论文部分内容阅读
【摘要】在新课程改革背景下，高中数学题目的形式日渐丰富，因此对学生的解题思维提出了更高的要求.在高中数学知识中，以圆的标准方程、参数方程和一般方程为重要考查点，需要学生深刻把握这些知识，而圆的直径式方程在考纲中不做要求，但是仍然存在许多和圆的直径密切相关的问题，如果学生可以在解题的过程中合理运用圆的直径式方程，就可以在一定程度上降低题目的难度，收获良好的效果.基于此，本文将以圆的直径式方程为例，探究其在解题中的运用.
【关键词】圆的直径式方程;解题;妙用
我们可以将圆的方程分成标准方程和一般方程两种形式，如果已知點A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别是圆的直径的两个端点，而圆上任意一点M的坐标为（x，y），可知MA·MB=0，可以计算出圆的方程为 （x-x1） （x-x2） （y -y1） （y - y2）=0，此即圆的直径式方程.圆的直径式方程在解题中的应用十分广泛，本文将为大家简要介绍圆的直径式方程在解题中的具体用法.
一、圆的直径式方程在解题中的作用
以圆的直径为斜边作直角三角形，则另一点永远在圆上.将三角形的两条直角边的向量用坐标的形式表示，便可以通过两向量坐标垂直的性质推导出圆的直径式方程：（x-x1）（x-x2） （y -y1）（y-y2）=0.尽管圆的直径式方程不是高考的重要考查内容，但是如果题目中含有和圆的直径相关的题目，就可以借助圆的直径式方程进行解答，这样可以有效降低学生的解题难度，所以我们需要提高对这一方程的关注.此外，掌握圆的直径式方程的解法可以让学生在高考中多一种选择，那运用一种解题方法解题，并通过其他方法进行题目的验算，这可以切实提升学生的答题准确度，从而在高考中取得优异的成绩.
二、圆的直径式方程的推导过程
若圆的直径的两端点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则圆的直径式方程为（x-x1）（x-x2） （y-y1）（y-y2）=0，这可以通过向量进行证明.
首先，假设P（x，y）是圆上一点，那么向量（x-x1，y-y1）表示向量PA，（x-x2，y-y2）则表示向量PB.
因为AB是圆的直径，所以对于圆上的任意一个非A，B的点，∠APB=90°.
所以可以确定两向量的内积为0，即（x-x1）（x-x2） （y -y1）（y-y2）=0.
当P与A或B点重合时，两向量之一为0向量，因为0向量与任意向量垂直，所以上式仍成立，所以所有的圆上的点都符合方程（x-x1）（x-x2） （y -y1）（y-y2）=0.
又因为所有满足向量（x-x1，y-y1）垂直向量（x-x2，y-y2）的点都在圆上，所以可以确定（x-x1）（x-x2） （y-y1）（y-y2）=0就是该圆的方程.
三、圆的直径式方程的运用
（一）圆的方程
例1 请计算出过直线l：2x y 4=0和圆C：x2 y2 2x-4y 1=0的交点，且面积最小的圆的方程.
解析 面积最小的圆也就是以交点连线为直径的圆，因此可以运用直径式方程进行解题.
解 由题目可知，交点坐标同时满足 x2 y2 2x-4y 1=0和2x y 4=0，可以计算出交点A（-3，2），B-11[]5，2[]5，则题目所求是以点（-3，2）和-11[]5，2[]5为直径两端点的圆，可以列出：（x 3）x 11[]5 （y-2）y-2[]5=0，整理可得面积最小的圆的方程为 x2 y2 26[]5x-12[]5y 37[]5=0.
例2 已知点A和点B是直线y=kx b和双曲线x2-y2=4的两个交点，试计算出直径为AB的圆的方程.
解 由题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），则
点A和点B同时满足 x2-y2=4和y=kx b，将两式联立并消去字母y，可得（k2-1）x2 2kbx b2 4=0，根据韦达定理，可得
x1 x2=2kb []1-k2， ①
x1x2=b2 4[]k2-1.②
所以y1 y2=k（x1 x2） 2b=2b[]1-k2， ③
y1y2=k2x1x2 kb（x1 x2） b2=4k2-b2[]k2-1， ④
直径为AB的圆的方程为（x-x1）（x-x2） （y-y1）（y-y2）=0，将此式展开可得x2-（x1 x2） x x1x2 y2-（y1 y2）y y1y2=0.
将①②③④分别代入上述方程，可以确定所求圆的方程为x2 2kb[]k2-1x y2 2b[]k2-1y 4k2 4[]k2-1=0.
例3 从圆外一点P向圆O： x2 y2=1作两条切线，点P的坐标为（2，1），直线和圆O的切点分别为A，B，请求出经过A，B两点的直线方程.
解析 根据圆的直径式方程的性质，可以确定以线段 OP为直径的圆的方程的解析式为圆Q：x（x-2 ） y（y-1）=0，由于点A和点B皆为圆O的切点，所以点A和点B同时在圆O和圆Q上，因此，可以将两个圆的方程式作减法，确定经过两个圆的公共弦的方程为x（x-2） y（y -1）-（x2 y2-1）=0，可得 2x y-1=0，也就是直线AB的方程.
