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复习课要能既抓住关键，又提升能力，本文以二次函数复习课为例，探索如何帮助学生通过知识序列的重组，来达到知识经验重组的目的，从而提高复习效果，提升学生能力。
一、过程分析与重构
（一）基于已有经验，展开教学主线
二次函数研究的基本功是“配方”“画图”，它是学生准确、全面掌握图像特征和性质的前提和关键。之前，学生对二次函数有了一定认识，但由于二次函数在教材中没有集中学习，学生对图像的细致特征还不能够准确把握，对性质的图像表征及符号表征之间对应关系，认识还比较肤浅。所以，基于学生已有的经验与知识基础，本课从图像切入，引导学生深入研究图像，通过图像来辨析性质，确立“图像表征与符号表征的适恰转化”作为知识整合的主线。
（二）设计多种活动，丰富体验内容
复习课是在学生已有的知识经验基础上展开的，所以知识梳理不能由教师代替，而要在精准把握学情的基础上，明确学生该做的和教师该做的，“学生会写的要让学生写”，这既是对学生动脑、动手的推动，又是教师了解学情的契机，所以应从活动开始，激发学生参与，引导学生发现自身不足，形成学习方向。如可以提问二次函数解析式，学生书写。安排活动：对y=ax2+bx+c（a≠0）进行配方，展示配方过程，分析二次函数图像的画法，说明画二次函数图像的几个要素，画出六种图像，直观感受顶点、对称轴、最值、单调性。
（三）深入聚焦性质，多角度理解概念
二次函数复习的主要内容是通过图像研究性质，但显然不能停留在看图识字的水平上，要重新认识原有知识，抓住能力提升点，就要建立新的观察点。从函数的整体性质鸟瞰二次函数，从奇偶性、对称性、单调性角度重新认识二次函数，一方面将二次函数融入整个函数体系，又可以二次函数为平台，从更高观点理解函数。教学中发现，学生以奇偶性和对称性是孤立理解的。所以，教师可以引导学生从奇偶性着手，通过变式来研究对称性，在二者之间建立联系，并通过图像建立起符号表示的直观模式。可作如下设计：
问题1：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数的充要条件是什么，如何说明？
问题2：设二次函数f（x）=ax2+（b-2）x+2b-3a（a≠0）是定义在[-6，2a]上的偶函数，求a，b的值。
问题3：二次函数f（x）的图象顶点为（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8，求其解析式。
解析：问题1从偶函数条件入手，引导学生认识以直线x=0为对称轴的二次函数解析式的特征，问题2利用问题1中获得的经验，进一步深化对偶函数定义域关于原点对称的理解，并由此得到区间[a，b]关于原点对称的直观一般结论，即a+b=0。问题3，有学生发现了此图像与x轴交于两个点，这两个点有什么特殊性，请学生讨论一下，如学生可能会说，横坐标是y=0时对应方程的根，也可能会说，这两个点关于抛物线对称轴是对称的。对于问题3，让学生充分讨论，图像与x轴相交的两个点有什么特殊性，提问：f（-3）=f（5）=0有什么具体含义？总结讨论的结果，学会从符号表征到图像表征的转化，一般化为f（x1）=f（x2）?对称轴为x=。进一步提问：如果对称轴为x=m，则m-x和m+x对应的函数值是什么关系？写出来看一看，说明由此可以得出什么结论？
下面我们看一看这个结论的应用。
问题4：若二次函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2等于 。
解析：由上面讨论知x=3为对称轴，从而点（x1，0）与（x2，0）关于x=3对称，再由中点公式可得。
问题5：若f（x）=-x2+（b+2）x+3，x∈（b，c）的图象关于x=1对称，则 。
解析：问题5是在问题1和问题2基础上的深化，将偶函数的条件，对称轴为x=0变为其他直线x=1，研究方法类似。
