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摘要：概率是高中数学的一个重要的分支，由于概论本身的抽象性和不确定性，对概率的教与学提出了更高的要求。本文考虑到概率概念所具有的直观性，结合高中生学习概率内容中所产生的迷思概念，对教师概率教学提出一些策略。
关键词：概率教学；直观迷思；策略探讨
中图分类号：G633.6
在目前的高中数学课程中，概率是为数不多的与现实生活结合紧密的内容。概率概念含有直观的思维，却常与我们生活经验中的直观期望不符，给学生的学习带来一定的困难，对教师的教学也提出了更高的要求。其教与学的困难主要体现在：首先，与概率相关的一些迷思概念比较隐蔽不易觉察；其次，有些错误观念貌似合理、符合逻辑；再者，要弄清学生在解决概率过程中的真实思维较为困难。
学生对概率的认知，很大程度上缺乏与数学知识的联系，认为有生活上的直观就可以了；对求得的答案又常有不确定的感觉，缺乏学习信心。教学中可以感受到，学生对概率概念存在直观迷思。学生的直观思维会如何影响其概率内容的学习；数学教师又如何调整概率内容在直观上的教学以帮助学生建立正确有效的概率直观来提高学习？
Fischbein将直观分成原始直观和二阶直观。原始直观是由个人生活经验发展而来，即使在接受学校教育后仍能显现。二阶直观是由教育的介入习得的科学性概念。[1]对同一个问题，二阶直观常与原始直观相矛盾。直观能影响学生的判断和学习，虽然其会与正确概念相违背，但因为它具有整体思考的特性，因此在解题的最初阶段有很大帮助，即原始直观和二阶直观在学生学习中都扮演了重要的角色。学生在学习时需要直观，但必须是正确的直观。所以，帮助学生克服直观迷思，对重建正确的数学概念是相当重要的。
在概率问题中，直观的角色似乎比在其他部分的数学学习中更为重要。概率直观常常与数学运算结果相违背，就像算出彩票中奖的概率是那么小，但在现实中每周都有人中奖一样。概率含有直观的思维却充满了迷思概念。直观需要再构建，借由数学知识使其清晰。[2]若学生能够对直观有所洞察，将有助于学习抽象的数学概念，教师需要将直观以形式化的表现呈现给学生，因此教学要从例子开始，先讨论例子中的现象，然后指出结构再下定义。原始直观不会消失，即使通过教学介入被覆盖仍会潜在影响学生的判断，因此教师与学生都必须正视直观，在学习中分析并修正自己的原始直观。
由于概率的抽象性和不确定性，学生很难用已获得的解决确定性问题的思维方式去求解灵活的概率问题，这就决定了概率内容教与学方式的转变。为此提出以下建议：
（1）注重教学脚手架
根据维果斯基提出的近侧发展区（ZPD）的观点，教师可以根据学生原有背景知识搭建暂时性的学习构架，来协助学生由实际发展层次进入潜在发展层次，这种引导也是支架式教学。[3]实际概率教学中，教师必须以学生的原有认知为基础，依据教材内容和学生的特性，提供学习过程中所需的脚手架，并且该脚手架要随学生的实际学习情况不断进行调整，使学生能以此培养独立学习的能力。同时在教学活动设计上提供适当的学习情境，让处于ZPD的学生能主动积极地学习，有助于学生迷思概念的修正，促进学生的自我反思，强化概率的学习。
（2）注重“类比”和“冲突介入”
类比教学是将一系列的数学问题重组，以定锚问题开始引出正确答案，经过搭桥问题引出迷思概念，再到标的问题强烈地暗示迷思概念。冲突教学则用一个问题来引出学生的错误答案，接着呈现一个和学生错误答案相冲突的情境，让学生察觉到自己答案的错误。通过思维上的冲击，让学生更加直观地发现错误。教师可以收集学生在认知方面出现的直观迷思，把它们融合到自己的教学实践中，针对性的进行教学。
（3）注重构建知识网络
学生能否准确迅速地运用概率概念和模型解题，取决于其对各概念和模型间的联系与区别能否真正掌握，所谓的“夯实基础，提高能力”，本质上就是引导学生掌握知识间的区别与联系，将教材的知识转化为自己的认知。因此在概率的教学过程中教师要随时引导学生将获得的新概念、新模型与已有的概念和模型进行比较、对照，找出它们间的联系与区别，优化自己的知识结构。另外，学生在概率学习中可以用表征当媒介来获得抽象的结构，如画树形图，能加速认识组合的概念和运算。
（4）注重建模思维机制的提取
概率问题求解的关键是寻找模型。概率模型的提取需要经过观察分析、归纳、判断等复杂的思维过程，学生会因为对题目理解不准确或对某个知识点含糊不清而误入歧途，因此教学过程中，教师需要充分展示建模的思维过程，使学生从问题情景中领悟概率模型提取的思维，获得模型选取的经验。
（5）注重预测、实验和证实
要想建立正确的直观，就需要大量的反思活动经验。教师在教学中要根据学生的生活、学习经验，创设丰富的问题情景，对实际情形进行预测、实验和证实，改变学生的主观判断、个人的错误经验，引导学生自己去生成概念，发现计算法则，加深对概率概念的理解与认知。
