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对紧度量空间X上的连续自映射f:X→X,Hurley利用一点逆像的(n,ε)-分离子集,引入了熵hp(f)和hm(f).按照拓扑熵观点,它们也度量了系统(X,f)的复杂性.本文将以Nielsen根类理论为工具,首先给出hp(f)的一个恰当的下界估计;然后作为该结果的应用,我们具体计算了环面上一类自映射的熵hp(f),同时得到了该空间上自映射同伦类熵的一个下界估计.