学生易得：=1且=1，解出b=0，c=2。进一步将问题显化，f（b）=f（c），一般化为：对任一函数f（x），若在区间（α，β）上关于x=m对称，则f（α）=f（β），亦即=m。因此处是二次函数，故又有-=m。
（四）关注学习细节，凝练解题经验
继续研究图像，教学中教师先出示问题和变式。
问题6：已知函数y=2x2+mx+3在（-∞，-1]上是减函数，在{-1，+∞）上是增函数，则m的值为 。
解析：二次函数的单调区间必须是在对称轴的同侧，并且两侧单调性相反，所以可知对称轴为x=-1，从而-=-1，m=4。
变式1：已知函数f（x）=x2+4ax+5在区间（-∞，-6） 内单调递减，则a的取值范围为
。
变式2：已知函数f（x）=x2-（a-1）x+5在区间（，1）上为增函数，则a的取值范围为 。
变式3：若函数y=ax2+x+5在[5，+∞）上是增函数，则a的取值范围为 。
三个变式的目的是“巩固数形结合的数学思想”。此处要对取值区间“开”与“闭”进行精细分析。若二次函数的某一单调区间为（-∞，-]，在其上任取一子区间，不管“开”“闭”，在这个区间上函数总是具有相同的单调性，所以参数取值区间定是包含一端点值的。通过过程教学，将学生模糊的认识凝练为解题的经验：1.在某单调的区间上任取一子区间，单调性不变;2.对变动区间与变动对称轴的研究要突出画图的先后次序：先定抛物线，再作对称轴，然后定单调区间。“一线二轴三找点”，即画抛物线→作对称轴→取单调区间的端点。 （五）敢于放手实践，强化反馈检测
问题：设二次函数f（x）=-x2+m图像的顶点为C，与x轴的交点分别为A，B。若△ABC中的面积为8。（1）求m的值;（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值。
解析：正确画图是解决此题的关键，通过画图发现顶点C在y轴正半轴上，求出A，B点坐标，表示出面积，得出×2m×m=8，m=4。在区间[-1，2]上，ymax=f（0）=4，ymin=f（2）=2。
教师出示问题后，不要马上指出对称轴是y 轴，而是让学生先探索，尝试画图，以防学生随手画图。要给学生机会，通过自己探索，独立解决一个问题。让学生完整体验通过图像来解决不同区间上的最值问题，也让学生检测自己的学习效果，获得经验：求二次函数最值，要分清区间在对称轴“左侧、右侧、穿过”时的不同情形。
二、复习课教学的几个注意点
要使复习课有效果，就要帮助学生在活动中整合经验，能切实拓展思维，提高能力。
（一）深入了解学生：经验整合的前提
教学真正的难点在于了解学生，学生已有的知识与经验是什么，已经存在的知识形态是什么，问题解决过程中入手的难点在哪，在审辨概念时的易错点在哪，这些问题是影响教学有效性的关键。只有了解了学生，才能选准切入点，还课堂给学生，让学习真正成为顺应学生心理的经验改造的活动。
（二）形成直观模式：经验整合的目标
教师的预期是要让学生清楚地学到东西，弄清原委，但是教学过程受到很多因素的影响，在教学中可能碰到很多问题要及时调整，最后实际的结果如何？从预期、实践到实际所学，这个过程的关键是，让学生说，让学生想，引导学生在自我建构中清晰审辨概念、审辨过程、审辨方法，由新课的切片式学习转变为复习课的整合式学习，从而形成问题解决的直观思维模式。
（三）聚焦研究主题：经验整合的方法
针对学情，以思想方法为统领，确立内容主线和核心，选准问题研究的切入点和考察点，围绕主线设置问题，针对核心进行变式拓展，从问题中提炼方法，凝练经验。要防止因为问题太多，而影响学生思维的条理性与深刻性，问题要主题集中，有层次性，问题与问题之间要有逻辑性，问题解决要突出过程性和体验性。
（四）放手实践尝试：经验整合的关键
课堂观察发现，教学中，教师往往为了教学的顺畅，急于向学生呈现思考过程，而忽视了学生所想。事实上，在上一个问题没有解决或从心理上认可的情形下，学生很难转向下一问题的思考。一部分学生就是因为教师的“急迫”而失去了一个个补偿机会。实践尝试是知识自组织的过程，特别是思维方式与思想方法尤其需要学生的实践尝试，积累与领悟，概括与积淀，澄清与阐释，只有在具体问题的解决过程中，思想方法才能扎下根来。