（6）注重材料背景的变更
教学中发现，有些迷思概念的使用与题目的背景有关。教学实验会使用硬币、骰子、扑克牌等，有的学生能够意识到虽然活动的材料不同但彼此有相同的本质，而有的学生则不然，题目背景一变，解题策略也变了。因此，教师在教学中应注意使用多种材料，有意识地训练学生用不同的实验材料模拟同一类问题，促进学生的理解。当然，这种能力也是理解水平的一种反映。
（7）注重概率问题求解中数学思想方法的挖掘与渗透
数学思想方法是形成数学观念的前提，在数学活动中，它既是活动的具体指导思想，又是活动过程中所必须的具体知识。所以，数学思想方法在数学认知结构中占非常重要的地位。概率问题中蕴涵着许多数学思想方法，主要有“实际推断原理和假设检验”的思想、随机思想、模型化思想、分类讨论思想、转化思想、整体思想、函数方程思想等。教师应及时挖掘并渗透这些数学思想方法，有助于学生更好地掌握概率知识，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（8）注重传统教学与信息技术的结合
在日常的概率教学中，教师除了用传统的教学方法讲授概率知识，还应指导学生使用计算机技术处理日常概率问题。教学中利用多媒体进行经典概率实验模拟、图形演示，能使学生在直观上更加深刻地理解概率知识。
总之，概率教学的目的是让学生能够了解随机现象和概率的意义，教师应将教学与日常生活实例相结合，鼓励学生动手实验，帮助学生理清在生活中所产生的一些迷思概念，引导学生领悟数学概率的随机思想，对生活中不确定现象建立科学的认识观念。
参考文献
[1]Fischbein， E. Intuition in science and mathematics： An educational approach. Dordrecht： Reidel Academic. 1987.
[2]Borovcnik， M.， & Peard， R. Probability. In A.J. Bishop， K. Clements， C. Keitel， J. Kilpatrick， &C. Laborde （Eds.）， International Handbook of Mathematics Education. Dordrecht： Kluwer Academic. 1996： 239-287.
[3]刘春芳，史伟. 支架式教学模式在概率论与数理统计课程中的应用[J]. 高师理科学刊， 2013（5）.
关键词：概率教学；直观迷思；策略探讨
中图分类号：G633.6
在目前的高中数学课程中，概率是为数不多的与现实生活结合紧密的内容。概率概念含有直观的思维，却常与我们生活经验中的直观期望不符，给学生的学习带来一定的困难，对教师的教学也提出了更高的要求。其教与学的困难主要体现在：首先，与概率相关的一些迷思概念比较隐蔽不易觉察；其次，有些错误观念貌似合理、符合逻辑；再者，要弄清学生在解决概率过程中的真实思维较为困难。
学生对概率的认知，很大程度上缺乏与数学知识的联系，认为有生活上的直观就可以了；对求得的答案又常有不确定的感觉，缺乏学习信心。教学中可以感受到，学生对概率概念存在直观迷思。学生的直观思维会如何影响其概率内容的学习；数学教师又如何调整概率内容在直观上的教学以帮助学生建立正确有效的概率直观来提高学习？
Fischbein将直观分成原始直观和二阶直观。原始直观是由个人生活经验发展而来，即使在接受学校教育后仍能显现。二阶直观是由教育的介入习得的科学性概念。[1]对同一个问题，二阶直观常与原始直观相矛盾。直观能影响学生的判断和学习，虽然其会与正确概念相违背，但因为它具有整体思考的特性，因此在解题的最初阶段有很大帮助，即原始直观和二阶直观在学生学习中都扮演了重要的角色。学生在学习时需要直观，但必须是正确的直观。所以，帮助学生克服直观迷思，对重建正确的数学概念是相当重要的。
在概率问题中，直观的角色似乎比在其他部分的数学学习中更为重要。概率直观常常与数学运算结果相违背，就像算出彩票中奖的概率是那么小，但在现实中每周都有人中奖一样。概率含有直观的思维却充满了迷思概念。直观需要再构建，借由数学知识使其清晰。[2]若学生能够对直观有所洞察，将有助于学习抽象的数学概念，教师需要将直观以形式化的表现呈现给学生，因此教学要从例子开始，先讨论例子中的现象，然后指出结构再下定义。原始直观不会消失，即使通过教学介入被覆盖仍会潜在影响学生的判断，因此教师与学生都必须正视直观，在学习中分析并修正自己的原始直观。
由于概率的抽象性和不确定性，学生很难用已获得的解决确定性问题的思维方式去求解灵活的概率问题，这就决定了概率内容教与学方式的转变。为此提出以下建议：
