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小清来找Z老师，对一道中考试题的解有不同的看法.这是2006年内江市的一道中考试题[注]：某广告公司准备设计形状为梯形的广告牌，要求梯形的四条边长分别为1米、4米、4米、5米，则该广告牌的面积为____平方米.提供的答案是6 .
小清说：当上、下底分别为1米、5米时，这是一个腰长为4的等腰梯形，它的面积是6 平方米.但我可以搭成另一个梯形，它的上、下底分别为1米、4米，两腰长为4米、5米，这是一个直角梯形，与题意不矛盾，而它的面积是10平方米.因此本题应有两解，该书所提供的答案不完整.
Z老师说：你在研究中考题时，不迷信提供的答案，勤于思考，这种精神值得倡导.本题是否还有其它解呢？
小清说：我只是觉得四条边构成一个梯形的可能性较多，试一试，发现还有另一种情况存在，没有作进一步的探究.
Z老师说：在解决有关梯形的问题时，常将它化归为三角形的问题，如图1，若选定两线段为底，这两条线段的差与余下的两条线段若能构成三角形,那么这四条线段就能构成梯形.因此构成梯形的问题的实质是构成三角形.
第一种情况，选1、4为底，其差为4-1=3，另外两条线段长是4、5，因为3+4＞5，能构成三角形，这就是你发现的第二解的情况；第二种情况，选1、5为底，其差是5-1=4，另外两条线段长是4、4，因为4+4＞4，能构成三角形，这就是参考书所提供解的情况；第三种情况，选4、5为底，两底的差为5-4
=1，另外两条线段的长为1、4，因为1+1＜4，不能构成三角形.
小清插话说：还有第四种情况，选4、4为底.
Z老师说：请你想一想，什么叫梯形？
小清顿悟，说：这种情况不需要考虑.（为什么？请你思考.）
Z老师说：现在我们可以断言，本题有且仅有两解.由于各种情况的讨论都类同，我设计了如下的表格，直接填写，既方便又准确.
下面请你解一道题：用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值是______ .
小清想了想，列表如下：
中位线的长的最大值是10.5.
Z老师说：你做得很好.但我有一点建议，本题是求中位线长的最大值，因此对于后两种情况，其实可不予考虑.因为能否构成梯形都已不影响本题的结果.
构成多边形的问题，通常转化为构成三角形的问题.不妨再看一道题：一个四边形各边长都是整数，且它的任意三条边都不能构成三角形，求这个四边形周长的最小值.
小明沉思了一会，说：边长为整数的四边形周长的最小值是4，即边长为1的正方形，但三条边1，1，1，能构成三角形，不合题意.因此设第三条边长为x，与前两条边不能构成三角形，所以有1+1≤x，即x≥2，x应是大于或等于2的整数，取其最小值2.同理，对于第四条边y，应满足1+2≤y，即y≥3，取最小值3.这时四边形的周长为1+1+2+3=7，这就是所求的周长的最小值.
Z老师说：你注意考虑极端情况，并逐步调整，分析得很透彻.请问满足条件的四边形有多少个？
小清说：应该有无数个，这是由于四边形的不稳定性.
Z老师说：对.下面再请你考虑一个问题：一个四边形的四条边长都是整数，由小到大依次为5、6、11、x，且它的任意三条边都不能构成三角形，求x的取值范围.
小清说：因为5+6=11，所以5、6、11不能构成三角形，x为最大边，只要6
+11≤x，即x≥17.那么x与这三边中的任意两边都不能构成三角形.
小清停了停，心想难道x的取值范围就是大于或等于17的整数？问题会这样简单吗？不可能.小清在纸上画了画，原来如此！小清接着说：由于x还必须满足x＜5+6+11即x＜22，所以本题x的取值应为17，18，19，20，21.
Z老师说：由于两点之间以连结这两点的线段为最短，所以多边形的任意一边都小于其余各边的和，在构成多边形的问题中这是要特别注意的.
望着小清期待的目光，Z老师说：我再请你思考一道题：一个六边形的周长是24，各边长是整数，且任意三条边都不能构成三角形，这样的六边形存在吗？若存在，有多少个不同的六边形？（六条边长都相同，视作相同的六边形.）
小清在纸上排了一下，1、1、2、3、5、8，这六个数的和是20，不合题意.若将8改为12，虽然各边的和为24，但1+1+2+3+5=12，又不合题意.满足题意的六边形是否不存在？
看着小清的计算，望着小清迟疑的神态，Z老师说：你从周长最小的六边形着手，调整最大边的长度，这是对的.为什么其它边的长度不能调整呢？
小清将次大边长由5改为6，最大边长为11，六条边长为1、1、2、3、6、11，符合题意；由5改为7，最大边长为10，六条边长为1、1、2、3、7、10，也符合题意；由5改为8，最大边长为9，六条边长为1、1、2、3、8、9，由于3+8＞9，这三条边能构成三角形，不合题意.
接着小清又将第四条边长3改为4，得：1、1、2、4、6、10，也符合题意.而1、1、2、4、7、9则不合题意.将第三条边长由2调整为3，得：1、1、3、4、7、11，六边形周长的最小值是27，已超过24.因此，符合题意的六边形有3个，它们的边长分别为1、1、2、3、6、11；1、1、2、3、7、10；1、1、2、4、6、10.