综上所述，复习课要充分了解学情，要抓住学生的兴奋点，聚焦研究对象的关键点，做到既立足旧知，又富有新意，既巩固与整合已有经验，又提升与创造新的经验。
（责编 赵建荣）
一、过程分析与重构
（一）基于已有经验，展开教学主线
二次函数研究的基本功是“配方”“画图”，它是学生准确、全面掌握图像特征和性质的前提和关键。之前，学生对二次函数有了一定认识，但由于二次函数在教材中没有集中学习，学生对图像的细致特征还不能够准确把握，对性质的图像表征及符号表征之间对应关系，认识还比较肤浅。所以，基于学生已有的经验与知识基础，本课从图像切入，引导学生深入研究图像，通过图像来辨析性质，确立“图像表征与符号表征的适恰转化”作为知识整合的主线。
（二）设计多种活动，丰富体验内容
复习课是在学生已有的知识经验基础上展开的，所以知识梳理不能由教师代替，而要在精准把握学情的基础上，明确学生该做的和教师该做的，“学生会写的要让学生写”，这既是对学生动脑、动手的推动，又是教师了解学情的契机，所以应从活动开始，激发学生参与，引导学生发现自身不足，形成学习方向。如可以提问二次函数解析式，学生书写。安排活动：对y=ax2+bx+c（a≠0）进行配方，展示配方过程，分析二次函数图像的画法，说明画二次函数图像的几个要素，画出六种图像，直观感受顶点、对称轴、最值、单调性。
（三）深入聚焦性质，多角度理解概念
二次函数复习的主要内容是通过图像研究性质，但显然不能停留在看图识字的水平上，要重新认识原有知识，抓住能力提升点，就要建立新的观察点。从函数的整体性质鸟瞰二次函数，从奇偶性、对称性、单调性角度重新认识二次函数，一方面将二次函数融入整个函数体系，又可以二次函数为平台，从更高观点理解函数。教学中发现，学生以奇偶性和对称性是孤立理解的。所以，教师可以引导学生从奇偶性着手，通过变式来研究对称性，在二者之间建立联系，并通过图像建立起符号表示的直观模式。可作如下设计：
问题1：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）是偶函数的充要条件是什么，如何说明？
问题2：设二次函数f（x）=ax2+（b-2）x+2b-3a（a≠0）是定义在[-6，2a]上的偶函数，求a，b的值。
问题3：二次函数f（x）的图象顶点为（1，16），且图象在x轴上截得线段长为8，求其解析式。
解析：问题1从偶函数条件入手，引导学生认识以直线x=0为对称轴的二次函数解析式的特征，问题2利用问题1中获得的经验，进一步深化对偶函数定义域关于原点对称的理解，并由此得到区间[a，b]关于原点对称的直观一般结论，即a+b=0。问题3，有学生发现了此图像与x轴交于两个点，这两个点有什么特殊性，请学生讨论一下，如学生可能会说，横坐标是y=0时对应方程的根，也可能会说，这两个点关于抛物线对称轴是对称的。对于问题3，让学生充分讨论，图像与x轴相交的两个点有什么特殊性，提问：f（-3）=f（5）=0有什么具体含义？总结讨论的结果，学会从符号表征到图像表征的转化，一般化为f（x1）=f（x2）?对称轴为x=。进一步提问：如果对称轴为x=m，则m-x和m+x对应的函数值是什么关系？写出来看一看，说明由此可以得出什么结论？
下面我们看一看这个结论的应用。
问题4：若二次函数y=f（x）满足f（3+x）=f（3-x），且方程f（x）=0有两个实数根x1，x2，那么x1+x2等于 。
解析：由上面讨论知x=3为对称轴，从而点（x1，0）与（x2，0）关于x=3对称，再由中点公式可得。
问题5：若f（x）=-x2+（b+2）x+3，x∈（b，c）的图象关于x=1对称，则 。
解析：问题5是在问题1和问题2基础上的深化，将偶函数的条件，对称轴为x=0变为其他直线x=1，研究方法类似。
学生易得：=1且=1，解出b=0，c=2。进一步将问题显化，f（b）=f（c），一般化为：对任一函数f（x），若在区间（α，β）上关于x=m对称，则f（α）=f（β），亦即=m。因此处是二次函数，故又有-=m。
（四）关注学习细节，凝练解题经验
