摘要：二次函数的重要性毋庸置疑，它的优点在于不仅仅可以利用本身为我们解决问题，还可以在其他方面帮助我们，比如在函数概念的理解上，帮助学生掌握函数的单调性，最值，图像等等方面，尤其在利用函数思想锻炼学生数学思维上，二次函数更是有着强大的优势，本文就从这几个方面，简单介绍一下二次函数在学习中的一些应用。
　　关键词：二次函数；应用；单调性；最值；数学思维
　　[中图分类号]G63
　　[文献标识码]A
　　[文章编号]2095-2627（2017）18-036-01
　　二次函数是整个中学数学初等函数中最重要的一个，在初中时学生便有所接触，但是由于初中时学生的理解能力比较差，所以学习起来是机械的，表面的，没有接触其函数本质。到了高中，就需要重新对二次函数的基本概念，基本性质，图像，单调性，奇偶性加以加深巩固，灵活应用，深入学习。
　　一、函数概念的理解中的应用
　　高中我们为了学习函数，在集合的基础上我们又引入了映射的概念，其主要目的是为了用映射来阐述函数，这个时候对学生而言，是比较抽象的，所以我们可以用学生有了一定基础的二次函数为例，给学生加深函数的概念。二次函数实际上就是一个非空集合A到一个非空集合B的映射。f：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a=?0）与集合A中的元素x对应，记为f（x）=ax2+bx+c（a=?0），这里的ax2+bx+c就是对应法则，又可以看成是元素x在集合B中的象。这样一来，学生在理解函数概念时就有了一个比较清晰明确的认识。在学生对函数的记号有了初步的理解后，我们还可以用二次函数处理以下类似的问题：
　　类型一：若f（x）=3x2+2x+1，求f（x-2）
　　类型二：若f（x-2）=3x2-10x+9，求f（x）对于类型一，不可以把f（x-2）简单的看成是x=x-2时
　　的函数值，应理解为自变量为x-2的函数值，虽然结果相同，但本质大有不同。
　　对于类型二，学生理解起来比较困难，应理解为：已知对应法则f下，定义域中的元素x-2的象是3x2-10x+9，求定义域中元素x的象，其实就是去求对应法则，具体操作有两种方法：
　　1.把解析式化成x-2的多项式。
　　因为f（x-2）=3x2-10x+9=3（x-2）2+2（x-2）+1，所以f（x）=3x2+2x+1。这种方法学生理解起来比较容易，还可以比较元与元的关系，但实际操作起来不简单。
　　2.换元法。
　　令t=x-2，则x=t+2，f（x-2）=f（t）=3（t+2）2+10（t+2）+9=3t2+2t+1，所以f（x）=3x2+2x+1。这种方法的实用性比较强，而且对一般的函数都适用，所以在教学中应多加以训练。
　　二、在函数单调性，最值与图像中的应用
　　在高中函数单调性的学习中，可以让学生对二次函数在不同区间上的不同单调性进行论证，论证的方法直接用单调性的定义即可，使学生对单调性的理解建立在严密理论的基础上，同时，还可以利用二次函数的图像的直观性，加以练习，让学生能建立起一种初步的数形结合的理念，更好的学习数学。操作上，有以下类型可供训练：
　　类型三：画出函数f（x）=x2+x+1+1的图像，并用图像研究函数的单调性。
　　这里要注意提醒学生，所给函数并不是二次函数，但要注意其与二次函数的联系，进而联系到含有绝对值的函数其实本质上是分段函数，画出其在不同区间上的图像，研究其单调性。
　　类型四：若f（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值为g（t），求g（t）并画出y=g（t）的图像。
　　此類型的题应该是学生进入高中数学以来，严格意义上第一次接触分类讨论的思想，对学生今后数学思维的影响是巨大的，可以说，这一关过得去，将极大的增加学生的信心，提高其学习数学的兴趣，反之亦然，所以，教师在处理这类问题时一定要耐心，不可急进。参考解法：f（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2
　　当1∈[t，t+1]时，即0≤t≤1，g（t）=-2当t>1时，g（t）=f（t）=t2-2t-1当t<0时，g（t）=f（t+1）=t2-2
　　所以g（t）={t2-2t-1（t>1）-2（0≤t≤1）t2-2（t　　本题强调学生对二次函数最值的理解，二次函数在R上只有最大值或最小值，但是当定义域变化时，其最值也会相应的发生变化。可以多些练习给学生加以熟悉和巩固。
　　例题：1.y=3x2-2x+1，（3≤x≤5），求值域。
　　2.f（x）=-2x2+4x-7，（-2≤x≤4），画函数图像并求值域。
　　三、锻炼学生数学思维中的应用
　　数学思维的锻炼，对于学生而言至关重要，有些学生学数学，只是机械的学习解题方法或者思路，忽略了数学思维的培养，这样的话，学习变成了负担，解题变成了折磨。如何建立起学生的数学思维，也成了高中数学教师十分头疼的事情。其实，二次函数是帮助我们培养学生数学思维的很好的工具。先看这样的一道题：
　　类型五：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，有方程f（x）-x=0的两个根x1，x2符合条件0　　察内容较多，难度较大，本题要证明的是x　　解：1令g（x）=f（x）-x，因为x1，x2是方程f（x）-x=0的两个根，f（x）=ax2+bx+c，所以有g（x）=a（x-x1）（x-x2），因为00，所以g（x）>0，即f（x）-x>0，所以
　　x　　c=f（0），所以f（0）　　在x=0或x=x1处取到，因为f（0）　　2f（x）=ax+bx+c=a（x+2a）+c-4a，函数f（x）的对称轴为x=-b，可得，x=-b，因为x，x是ax2+（b+2a02a12b-11）x+c=0的两个根，由韦达定理得：x1+x2=-a，因为x1-1<0，所以x0=-b=2　　二次函数有着丰富的内涵和外延，除了上述作为基本函数外，它还可以看做是幂函数，可以由它搭起起函数、方程、不等式之间的桥梁，可以构造出、层出不穷的数学问题，可以考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，本文只讨论了一些皮毛问题，也希望各位老师在进行高中数学教学的时候，多多关注二次函数，使我们对它更了解，使学生更喜欢它，进而更喜欢数学。
　　参考文献：
　　[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学2必修（A版）.人民教育出版社.205年5月第二版
　　[2]韦民.名师设计——5年高考3年模拟[M].北京：光明日报出版社.206.07