[注]《2006年全国中考试卷汇编》第48页.中国少年儿童出版社.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
小清说：当上、下底分别为1米、5米时，这是一个腰长为4的等腰梯形，它的面积是6 平方米.但我可以搭成另一个梯形，它的上、下底分别为1米、4米，两腰长为4米、5米，这是一个直角梯形，与题意不矛盾，而它的面积是10平方米.因此本题应有两解，该书所提供的答案不完整.
Z老师说：你在研究中考题时，不迷信提供的答案，勤于思考，这种精神值得倡导.本题是否还有其它解呢？
小清说：我只是觉得四条边构成一个梯形的可能性较多，试一试，发现还有另一种情况存在，没有作进一步的探究.
Z老师说：在解决有关梯形的问题时，常将它化归为三角形的问题，如图1，若选定两线段为底，这两条线段的差与余下的两条线段若能构成三角形,那么这四条线段就能构成梯形.因此构成梯形的问题的实质是构成三角形.
第一种情况，选1、4为底，其差为4-1=3，另外两条线段长是4、5，因为3+4＞5，能构成三角形，这就是你发现的第二解的情况；第二种情况，选1、5为底，其差是5-1=4，另外两条线段长是4、4，因为4+4＞4，能构成三角形，这就是参考书所提供解的情况；第三种情况，选4、5为底，两底的差为5-4
=1，另外两条线段的长为1、4，因为1+1＜4，不能构成三角形.
小清插话说：还有第四种情况，选4、4为底.
Z老师说：请你想一想，什么叫梯形？
小清顿悟，说：这种情况不需要考虑.（为什么？请你思考.）
Z老师说：现在我们可以断言，本题有且仅有两解.由于各种情况的讨论都类同，我设计了如下的表格，直接填写，既方便又准确.
下面请你解一道题：用四条线段a=14,b=13,c=9,d=7作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值是______ .
小清想了想，列表如下：
中位线的长的最大值是10.5.
Z老师说：你做得很好.但我有一点建议，本题是求中位线长的最大值，因此对于后两种情况，其实可不予考虑.因为能否构成梯形都已不影响本题的结果.
构成多边形的问题，通常转化为构成三角形的问题.不妨再看一道题：一个四边形各边长都是整数，且它的任意三条边都不能构成三角形，求这个四边形周长的最小值.
小明沉思了一会，说：边长为整数的四边形周长的最小值是4，即边长为1的正方形，但三条边1，1，1，能构成三角形，不合题意.因此设第三条边长为x，与前两条边不能构成三角形，所以有1+1≤x，即x≥2，x应是大于或等于2的整数，取其最小值2.同理，对于第四条边y，应满足1+2≤y，即y≥3，取最小值3.这时四边形的周长为1+1+2+3=7，这就是所求的周长的最小值.
Z老师说：你注意考虑极端情况，并逐步调整，分析得很透彻.请问满足条件的四边形有多少个？
小清说：应该有无数个，这是由于四边形的不稳定性.
Z老师说：对.下面再请你考虑一个问题：一个四边形的四条边长都是整数，由小到大依次为5、6、11、x，且它的任意三条边都不能构成三角形，求x的取值范围.
小清说：因为5+6=11，所以5、6、11不能构成三角形，x为最大边，只要6
+11≤x，即x≥17.那么x与这三边中的任意两边都不能构成三角形.
小清停了停，心想难道x的取值范围就是大于或等于17的整数？问题会这样简单吗？不可能.小清在纸上画了画，原来如此！小清接着说：由于x还必须满足x＜5+6+11即x＜22，所以本题x的取值应为17，18，19，20，21.
Z老师说：由于两点之间以连结这两点的线段为最短，所以多边形的任意一边都小于其余各边的和，在构成多边形的问题中这是要特别注意的.
望着小清期待的目光，Z老师说：我再请你思考一道题：一个六边形的周长是24，各边长是整数，且任意三条边都不能构成三角形，这样的六边形存在吗？若存在，有多少个不同的六边形？（六条边长都相同，视作相同的六边形.）
小清在纸上排了一下，1、1、2、3、5、8，这六个数的和是20，不合题意.若将8改为12，虽然各边的和为24，但1+1+2+3+5=12，又不合题意.满足题意的六边形是否不存在？
看着小清的计算，望着小清迟疑的神态，Z老师说：你从周长最小的六边形着手，调整最大边的长度，这是对的.为什么其它边的长度不能调整呢？
小清将次大边长由5改为6，最大边长为11，六条边长为1、1、2、3、6、11，符合题意；由5改为7，最大边长为10，六条边长为1、1、2、3、7、10，也符合题意；由5改为8，最大边长为9，六条边长为1、1、2、3、8、9，由于3+8＞9，这三条边能构成三角形，不合题意.
接着小清又将第四条边长3改为4，得：1、1、2、4、6、10，也符合题意.而1、1、2、4、7、9则不合题意.将第三条边长由2调整为3，得：1、1、3、4、7、11，六边形周长的最小值是27，已超过24.因此，符合题意的六边形有3个，它们的边长分别为1、1、2、3、6、11；1、1、2、3、7、10；1、1、2、4、6、10.
[注]《2006年全国中考试卷汇编》第48页.中国少年儿童出版社.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文