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《数学课程标准》指出,“自主探索”是学生数学学习的重要方式之一,教师要帮助学生在自主探索的过程中“真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法”。“探索”顺理成章地成为时下数学教学活动的一种趋势、一种时尚。但是,对于让学生自主探索的材料,人们却把视线囿于课本上的法则、定律、规律、公式、关系、方法等新知,而忽视承载巩固旧知功能的习题的引领作用。这样,不仅容易引发学生对自主探索学习方式应用范围的误解,而且不利于进一步提高学生的自主探索能力。那么,如何解决呢?笔者就此谈谈自己的一些做法。
一、编成习题,巩固探索方法
把课堂中对一些数学公式、法则、规律等的探索过程与方法编成具有一定思维难度、且有很大挑战性的深化练习题,让学生在解题过程中,从新的角度重新认识原来的探索过程与方法,形成新的思考与见解。编写这类习题,既要把学生原来的探索过程、方法简要地交代清楚,又要找出在原有探索活动中被忽视却值得进一步探讨的内容,更要有利于学生对原有“探索”进行多方面的考察、反思。教学这类习题时,教师除了要在学生独立思考、小组交流的基础上进行讲评外,还要充分利用教具、多媒体课件,让学生再次直观感知,由感性到理性,在多层次比较后提出自己的新发现。
例如,教学“圆的面积”后,把学生探索圆面积计算的过程与方法编成如下习题:把一个圆沿着它的直径剪开,分成64等份,拼成一个近似长方形,周长增加了6厘米。这个圆的面积大约是多少平方厘米?
学生对圆面积计算的探索立足于这样的认识:把圆均分的份数越多,拼成的近似长方形就越接近长方形;拼成的近似长方形的长相当于圆的周长的一半,宽相当于圆的半径。这些认识都是基于原有探索的目的——探究圆的面积计算而形成的。其实,在这样“剪”“拼”的过程中,还有一些现象值得学生再次研究。譬如,拼成的近似长方形是个非常特殊的长方形,它的长约是宽的3.14倍;拼成的近似长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍,等等。这些都能够加深学生对原有“探索”的认识。可见,通过本题练习,学生就能够巩固原来关于圆面积计算的探索方法。
同时,要加强所编习题的变式训练,以便让学生更好地把握住问题的实质,提高思维的灵活性。例如,圆面积计算题可以如下变化:(1)把一个圆沿着它的直径剪开,分成128等份,拼成一个近似长方形,周长增加了8厘米,这个圆的周长大约是多少厘米?(2)把一个周长是12.56厘米的圆沿着它的直径剪开,分成32等份,拼成一个近似长方形,拼成的近似长方形的周长比圆的周长大约增加了多少厘米?
二、运用题组,积累探索经验
学生在学习新知时习得的探索方法,需要及时巩固,使之纳入自己的认知系统。同时要对以前相关的探索活动与方法进行比较、反思,从而积累探索经验。这就需要把一类相关的习题组合起来形成题组,让学生围绕核心问题进行深度探究,发现一些规律性的东西。
这种题组一般由3道习题构成:第1道习题是为巩固刚刚学过的新知设计的,第2道习题是为回顾复习与前一道习题相关的旧知而设计的,第3道习题是在前两题的基础上稍作拓展、引申形成的。教学的重点不是每道习题的解题思路与算法,也不是由这三道习题归纳出一般的、共同的算法,它应该是在探索算法的过程中形成的共性的东西,也就是把各自的探索方法进行比较、归纳,形成探索经验。
例如,在教完圆柱的侧面积计算后,可以设计如下题组:
先想一想怎样来获得圆柱、长方体、半圆柱各自的侧面积的计算方法,再列式解答。
(1)一种圆柱形状的罐头,底面直径1分米,高2分米。侧面围着一张商标纸,商标纸的面积大约是多少?
(2)一个长方体饼干盒,长17厘米,宽11厘米,高22厘米。如果在它的侧面贴一圈商标纸,这张商标纸的面积至少有多少平方厘米?
