在积分的计算中充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往能使计算简捷，达到事半功倍的效果。
　　Q1：对称性在积分中的应用主要体现在哪些方面？
　　对称性在积分中的应用非常广泛，不仅在定积分，二重积分，还在线、面积分上也有应用。
　　Q2：什么样的定积分，可以应用对称性求解？有些什么样的结论？如何应用？
　　定积分是积分学的基本内容， 定积分的计算方法很重要且多种多样， 有的方法不对，计算更繁琐，若能恰当应用对称性，即可简化定积分的计算。
　　应用对称性，有下面的结论：
　　定理1 设f（x）在[-a，a]上连续，则
　　（1） 若f（x）为奇函数， 则 .
　　（2） 若f（x）为偶函数， 则 .
　　例1 求积分 .
　　解：虽然被积函数非奇非偶，但可以把它分成两个部分和，前一部分是偶函数，后一部分是奇函数，因此，可用定理1的结论简化其计算。
　　这样的例子很多，有的直接应用定理1，有的通过定积分性质拆项后再应用定理1，达到简化积分运算。
　　Q3：对于无穷限的广义积分，是否也有相应的应用对称性求解的方法？有些什么样的结论？如何应用？
　　对于无穷限的广义积分，根据被积函数的奇偶性也有一些结论：
　　由定理1，很容易得到下面的结论：
　　推论1 设f（x）在（-∞，∞）上连续， F（x）是f（x）的一个原函数，且无穷限非正常积分f（x）dx收敛，则有
　　（1）若f（x）为奇函数，则f（x）dx=0.
　　（2）若f（x）为偶函数，则f（x）dx=.
　　证明：因为f（x）在（-∞，∞）上连续， f（x）在任何区间[a，A]（a　　再由定积分的性质得：
　　.
　　若f（x）为奇函数，则 F（x）是一个偶函数， 所以F（-A）=F（A）
　　若f（x）为偶函数，则一定有一个奇函数F（x），所以F（-A）=-F（A） .
　　Q4：如果积分区间不是关于原点对称，是否也有相应的应用对称性求解的方法？有些什么样的结论？如何应用？
　　我们知道，若函数f（x）在其定义域内满足f（-x）=f（x），那么f（x）的图形关于y轴对称；若函数f（x）满足f（x）=-f（x）， 那么 f（x）的图形关于原点对称。一般地，可以得到关于对称性的如下特征性质。
　　性质1 若f（x）函数 在其定义域内满足f（x）=f（a-x）那么f（x）的图形关于直线x=对称。
　　性质2 若函数f（x）在其定义域内满足f（x）+f（a-x）=b，那么f（x）的图形关于点（，）对称。
　　定理2 设k>0，在[-k，+k]上可积，若f（a-x）=f（x），则有
　　证明：因为 （1）
　　在中取x=a-t得：
　　代入（1）式得：
　　同理可证：
　　Q5：在二重积分计算中对稱性的应用又是怎么回事？有些什么样的结论？如何应用？
　　利用对称性计算二重积分，可以使计算简化。在一般情况下，不仅要求积分区域D具有对称性，而且被积分函数对于区域D也要具有对称性。但在特殊情况下，即使积分区域D不对称，或者关于对称区域D的被积函数不具备对称性，也可以经过一些技巧性的处理，使之化为能用对称性来简化计算的积分。
　　积分区域D关于坐标轴对称
　　定理3 设二元函数f（x，y）在平面区域D连续，且D关于x轴对称，则
　　1）当f（x，-y）=-f（x，y）（即f（x，y）是关于y的奇函数）时，有
　　2）当f（x，-y）=f（x，y）（即f（x，y）是关于y的偶函数）时，有
　　其中D1是由x轴分割D所得到的一半区域。
　　例5 计算，其中D为由y2=2x与x=2围成的区域。
　　解：如图所示，积分区域D关于x轴对称，且f（x，-y）=-（xy+y3）=-f（x，y）
　　即f（x，y）是关于y的奇函数，由定理1有
　　（作者单位：湖北襄阳职业技术学院公共课部）