.13150.66071.4364390.001079
0.0012150.66070.03510.13150.56431.36401
0.000935
0.0013240.56430.030.13150.46281.295233
0.000794
0.0014420.46280.02460.13150.3559
1.2299240.000631
0.001570.35590.01890.13150.2434
1.1679090.000446
0.0017070.24340.01290.13150.12481.10902
0.000236
0.0018640.12480.00660.131501.05310
注:死亡率k|qx根据《中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)》中的死亡率计算而来,计算公式为k|qx=(1-qx)(1-qx+1)…(1-qx+k)qx+k+1
表2 湖南省某商业银行针对AA级客户的历年贷款额
单位:万元
年 份1995199619971998199920002001200220032004
贷款额8000830078007900785080009560786085009400
根据这些AA级客户贷款中过去每年贷款的损失情况得到如下的流量三角形表(见表3)
表3 理性违约贷款损失流量三角形表单位:万元
签约年
进展年0
进展年1
进展年2
进展年3
进展年4
进展年5
进展年6
进展年7
进展年8
终极
199552567934425041515051
1996474855465337424954
19974347494546524748
199846463546485354
1999505328394650
20004140665647
200134328550
2002525360
20034245
200460
其中,签约年表示抵押贷款生效的日历年,进展年表示签约生效后的各年,终极表示贷款到期所在的日历年。
将以上各年的损失加总得到如下的累计损失流量三角形表(见表4)。
表4 理性违约贷款累计损失流量三角形表单位:万元
签约年
进展年0
进展年1
进展年2
进展年3
进展年4
进展年5
进展年6
进展年7
进展年8
终极
199552108187221263313354405455506
19964795150196249286328377431
19974390139184230282329377
19984692127173221274328
199950103131170216266
20004181147203250
20013466151201
200252105165
20034287
200460
根据上面的数据用同一签约年各进展年的累计损失额除以前一年的累计损失额可以得到年进展因子(见表5)。
表5 理性违约历年进展因子计算表
签约年
进展年0-1
进展年1-2
进展年2-3
进展年3-4
进展年4-5
进展年5-6
进展年6-7
进展年7-8
进展年8-终极
19952.07691.73151.18181.191.1901
1.1311.14411.12351.1121
19962.02131.57891.30671.27041.1486
1.14691.14941.1432
19972.0931.54441.32371.251.2261
1.16671.1459
199821.38041.36221.27751.23981.1971
19992.061.27181.29771.27061.2315
20001.97561.81481.3811.2315
20011.94122.28791.3311
20022.01921.5714
20032.0714
平均值2.02871.64771.3121.23151.2072
1.19711.14651.13331.1121
選定值2.031.651.311.231.211.21.15
1.131.1
根据各年的发展因子计算出其平均值,然后取一位小数。根据上面的选定值和已知的累计损失,可以预测以后各签约年的累计损失(见表6)。
表6 理性违约各签约年的累计损失预测表单位:万元
签约年
进展年0
进展年1
进展年2
进展年3
进展年4
进展年5
进展年6
进展年7
进展年8
终极
199552108187221263313354405455506
19964795150196249286328377431478
19974390139184230282329377426473
19984692127173221274328377426473
199950103131170216266319367415460
20004181147203250303363417472524
20013466151201247299359413466518
200252105165216266322386444502557
20034287144188231280336386436484
200460122201263324392470541611678
根据各签约年的终极累计损失及公式(3),可以得到各年的理性违约损失率(见表7)
表7 各年的理性违约损失率计算表
时间1995199619971998199920002001200220032004
贷款总额8000830078007900785080009560
786085009400
终极损失506478473473460524518557484
678
损失率0.06330.05760.06060.05990.05860.06550.05420.07090.05690.0721
根据上表的计算结果,其大致在一个值附近,因此取μ为上面计算结果的平均值得μ=0.0619571,假定投资于美国国库券,根据10年期美国国库券的收益率为4.2%。
代入公式(5)得贷款价格为R= 0.0467,如果成本率为0.3657%[8],则贷款价格为0.0470。
四、结论