继续研究图像，教学中教师先出示问题和变式。
问题6：已知函数y=2x2+mx+3在（-∞，-1]上是减函数，在{-1，+∞）上是增函数，则m的值为 。
解析：二次函数的单调区间必须是在对称轴的同侧，并且两侧单调性相反，所以可知对称轴为x=-1，从而-=-1，m=4。
变式1：已知函数f（x）=x2+4ax+5在区间（-∞，-6） 内单调递减，则a的取值范围为
。
变式2：已知函数f（x）=x2-（a-1）x+5在区间（，1）上为增函数，则a的取值范围为 。
变式3：若函数y=ax2+x+5在[5，+∞）上是增函数，则a的取值范围为 。
三个变式的目的是“巩固数形结合的数学思想”。此处要对取值区间“开”与“闭”进行精细分析。若二次函数的某一单调区间为（-∞，-]，在其上任取一子区间，不管“开”“闭”，在这个区间上函数总是具有相同的单调性，所以参数取值区间定是包含一端点值的。通过过程教学，将学生模糊的认识凝练为解题的经验：1.在某单调的区间上任取一子区间，单调性不变;2.对变动区间与变动对称轴的研究要突出画图的先后次序：先定抛物线，再作对称轴，然后定单调区间。“一线二轴三找点”，即画抛物线→作对称轴→取单调区间的端点。 （五）敢于放手实践，强化反馈检测
问题：设二次函数f（x）=-x2+m图像的顶点为C，与x轴的交点分别为A，B。若△ABC中的面积为8。（1）求m的值;（2）求函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值。
解析：正确画图是解决此题的关键，通过画图发现顶点C在y轴正半轴上，求出A，B点坐标，表示出面积，得出×2m×m=8，m=4。在区间[-1，2]上，ymax=f（0）=4，ymin=f（2）=2。
教师出示问题后，不要马上指出对称轴是y 轴，而是让学生先探索，尝试画图，以防学生随手画图。要给学生机会，通过自己探索，独立解决一个问题。让学生完整体验通过图像来解决不同区间上的最值问题，也让学生检测自己的学习效果，获得经验：求二次函数最值，要分清区间在对称轴“左侧、右侧、穿过”时的不同情形。
二、复习课教学的几个注意点
要使复习课有效果，就要帮助学生在活动中整合经验，能切实拓展思维，提高能力。
（一）深入了解学生：经验整合的前提
教学真正的难点在于了解学生，学生已有的知识与经验是什么，已经存在的知识形态是什么，问题解决过程中入手的难点在哪，在审辨概念时的易错点在哪，这些问题是影响教学有效性的关键。只有了解了学生，才能选准切入点，还课堂给学生，让学习真正成为顺应学生心理的经验改造的活动。
（二）形成直观模式：经验整合的目标
教师的预期是要让学生清楚地学到东西，弄清原委，但是教学过程受到很多因素的影响，在教学中可能碰到很多问题要及时调整，最后实际的结果如何？从预期、实践到实际所学，这个过程的关键是，让学生说，让学生想，引导学生在自我建构中清晰审辨概念、审辨过程、审辨方法，由新课的切片式学习转变为复习课的整合式学习，从而形成问题解决的直观思维模式。
（三）聚焦研究主题：经验整合的方法
针对学情，以思想方法为统领，确立内容主线和核心，选准问题研究的切入点和考察点，围绕主线设置问题，针对核心进行变式拓展，从问题中提炼方法，凝练经验。要防止因为问题太多，而影响学生思维的条理性与深刻性，问题要主题集中，有层次性，问题与问题之间要有逻辑性，问题解决要突出过程性和体验性。
（四）放手实践尝试：经验整合的关键
课堂观察发现，教学中，教师往往为了教学的顺畅，急于向学生呈现思考过程，而忽视了学生所想。事实上，在上一个问题没有解决或从心理上认可的情形下，学生很难转向下一问题的思考。一部分学生就是因为教师的“急迫”而失去了一个个补偿机会。实践尝试是知识自组织的过程，特别是思维方式与思想方法尤其需要学生的实践尝试，积累与领悟，概括与积淀，澄清与阐释，只有在具体问题的解决过程中，思想方法才能扎下根来。
综上所述，复习课要充分了解学情，要抓住学生的兴奋点，聚焦研究对象的关键点，做到既立足旧知，又富有新意，既巩固与整合已有经验，又提升与创造新的经验。
（责编 赵建荣）