(3)计算左边半圆柱模型的侧面积。(单位:厘米)
其中,第1题是仿照例题改编的;第2题是一道做过的旧题;第3题是根据与教材配套的《补充习题》第19页第5题改编的。
在学习长方体、正方体表面积时,学生通过拿一个长方体、正方体纸盒,沿着一些棱剪开得到展开图来探索并获得它们的表面积计算方法,积累了一定的学习经验。在学习圆柱侧面积时,学生结合具体的情境,通过将罐头盒的商标纸展开,探索并获得圆柱侧面积的算法。两者既有联系,又有区别。通过这一组题的探索,学生不仅学会了一般意义上的柱体的侧面积计算,而且巩固了探索这一类柱体侧面积计算的方法,即把侧面沿着高剪开,展开后铺平形成长方形。
三、转换题型,确立探索思路
一些看似需用公式、法则、定律来计算的常规性习题,凭学生实际的知识、技能与经验却无法用数学公式、法则、定律来直接解答,这种习题给学生提供了足够的探索线索与空间,而学生很少能根据自己的经验去发现探索思路。这就需要教师引导学生把它转换成探索性习题。
转换一道习题的题型,使之成为探索性习题,其本身只是解题意识问题,并不需要很强的技巧。因此,学生稍加训练,形成习惯就行了。一般地,可以让学生进行一系列联想,找到问题的突破口,形成数学猜想,再逐步进行验证,最终解决问题。
例如这样一题:一个等边三角形边长增加了,面积增加了。由于学生只能使用三角形面积公式来求面积,而他们不会已知等边三角形的边长求面积,更不知道一个等边三角形边长增加了,它的高也增加了。因此,可以作如下改编:
(1)一个正方形边长增加了,面积增加了。
(2)一个长方形边长增加了,面积增加了。
(3)一个直角三角形边长增加了,面积增加了。
(4)猜想:一个等边三角形边长增加了,面积增加了。
学生通过画图(见图1～图4)可知:面积增加了++=。这样,让学生由所求的等边三角形问题联想到正方形问题,再想到长方形问题、直角三角形问题,最终形成了等边三角形问题的解决思路。教师引导学生对探索的过程进行反思,从而完善和发展了学生的解题策略。
总之,教师有针对性地开发习题资源,引领学生进行探索,学生巩固的不只是数学知识与方法,更重要的是巩固了所学的探索方法。引导学生对习题本身进行考察,从而发现更为丰富的探索性问题,有利于增强他们自主探索的意识。
(江苏省宜兴市新建小学 214200)
一、编成习题,巩固探索方法
把课堂中对一些数学公式、法则、规律等的探索过程与方法编成具有一定思维难度、且有很大挑战性的深化练习题,让学生在解题过程中,从新的角度重新认识原来的探索过程与方法,形成新的思考与见解。编写这类习题,既要把学生原来的探索过程、方法简要地交代清楚,又要找出在原有探索活动中被忽视却值得进一步探讨的内容,更要有利于学生对原有“探索”进行多方面的考察、反思。教学这类习题时,教师除了要在学生独立思考、小组交流的基础上进行讲评外,还要充分利用教具、多媒体课件,让学生再次直观感知,由感性到理性,在多层次比较后提出自己的新发现。
例如,教学“圆的面积”后,把学生探索圆面积计算的过程与方法编成如下习题:把一个圆沿着它的直径剪开,分成64等份,拼成一个近似长方形,周长增加了6厘米。这个圆的面积大约是多少平方厘米?
学生对圆面积计算的探索立足于这样的认识:把圆均分的份数越多,拼成的近似长方形就越接近长方形;拼成的近似长方形的长相当于圆的周长的一半,宽相当于圆的半径。这些认识都是基于原有探索的目的——探究圆的面积计算而形成的。其实,在这样“剪”“拼”的过程中,还有一些现象值得学生再次研究。譬如,拼成的近似长方形是个非常特殊的长方形,它的长约是宽的3.14倍;拼成的近似长方形的周长比圆的周长增加了圆半径的2倍,等等。这些都能够加深学生对原有“探索”的认识。可见,通过本题练习,学生就能够巩固原来关于圆面积计算的探索方法。
同时,要加强所编习题的变式训练,以便让学生更好地把握住问题的实质,提高思维的灵活性。例如,圆面积计算题可以如下变化:(1)把一个圆沿着它的直径剪开,分成128等份,拼成一个近似长方形,周长增加了8厘米,这个圆的周长大约是多少厘米?(2)把一个周长是12.56厘米的圆沿着它的直径剪开,分成32等份,拼成一个近似长方形,拼成的近似长方形的周长比圆的周长大约增加了多少厘米?
