论文部分内容阅读
苏科版数学七年级下册§10.1二元一次方程一节内容中有这样一道例题:
某球员在一场篮球比赛中共得35分(其中罚球得10分),问他分别投中了多少个两分球?多少个三分球?
设他投中了x个两分球,y个三分球,那么
2x 3y=35-10,
即2x 3y=25.
请你设计一张表格,列出这名球员投中的两分球和三分球的各种可能情况,根据你所列的表格,回答下列问题:
(1)这名球员最多投中了多少个三分球?
(2)这名球员最多投中了多少个球?
(3)如果这名球员投中了10个球,那么他投中了几个两分球?几个三分球?
本道例题的目的是通过对实际问题的分析,引导学生感受和体会二元一次方程也是刻画现实世界的有效的数学模型,培养学生良好的数学应用意识.实际上,2x 3y=25在这一章节中称为二元一次方程,在以后的教学和学习中也是一次函数.因此我认为教师在授课时是可以“借题”发挥的,这样既可以丰富学生的数学思想方法,又可以拓宽学生的解题思路和解题技巧,为学生在以后的学习打下良好的基础.
“借题”发挥一:不定方程的思想
“二元”即这个方程中含有两个未知数,未知数的个数多于方程的个数,不可以像一元一次方程一样直接解出方程的解.但是如果我们赋予其中一个未知数一个具体的值,即可求出另一个未知数的值,这样的方程有无数个解,亦可称作不定方程.教师可以指导学生试着代入数据去体会这样的方程的解的特征,并且告知学生一般情况下,解方程的一个先决条件是未知数的个数应和方程的个数相同.这为以后学习二元一次方程组的应用打下一个伏笔,有几个未知数就应该找几个等量关系.
“借题”发挥二:不定方程的整数解
这道题又是个实际问题,对于未知数的范围是有一定限制的,投中的球数必然是正整数,即x、y都是正整数.教师继续指导学生在得到的数据中进行筛选,找出这个问题中的解(注意要引导学生找全).除了上述代入求值的方法外,其实这样的方程还可以通过简单的变形,迅速地、准确地求出未知数的值.教师应该指导学生将方程变形,由原方程可得:
2x=25-3y.
易知2x是偶数,那么3y一定是奇数,所以y可取1,3,5,7,因此相应的x的值等于11,8,5,2.可列表如下:
这里变形的作用是将两个未知数“分离”到等式的两侧,用其中的一个未知数去表示另一个未知数,这样既可以引导学生去发现2x的特征,从而y的值也相应地缩小了范围,减少了机械的、无目的的代入过程,使得整个解题更具条理性和技巧性,加深学生的学习记忆,提高学生学习的兴趣,更同时也为下面的代入消元法的讲解打下了良好的基础.
“借题”发挥三:变量思想,函数思想
列出表格后自然可以看出问题的答案,但在此时教师仍然可以引导学生去发现:当y在逐渐变大时,x的值如何变化?进一步,教师还可以继续引导学生去发现x、y的值有何自身的变化规律?在教学中,学生会自主地、轻松地去发现当x的值最大时,y的值是最小的,而当x的值最小时,y的值是最大的.x、y值的变化也是有自己特定规律的,这样无疑增强了学生自主学习的信心,提高了学生自主学习的兴趣.教师在此可以简单地渗透变量和函数的思想,这对于学生进一步理解这个问题中的最多和最少是有一定帮助的.
“借题”发挥四:最值思想
第二小问中,最多投中了多少个球?2x 3y的值是一个定值,而两分球的分值比三分球的分值小,因此尽可能让二分球的个数越多投中的个数就越多(这在教学中学生能自主探索出结果).这种思想在很多决策题中都有广泛的应用,而且学生易于掌握.最后可以回到在表格中让学生进一步体会变量和最值的思想,投中球的总数与二分球的个数有关,x的值越大,投中的球的个数也就越多.学生在经历了计算、筛选、探索、寻找规律,最后再次回到表格中这样的过程.每一位同学应该都有所学,且有所获.无疑这样的学习过程轻松愉快,学生既有自主学习探究的过程,又有获得成功的喜悦,可以说是一举两得.
“借题”发挥五:整体思想
学生在经历了上述过程后,教师当然不应放过最后升华的阶段,最多投中的球数实际上求的是(x y)这个整体的值.在解决问题时,是不是可以将(x y)看成一个整体,原方程如果变形为2x 2y=25-y,提取2得:2(x y)=25-y,要求(x y)这个整体的最大值,即只要求出y的最小值.巧妙地将方程变形,把x y看成一个整体,这样的思想方法在教学中也不妨一提,可以强化学生解题时的整体的意识,体会一题多解的乐趣.整体思想可以化繁为简,在数学学习中随处可见.
可能在这里借题发挥会冲淡主题,喧宾夺主,可是我个人认为数学思想方法是靠教师在平时的教学中不断地引导和渗透,让学生在平时的学习过程中不知不觉地体会、理解和掌握,这样的学习过程对学生来说有所学,有所获,更有所乐.所以我认为适当的、合时宜的借题发挥可以起到锦上添花的作用.