（1）注重教学脚手架
根据维果斯基提出的近侧发展区（ZPD）的观点，教师可以根据学生原有背景知识搭建暂时性的学习构架，来协助学生由实际发展层次进入潜在发展层次，这种引导也是支架式教学。[3]实际概率教学中，教师必须以学生的原有认知为基础，依据教材内容和学生的特性，提供学习过程中所需的脚手架，并且该脚手架要随学生的实际学习情况不断进行调整，使学生能以此培养独立学习的能力。同时在教学活动设计上提供适当的学习情境，让处于ZPD的学生能主动积极地学习，有助于学生迷思概念的修正，促进学生的自我反思，强化概率的学习。
（2）注重“类比”和“冲突介入”
类比教学是将一系列的数学问题重组，以定锚问题开始引出正确答案，经过搭桥问题引出迷思概念，再到标的问题强烈地暗示迷思概念。冲突教学则用一个问题来引出学生的错误答案，接着呈现一个和学生错误答案相冲突的情境，让学生察觉到自己答案的错误。通过思维上的冲击，让学生更加直观地发现错误。教师可以收集学生在认知方面出现的直观迷思，把它们融合到自己的教学实践中，针对性的进行教学。
（3）注重构建知识网络
学生能否准确迅速地运用概率概念和模型解题，取决于其对各概念和模型间的联系与区别能否真正掌握，所谓的“夯实基础，提高能力”，本质上就是引导学生掌握知识间的区别与联系，将教材的知识转化为自己的认知。因此在概率的教学过程中教师要随时引导学生将获得的新概念、新模型与已有的概念和模型进行比较、对照，找出它们间的联系与区别，优化自己的知识结构。另外，学生在概率学习中可以用表征当媒介来获得抽象的结构，如画树形图，能加速认识组合的概念和运算。
（4）注重建模思维机制的提取
概率问题求解的关键是寻找模型。概率模型的提取需要经过观察分析、归纳、判断等复杂的思维过程，学生会因为对题目理解不准确或对某个知识点含糊不清而误入歧途，因此教学过程中，教师需要充分展示建模的思维过程，使学生从问题情景中领悟概率模型提取的思维，获得模型选取的经验。
（5）注重预测、实验和证实
要想建立正确的直观，就需要大量的反思活动经验。教师在教学中要根据学生的生活、学习经验，创设丰富的问题情景，对实际情形进行预测、实验和证实，改变学生的主观判断、个人的错误经验，引导学生自己去生成概念，发现计算法则，加深对概率概念的理解与认知。
（6）注重材料背景的变更
教学中发现，有些迷思概念的使用与题目的背景有关。教学实验会使用硬币、骰子、扑克牌等，有的学生能够意识到虽然活动的材料不同但彼此有相同的本质，而有的学生则不然，题目背景一变，解题策略也变了。因此，教师在教学中应注意使用多种材料，有意识地训练学生用不同的实验材料模拟同一类问题，促进学生的理解。当然，这种能力也是理解水平的一种反映。
（7）注重概率问题求解中数学思想方法的挖掘与渗透
数学思想方法是形成数学观念的前提，在数学活动中，它既是活动的具体指导思想，又是活动过程中所必须的具体知识。所以，数学思想方法在数学认知结构中占非常重要的地位。概率问题中蕴涵着许多数学思想方法，主要有“实际推断原理和假设检验”的思想、随机思想、模型化思想、分类讨论思想、转化思想、整体思想、函数方程思想等。教师应及时挖掘并渗透这些数学思想方法，有助于学生更好地掌握概率知识，提高学生分析问题和解决问题的能力。
（8）注重传统教学与信息技术的结合
在日常的概率教学中，教师除了用传统的教学方法讲授概率知识，还应指导学生使用计算机技术处理日常概率问题。教学中利用多媒体进行经典概率实验模拟、图形演示，能使学生在直观上更加深刻地理解概率知识。
总之，概率教学的目的是让学生能够了解随机现象和概率的意义，教师应将教学与日常生活实例相结合，鼓励学生动手实验，帮助学生理清在生活中所产生的一些迷思概念，引导学生领悟数学概率的随机思想，对生活中不确定现象建立科学的认识观念。
参考文献
[1]Fischbein， E. Intuition in science and mathematics： An educational approach. Dordrecht： Reidel Academic. 1987.
[2]Borovcnik， M.， & Peard， R. Probability. In A.J. Bishop， K. Clements， C. Keitel， J. Kilpatrick， &C. Laborde （Eds.）， International Handbook of Mathematics Education. Dordrecht： Kluwer Academic. 1996： 239-287.
[3]刘春芳，史伟. 支架式教学模式在概率论与数理统计课程中的应用[J]. 高师理科学刊， 2013（5）.