求二元函数、多元函数的取值范围是高考、高中数学竞赛常考的内容之一，本文介绍求解此类问题的五种方法.
　　一、 判别式“Δ”法
　　利用数式变形，将问题转化为一元二次方程有实数解的问题，再利用判别式解之.
　　例1 x、y∈R，且4x2-5xy+y2=5，记S=x2+y2，求S的最值.
　　解：∵4x2-5xy+4y2=5•x2+y2s
　　∴(4s-5)2-5sxy+4(4s-5)x2=0 ★
　　(1) 当x=0时，由题设有y2=54，故S=x2+y2=54
　　(2) 当x≠0时，★式变为(4s-5)yx2-5syx+(4s-5)=0
　　∴Δ=(5s)2-4(4s-5)2≥0，∴1013≤s≤103，
　　当且仅当x=-y=±6513时或x=y=±153时成立.
　　二、 三角换元法
　　对某些涉及“☆2+★2”的二元函数求取值范围的问题，可考虑用三角换元法.
　　例2 已知点P（x，y）在曲线（x－2）2＋2y2=1上移动，
　　则式子2x＋2y2的最大值为.
　　本题考查求函数极值的运算能力.
　　提示：解法一、设x=2+cosθ，y=22sinθ，代入得
　　原式=-cos2θ+2cosθ+1+22，
　　用二次函数可得最大值为32+22.
　　练习：已知：x≥0，x2+(y-2)2=1，
　　试求y=3x2+23xy+5y2x2+y2的取值范围.
　　解法一、三角换元法.
　　解法二、2y2=1-(x-2)2（1≤x≤3），代入得
　　原式=-x2+（4+2）x-3，用二次函数可得最大值为32+22.
　　三、 利用基本不等式法
　　例3 已知实数x、a1、a2、y成等差数列，x、b1、b2、y成等比数列，则(a1+a2)2b1b2的取值范围是.
　　本题考查等差、等比数列的性质以及分类讨论的能力
　　提示：(a1+a2)2b1b2=(x+y)2xy=xy+yx+2，
　　(1) 当xy＞0时，上式≥4；
　　(2) 当xy＜0时，上式≤0.
　　四、 消元法
　　例4 已知logxy=-2，则x＋y的最大值为.
　　本题考查用“消元法”把问题转化为二次函数以及利用基本不等式求极值问题的能力.
　　提示：由logxy=-2，得y=x-2(x＞0且x≠1，y＞0)，
　　∴M=x+y=x+x-2=x+1x2=x2+x2+1x2≥33x2•x2•1x2=3•322.
　　本题考查等差、等比数列的知识运算能力.
　　提示：设a、b、c成等比数列的公比为q，
　　z=ax＋cy=2aa+b+2cb+c=21+q+2q1+q=2.
　　五、 数形结合法
　　例5 如果ax＋by=2与圆x2＋y2=4相切，那么u=a＋b的最大值为.
　　本题考查直线与圆的位置关系，及求条件最值的数形结合、基本不等式应用的能力.
　　提示：∵2a2+b2=2，∴a2+b2=1，∴u=a＋b≤2(a2+b2)=2.
　　练习：若a、b∈R+且a2+b2=a+b，那么t=a+b的最大值为.
　　解：可用a+b=a2+b2≥(a+b)22来解，也可
　　转换成线性规划来解a-122+b-122=12
　　当然限制条件下函数取值范围的求解方法较多，此处提供几种，仅供参考.
　　（责任编辑：张军）