一般来说,信用级别确定后,商业银行就开始思考自己可能的收益,商业银行发放贷款的收益扣除可能承担的风险损失和相关成本后剩下的收益应至少与投资于无风险国库券的回报相同,根据这些,可以最终确定贷款的价格,商业银行可以根据得到的价格在规定的基准利率下与借款人进行协商。最终确保自己的最大效用。
(作者单位:湖南大学金融学院)
对于商业银行来说,借款者违约将会造成不良资产的增加,在影响银行资金周转的同时更降低了银行的收益。为防止因违约行为而造成的损失,商业银行必须对贷款进行科学定价。定价模型是商业银行赖以进行有效定价的重要手段和工具,到目前为止,较具代表性的是住房抵押贷款证券定价模型,财务管理理论与风险定价理论是其重要的理论基础:财务管理理论主要站在银行业资产管理角度思考,住房贷款定价问题本质上通过对银行承担的信用风险进行预测及对资产成本及各项费用进行度量,对贷款确定合理的风险溢价和成本;风险定价理论则更多站在风险定价的角度,目前发展的两类较为完善的模型是结构化模型和简化形式模型。前者的核心原理是将违约概率看作内生变量,将企业债务看作一种期权,并利用期权定价公式对债务进行定价,具体又分为单经济因素模型与双经济因素模型。后者强调在贷款的历史数据中通过统计方法描述出借款人的还款行为特征函数并建立贷款定价模型,核心思想是利用固定收益证券的利率期限结构理论对风险债务进行定价。由于我国住房抵押贷款市场有着自己的规律和特点,使得研究不能仅仅照搬外国模式。因此,本文在分析总结国内外研究成果基础上,先将损失划分为理性违约损失与非理性违约损失,然后针对两种损失分别建立了死亡率模型和准备金提取模型两种精算模型,最后根据无套利定价理论,将贷款看做是一笔投资,与投资于国库券进行比较,从而得出贷款价格。
二、模型的建立
(一)基本假设
1.非理性违约损失。假设贷款人只有在发生失业、死亡等情况下才会选择非理性违约。因此对于同类贷款的非理性违约损失,其单位贷款损失额是一定的。由于非理性贷款损失与人的意愿无关,仅仅由客观因素决定(例如失业、死亡等),而此类客观因素在统计学上具有一定的规律性,因此可以用统计方法进行估计。如果用φ表示非理性违约贷款期望损失额,由于非理性违约与主观因素无关,因此当银行进行投资时会存在:
φ=Σn-1k=0Vt×k|qx×(1+R)n-k
(1)
(1)式中Vt表示到第t年为止还款后的剩余款额,k|qx表示危险函数(危险率函数),即为年龄为x岁的人在x+k岁到x+k+1岁发生非理性违约的概率,k表示贷款期限内的某一年,1+R表示累计因子,R表示贷款利率,n表示贷款年限。
由于k|qx很小,根据成本加成模型,R在基准利率左右,实际情况中虽然可以上调100%,但此时对商业银行来说将会面临很小的贷款需求,因此大多情况下都是在基准利率附近,故(1)式中R可写成R=r+ΔR。其中r表示基准利率,ΔR表示贷款利率与基准利率之间的差额,将(1+R)n-k展开得:
(1+R)n-k=(1+r)n-k+Σn-k1Cin-kΔiR(1+r)n-k-1(2)
由于|ΔR|远小于1,并且含ΔR的项随着ΔR阶数增高会对结果的影响越来越小,对于总体的影响也会越来越小,因此含ΔR的项可以不予考虑,故(1)式可以近似写成:
φ≈Σn-1k=0Vt×k|qx×(1+r)n-k
(3)
(2)式表明,非理性违约损失与还款方式、危险率和基准利率有关。
2.理性违约损失。对于理性的贷款违约行为,为了估计其贷款损失率μ,先将贷款根据它们的信用级别进行分类,然后,同一级别贷款的理性违约损失率μ大体上相等。如果用LA表示此类贷款的的理性违约损失,lAi表示此类贷款中某一笔贷款的理性违约损失,则LA=ΣilAi,用B表示某类贷款的总贷款额,βi表示此类贷款中某一笔贷款的的贷款额则B=Σiβi,则贷款损失率μ可以通过下面的式子得到:
μ=LAB=ΣiLAiΣiβi
(4)
(4)式可以得到某一信用级别的理性违约损失率,在不考虑信度问题的情况下,当有新的贷款时,只需知道其所处的信用级别就可以确定其理性违约损失率。
(二)基本模型
根据假设,一笔贷款的本金为p,贷款利率为R,将银行的贷款看做是一笔投资的话,其贷款收益可以认为是贷款利息所得,同时其要承担可能的损失和扣除相应的费用,依据无套利均衡法则,其得到的净收益至少应为投资于无风险国库券的收益率(rf)。即:
p(1+R)n-φ-pμ=p(1+rf)n,
R=n(1+rf)n+μ+φp-1(5)
通过(5)式可以看出,贷款价格与国库券的收益率、理性违约损失率和非理性违约损失率都是正相关的,它们的值越大,贷款价格越高。如果考虑成本的话,假设费用率为,则(4)式可以写成:
R=n(1+rf)n+μ+c+φp-1, (6)
(6)式表明,贷款价格还与费用率有关,费用率和无风险利率越高,贷款价格也越高。
三、实证检验与分析
假设,2005年某商业银行与一30岁的借款人签订一份住房抵押贷款合同,当时的住房价值为30万元,10年期的贷款基准利率为5.31%,10年还清,信用等级为AA级,采用等额本息付款方式还款。选择死亡作为非理性违约的变量,根据生命表计算贷款额为1元的非理性违约贷款期望损失额φ0,运用EXCEL计算过程如表1:
根据公式(1),代入贷款利率得φ0=Σn-1k=0Vt×k|qx×1.0531k+1=0.0082,计算得φ=30×φ0=0.2448万元。
下面,再计算理性違约贷款损失率μ,根据湖南省某商业银行不同年份对信用等级为AA级的客户实际贷款额(见表2)进行分析:
表1 非理性违约贷款期望损失额计算表
单位:元
危险率
k︱qx年初剩余款Vo
利息i
每年还款额A
年末剩余款Vt
乘数1.0531n-k
乘积∏
0.0009610.05310.13150.92161.67763
0.001484
0.0010090.92160.04890.13150.8391
1.5930390.001349
0.0010580.83910.04460.13150.75221.512714
0.001204
0.0011370.75220.03990.13150.66071.4364390.001079
0.0012150.66070.03510.13150.56431.36401
0.000935