二、运用题组,积累探索经验
学生在学习新知时习得的探索方法,需要及时巩固,使之纳入自己的认知系统。同时要对以前相关的探索活动与方法进行比较、反思,从而积累探索经验。这就需要把一类相关的习题组合起来形成题组,让学生围绕核心问题进行深度探究,发现一些规律性的东西。
这种题组一般由3道习题构成:第1道习题是为巩固刚刚学过的新知设计的,第2道习题是为回顾复习与前一道习题相关的旧知而设计的,第3道习题是在前两题的基础上稍作拓展、引申形成的。教学的重点不是每道习题的解题思路与算法,也不是由这三道习题归纳出一般的、共同的算法,它应该是在探索算法的过程中形成的共性的东西,也就是把各自的探索方法进行比较、归纳,形成探索经验。
例如,在教完圆柱的侧面积计算后,可以设计如下题组:
先想一想怎样来获得圆柱、长方体、半圆柱各自的侧面积的计算方法,再列式解答。
(1)一种圆柱形状的罐头,底面直径1分米,高2分米。侧面围着一张商标纸,商标纸的面积大约是多少?
(2)一个长方体饼干盒,长17厘米,宽11厘米,高22厘米。如果在它的侧面贴一圈商标纸,这张商标纸的面积至少有多少平方厘米?
(3)计算左边半圆柱模型的侧面积。(单位:厘米)
其中,第1题是仿照例题改编的;第2题是一道做过的旧题;第3题是根据与教材配套的《补充习题》第19页第5题改编的。
在学习长方体、正方体表面积时,学生通过拿一个长方体、正方体纸盒,沿着一些棱剪开得到展开图来探索并获得它们的表面积计算方法,积累了一定的学习经验。在学习圆柱侧面积时,学生结合具体的情境,通过将罐头盒的商标纸展开,探索并获得圆柱侧面积的算法。两者既有联系,又有区别。通过这一组题的探索,学生不仅学会了一般意义上的柱体的侧面积计算,而且巩固了探索这一类柱体侧面积计算的方法,即把侧面沿着高剪开,展开后铺平形成长方形。
三、转换题型,确立探索思路
一些看似需用公式、法则、定律来计算的常规性习题,凭学生实际的知识、技能与经验却无法用数学公式、法则、定律来直接解答,这种习题给学生提供了足够的探索线索与空间,而学生很少能根据自己的经验去发现探索思路。这就需要教师引导学生把它转换成探索性习题。
转换一道习题的题型,使之成为探索性习题,其本身只是解题意识问题,并不需要很强的技巧。因此,学生稍加训练,形成习惯就行了。一般地,可以让学生进行一系列联想,找到问题的突破口,形成数学猜想,再逐步进行验证,最终解决问题。
例如这样一题:一个等边三角形边长增加了,面积增加了。由于学生只能使用三角形面积公式来求面积,而他们不会已知等边三角形的边长求面积,更不知道一个等边三角形边长增加了,它的高也增加了。因此,可以作如下改编:
(1)一个正方形边长增加了,面积增加了。
(2)一个长方形边长增加了,面积增加了。
(3)一个直角三角形边长增加了,面积增加了。
(4)猜想:一个等边三角形边长增加了,面积增加了。
学生通过画图(见图1～图4)可知:面积增加了++=。这样,让学生由所求的等边三角形问题联想到正方形问题,再想到长方形问题、直角三角形问题,最终形成了等边三角形问题的解决思路。教师引导学生对探索的过程进行反思,从而完善和发展了学生的解题策略。
总之,教师有针对性地开发习题资源,引领学生进行探索,学生巩固的不只是数学知识与方法,更重要的是巩固了所学的探索方法。引导学生对习题本身进行考察,从而发现更为丰富的探索性问题,有利于增强他们自主探索的意识。
(江苏省宜兴市新建小学 214200)