(责任编辑:黎海英)
某球员在一场篮球比赛中共得35分(其中罚球得10分),问他分别投中了多少个两分球?多少个三分球?
设他投中了x个两分球,y个三分球,那么
2x 3y=35-10,
即2x 3y=25.
请你设计一张表格,列出这名球员投中的两分球和三分球的各种可能情况,根据你所列的表格,回答下列问题:
(1)这名球员最多投中了多少个三分球?
(2)这名球员最多投中了多少个球?
(3)如果这名球员投中了10个球,那么他投中了几个两分球?几个三分球?
本道例题的目的是通过对实际问题的分析,引导学生感受和体会二元一次方程也是刻画现实世界的有效的数学模型,培养学生良好的数学应用意识.实际上,2x 3y=25在这一章节中称为二元一次方程,在以后的教学和学习中也是一次函数.因此我认为教师在授课时是可以“借题”发挥的,这样既可以丰富学生的数学思想方法,又可以拓宽学生的解题思路和解题技巧,为学生在以后的学习打下良好的基础.
“借题”发挥一:不定方程的思想
“二元”即这个方程中含有两个未知数,未知数的个数多于方程的个数,不可以像一元一次方程一样直接解出方程的解.但是如果我们赋予其中一个未知数一个具体的值,即可求出另一个未知数的值,这样的方程有无数个解,亦可称作不定方程.教师可以指导学生试着代入数据去体会这样的方程的解的特征,并且告知学生一般情况下,解方程的一个先决条件是未知数的个数应和方程的个数相同.这为以后学习二元一次方程组的应用打下一个伏笔,有几个未知数就应该找几个等量关系.
“借题”发挥二:不定方程的整数解
这道题又是个实际问题,对于未知数的范围是有一定限制的,投中的球数必然是正整数,即x、y都是正整数.教师继续指导学生在得到的数据中进行筛选,找出这个问题中的解(注意要引导学生找全).除了上述代入求值的方法外,其实这样的方程还可以通过简单的变形,迅速地、准确地求出未知数的值.教师应该指导学生将方程变形,由原方程可得:
2x=25-3y.
易知2x是偶数,那么3y一定是奇数,所以y可取1,3,5,7,因此相应的x的值等于11,8,5,2.可列表如下:
这里变形的作用是将两个未知数“分离”到等式的两侧,用其中的一个未知数去表示另一个未知数,这样既可以引导学生去发现2x的特征,从而y的值也相应地缩小了范围,减少了机械的、无目的的代入过程,使得整个解题更具条理性和技巧性,加深学生的学习记忆,提高学生学习的兴趣,更同时也为下面的代入消元法的讲解打下了良好的基础.
“借题”发挥三:变量思想,函数思想
列出表格后自然可以看出问题的答案,但在此时教师仍然可以引导学生去发现:当y在逐渐变大时,x的值如何变化?进一步,教师还可以继续引导学生去发现x、y的值有何自身的变化规律?在教学中,学生会自主地、轻松地去发现当x的值最大时,y的值是最小的,而当x的值最小时,y的值是最大的.x、y值的变化也是有自己特定规律的,这样无疑增强了学生自主学习的信心,提高了学生自主学习的兴趣.教师在此可以简单地渗透变量和函数的思想,这对于学生进一步理解这个问题中的最多和最少是有一定帮助的.
“借题”发挥四:最值思想
第二小问中,最多投中了多少个球?2x 3y的值是一个定值,而两分球的分值比三分球的分值小,因此尽可能让二分球的个数越多投中的个数就越多(这在教学中学生能自主探索出结果).这种思想在很多决策题中都有广泛的应用,而且学生易于掌握.最后可以回到在表格中让学生进一步体会变量和最值的思想,投中球的总数与二分球的个数有关,x的值越大,投中的球的个数也就越多.学生在经历了计算、筛选、探索、寻找规律,最后再次回到表格中这样的过程.每一位同学应该都有所学,且有所获.无疑这样的学习过程轻松愉快,学生既有自主学习探究的过程,又有获得成功的喜悦,可以说是一举两得.
“借题”发挥五:整体思想
学生在经历了上述过程后,教师当然不应放过最后升华的阶段,最多投中的球数实际上求的是(x y)这个整体的值.在解决问题时,是不是可以将(x y)看成一个整体,原方程如果变形为2x 2y=25-y,提取2得:2(x y)=25-y,要求(x y)这个整体的最大值,即只要求出y的最小值.巧妙地将方程变形,把x y看成一个整体,这样的思想方法在教学中也不妨一提,可以强化学生解题时的整体的意识,体会一题多解的乐趣.整体思想可以化繁为简,在数学学习中随处可见.
可能在这里借题发挥会冲淡主题,喧宾夺主,可是我个人认为数学思想方法是靠教师在平时的教学中不断地引导和渗透,让学生在平时的学习过程中不知不觉地体会、理解和掌握,这样的学习过程对学生来说有所学,有所获,更有所乐.所以我认为适当的、合时宜的借题发挥可以起到锦上添花的作用.
(责任编辑:黎海英)