0.0013240.56430.030.13150.46281.295233
0.000794
0.0014420.46280.02460.13150.3559
1.2299240.000631
0.001570.35590.01890.13150.2434
1.1679090.000446
0.0017070.24340.01290.13150.12481.10902
0.000236
0.0018640.12480.00660.131501.05310
注:死亡率k|qx根据《中国人寿保险业经验生命表(1990-1993)》中的死亡率计算而来,计算公式为k|qx=(1-qx)(1-qx+1)…(1-qx+k)qx+k+1
表2 湖南省某商业银行针对AA级客户的历年贷款额
单位:万元
年 份1995199619971998199920002001200220032004
贷款额8000830078007900785080009560786085009400
根据这些AA级客户贷款中过去每年贷款的损失情况得到如下的流量三角形表(见表3)
表3 理性违约贷款损失流量三角形表单位:万元
签约年
进展年0
进展年1
进展年2
进展年3
进展年4
进展年5
进展年6
进展年7
进展年8
终极
199552567934425041515051
1996474855465337424954
19974347494546524748
199846463546485354
1999505328394650
20004140665647
200134328550
2002525360
20034245
200460
其中,签约年表示抵押贷款生效的日历年,进展年表示签约生效后的各年,终极表示贷款到期所在的日历年。
将以上各年的损失加总得到如下的累计损失流量三角形表(见表4)。
表4 理性违约贷款累计损失流量三角形表单位:万元
签约年
进展年0
进展年1
进展年2
进展年3
进展年4
进展年5
进展年6
进展年7
进展年8
终极
199552108187221263313354405455506
19964795150196249286328377431
19974390139184230282329377
19984692127173221274328
199950103131170216266
20004181147203250
20013466151201
200252105165
20034287
200460
根据上面的数据用同一签约年各进展年的累计损失额除以前一年的累计损失额可以得到年进展因子(见表5)。
表5 理性违约历年进展因子计算表
签约年
进展年0-1
进展年1-2
进展年2-3
进展年3-4
进展年4-5
进展年5-6
进展年6-7
进展年7-8
进展年8-终极
19952.07691.73151.18181.191.1901
1.1311.14411.12351.1121
19962.02131.57891.30671.27041.1486
1.14691.14941.1432
19972.0931.54441.32371.251.2261
1.16671.1459
199821.38041.36221.27751.23981.1971
19992.061.27181.29771.27061.2315
20001.97561.81481.3811.2315
20011.94122.28791.3311
20022.01921.5714
20032.0714
平均值2.02871.64771.3121.23151.2072
1.19711.14651.13331.1121
選定值2.031.651.311.231.211.21.15
1.131.1
根据各年的发展因子计算出其平均值,然后取一位小数。根据上面的选定值和已知的累计损失,可以预测以后各签约年的累计损失(见表6)。
表6 理性违约各签约年的累计损失预测表单位:万元
签约年
进展年0
进展年1
进展年2
进展年3
进展年4
进展年5
进展年6
进展年7
进展年8
终极
199552108187221263313354405455506
19964795150196249286328377431478
19974390139184230282329377426473
19984692127173221274328377426473
199950103131170216266319367415460
20004181147203250303363417472524
20013466151201247299359413466518
200252105165216266322386444502557
20034287144188231280336386436484
200460122201263324392470541611678
根据各签约年的终极累计损失及公式(3),可以得到各年的理性违约损失率(见表7)
表7 各年的理性违约损失率计算表
时间1995199619971998199920002001200220032004
贷款总额8000830078007900785080009560
786085009400
终极损失506478473473460524518557484
678
损失率0.06330.05760.06060.05990.05860.06550.05420.07090.05690.0721
根据上表的计算结果,其大致在一个值附近,因此取μ为上面计算结果的平均值得μ=0.0619571,假定投资于美国国库券,根据10年期美国国库券的收益率为4.2%。
代入公式(5)得贷款价格为R= 0.0467,如果成本率为0.3657%[8],则贷款价格为0.0470。
四、结论
一般来说,信用级别确定后,商业银行就开始思考自己可能的收益,商业银行发放贷款的收益扣除可能承担的风险损失和相关成本后剩下的收益应至少与投资于无风险国库券的回报相同,根据这些,可以最终确定贷款的价格,商业银行可以根据得到的价格在规定的基准利率下与借款人进行协商。最终确保自己的最大效用。
(作者单位:湖南大学金融学院)