由此可见，借助圆的直径式方程的性质和解法，可以有效简化解题过程，让解题更加快速，切实提升解题的准确率.
（二）直线与圆的位置关系
例4 已知点P和点Q是直线l：x 2y-3=0和圆C：x2 y2 x-6y m=0的两个交点，点O为坐标原点，如果OP⊥OQ，请计算出实数m的值.
解 设点P（x1，y1），点Q（x2，y2）. 由于点P和点Q都是直线l上的一点，可以得出：x1=3-2y1，x2=3-2y2.
又因为OP⊥OQ，可以确定y1[]x1· y2[]x2=-1，
所以有x1x2 y1y2=（3-2y1）（3-2y2） y1y2=5y1y2-6（y1 y2） 9=0 ①.
将圆的方程x2 y2 x-6y m=0和直线方程x 2y-3=0联立，可以得出（3-2y）2 y2 3-2y-6y m=0，即5y2-20y 12 m=0.
因为y1和y2是方程的根，可以得出y1 y2=4，y1y2=12 m[]5.将y1y2=12 m[]5代入①，可以得出12 m-24 9=0，经计算可得m=3.
例5 已知点N是抛物线y=4x2上的一点，经过点N作圆C：（x-2）2 y2=1的切线，分别与圆C相切于点P和点Q，已知点P、点Q和点O三点在同一条直线上（其中点O为坐标原点），试求出点N的坐标.
解 由于点N是抛物线上的一点，由y=4x2可设点N（t，4t2），而点P和点Q分别为直径为NC的圆D和圆C的两个交点.
由此可以计算出圆D的方程为 （x-2）（x-t） y（y-4t2）=0，
可以将圆D方程转化为x2-（2 t）x 2t y2-4t2y=0 ①，
又因为圆C的方程为x2 - 4x y2 3 =0 ②，
将②式与①式相减，可得（2-t）x 2t-4t2y-3=0，此方程就是直線PQ的表达式.
由于P，Q，O三点在同一条直线上，可以确定直线PQ经过坐标原点O，由此可知2t-3=0，计算出t=3[]2.
由此可以计算出点N的坐标为3[]2，9.
例6 直线l：y=kx 1和双曲线C：2x2-y2 =1的右半部分的交点分别为点A和点B.
（1）请确定实数k的取值范围.
（2）当k取什么值时，可以让以线段AB为直径的圆O经过双曲线C的右焦点F？如果不存在这样一个实数k，请说明理由.
解 （1）根据题目，可以计算出实数k的取值范围为-2
【关键词】圆的直径式方程;解题;妙用
我们可以将圆的方程分成标准方程和一般方程两种形式，如果已知點A（x1，y1）和点B（x2，y2）分别是圆的直径的两个端点，而圆上任意一点M的坐标为（x，y），可知MA·MB=0，可以计算出圆的方程为 （x-x1） （x-x2） （y -y1） （y - y2）=0，此即圆的直径式方程.圆的直径式方程在解题中的应用十分广泛，本文将为大家简要介绍圆的直径式方程在解题中的具体用法.
一、圆的直径式方程在解题中的作用
以圆的直径为斜边作直角三角形，则另一点永远在圆上.将三角形的两条直角边的向量用坐标的形式表示，便可以通过两向量坐标垂直的性质推导出圆的直径式方程：（x-x1）（x-x2） （y -y1）（y-y2）=0.尽管圆的直径式方程不是高考的重要考查内容，但是如果题目中含有和圆的直径相关的题目，就可以借助圆的直径式方程进行解答，这样可以有效降低学生的解题难度，所以我们需要提高对这一方程的关注.此外，掌握圆的直径式方程的解法可以让学生在高考中多一种选择，那运用一种解题方法解题，并通过其他方法进行题目的验算，这可以切实提升学生的答题准确度，从而在高考中取得优异的成绩.
二、圆的直径式方程的推导过程
若圆的直径的两端点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则圆的直径式方程为（x-x1）（x-x2） （y-y1）（y-y2）=0，这可以通过向量进行证明.
首先，假设P（x，y）是圆上一点，那么向量（x-x1，y-y1）表示向量PA，（x-x2，y-y2）则表示向量PB.
因为AB是圆的直径，所以对于圆上的任意一个非A，B的点，∠APB=90°.
所以可以确定两向量的内积为0，即（x-x1）（x-x2） （y -y1）（y-y2）=0.
当P与A或B点重合时，两向量之一为0向量，因为0向量与任意向量垂直，所以上式仍成立，所以所有的圆上的点都符合方程（x-x1）（x-x2） （y -y1）（y-y2）=0.
又因为所有满足向量（x-x1，y-y1）垂直向量（x-x2，y-y2）的点都在圆上，所以可以确定（x-x1）（x-x2） （y-y1）（y-y2）=0就是该圆的方程.
三、圆的直径式方程的运用
（一）圆的方程
例1 请计算出过直线l：2x y 4=0和圆C：x2 y2 2x-4y 1=0的交点，且面积最小的圆的方程.
解析 面积最小的圆也就是以交点连线为直径的圆，因此可以运用直径式方程进行解题.
解 由题目可知，交点坐标同时满足 x2 y2 2x-4y 1=0和2x y 4=0，可以计算出交点A（-3，2），B-11[]5，2[]5，则题目所求是以点（-3，2）和-11[]5，2[]5为直径两端点的圆，可以列出：（x 3）x 11[]5 （y-2）y-2[]5=0，整理可得面积最小的圆的方程为 x2 y2 26[]5x-12[]5y 37[]5=0.
例2 已知点A和点B是直线y=kx b和双曲线x2-y2=4的两个交点，试计算出直径为AB的圆的方程.
解 由题意，可设A（x1，y1），B（x2，y2），则
点A和点B同时满足 x2-y2=4和y=kx b，将两式联立并消去字母y，可得（k2-1）x2 2kbx b2 4=0，根据韦达定理，可得
x1 x2=2kb []1-k2， ①
x1x2=b2 4[]k2-1.②
所以y1 y2=k（x1 x2） 2b=2b[]1-k2， ③
y1y2=k2x1x2 kb（x1 x2） b2=4k2-b2[]k2-1， ④
直径为AB的圆的方程为（x-x1）（x-x2） （y-y1）（y-y2）=0，将此式展开可得x2-（x1 x2） x x1x2 y2-（y1 y2）y y1y2=0.
将①②③④分别代入上述方程，可以确定所求圆的方程为x2 2kb[]k2-1x y2 2b[]k2-1y 4k2 4[]k2-1=0.
例3 从圆外一点P向圆O： x2 y2=1作两条切线，点P的坐标为（2，1），直线和圆O的切点分别为A，B，请求出经过A，B两点的直线方程.
解析 根据圆的直径式方程的性质，可以确定以线段 OP为直径的圆的方程的解析式为圆Q：x（x-2 ） y（y-1）=0，由于点A和点B皆为圆O的切点，所以点A和点B同时在圆O和圆Q上，因此，可以将两个圆的方程式作减法，确定经过两个圆的公共弦的方程为x（x-2） y（y -1）-（x2 y2-1）=0，可得 2x y-1=0，也就是直线AB的方程.
由此可见，借助圆的直径式方程的性质和解法，可以有效简化解题过程，让解题更加快速，切实提升解题的准确率.
（二）直线与圆的位置关系
例4 已知点P和点Q是直线l：x 2y-3=0和圆C：x2 y2 x-6y m=0的两个交点，点O为坐标原点，如果OP⊥OQ，请计算出实数m的值.
解 设点P（x1，y1），点Q（x2，y2）. 由于点P和点Q都是直线l上的一点，可以得出：x1=3-2y1，x2=3-2y2.
又因为OP⊥OQ，可以确定y1[]x1· y2[]x2=-1，
所以有x1x2 y1y2=（3-2y1）（3-2y2） y1y2=5y1y2-6（y1 y2） 9=0 ①.
将圆的方程x2 y2 x-6y m=0和直线方程x 2y-3=0联立，可以得出（3-2y）2 y2 3-2y-6y m=0，即5y2-20y 12 m=0.
因为y1和y2是方程的根，可以得出y1 y2=4，y1y2=12 m[]5.将y1y2=12 m[]5代入①，可以得出12 m-24 9=0，经计算可得m=3.
例5 已知点N是抛物线y=4x2上的一点，经过点N作圆C：（x-2）2 y2=1的切线，分别与圆C相切于点P和点Q，已知点P、点Q和点O三点在同一条直线上（其中点O为坐标原点），试求出点N的坐标.
解 由于点N是抛物线上的一点，由y=4x2可设点N（t，4t2），而点P和点Q分别为直径为NC的圆D和圆C的两个交点.
由此可以计算出圆D的方程为 （x-2）（x-t） y（y-4t2）=0，
可以将圆D方程转化为x2-（2 t）x 2t y2-4t2y=0 ①，
又因为圆C的方程为x2 - 4x y2 3 =0 ②，
将②式与①式相减，可得（2-t）x 2t-4t2y-3=0，此方程就是直線PQ的表达式.
由于P，Q，O三点在同一条直线上，可以确定直线PQ经过坐标原点O，由此可知2t-3=0，计算出t=3[]2.
由此可以计算出点N的坐标为3[]2，9.
例6 直线l：y=kx 1和双曲线C：2x2-y2 =1的右半部分的交点分别为点A和点B.
（1）请确定实数k的取值范围.
（2）当k取什么值时，可以让以线段AB为直径的圆O经过双曲线C的右焦点F？如果不存在这样一个实数k，请说明理由.
解 （1）根据题目，可以计算出实数k的取值范围为-2