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一、 指导思想与理论依据
理解算理，便于灵活、简便地进行计算。
《小学数学课程标准（2011版）》指出：“对运算的基础知识不仅应‘知其然’，更应‘知其所以然’，学生只有理解了计算中的道理，才能够理解和掌握计算方法，才能正确地、迅速地运算。”算理需要多种方式帮助学生理解，而模型就是孩子能够随身带着走的支撑他数学思考的一个脚手架。因此，计算教学时应让学生能够充分理解运算本身的算理，然后在此基础上再进行算法的提炼和内化。
二、 教材分析
（一） 纵向分析
1.从知识结构看
通过梳理小学阶段学生学习乘法的历程可以看出：
（1） 一是学生是在理解乘法意义、掌握乘法口诀的基础上进行两位数乘一位数的口算方法的学习的，而口算的方法又是学习笔算乘法的重要基础。因此，直观理解乘法的算法和算理是本内容的重点，也是难点。
（2） 二是本节课是嫁接乘法口诀与笔算乘法的桥梁，解决了口诀以外可以继续口算乘法的重要内容，更是今后学习笔算乘法的运算技能的基础。因此，让学生掌握口算的方法尤为重要。而这个过程，需要建立在充分理解算理的基础上。
数学家华罗庚曾经说过：“数无形时少直觉。”通过梳理小学阶段学习乘法过程中所使用的模型不难发现，在第一学段进行整数乘法学习的过程中，使用的都是实物模型和直观模型，例如糖块、人民币、点子图等，它们能够直观、清晰的帮助低年级学生理解算理，且便于操作。
本课教学内容是在乘法学习过程中第一次使用人民币作为实物模型，我想这是由于人民币比其他实物模型更具有现实意义，与学生的生活实际联系的最为紧密。在学生理解12×3这样极为抽象的运算表达时，可以通过人民币这种直观且熟悉的实物模型来理解算理。此外，在学习口算乘法之前，学生也可以利用拆分的方法进行计算，但各种算法的背后都是依托于十进位值制的。人民币这一实物模型正好可以将各种算法紧密联系起来，帮助学生进一步理解乘法算理。可以说实物模型在直观与抽象，个性化表达与正规口算之间架起了桥梁。
（一） 横向分析
我横向对比了国内三个版本的教材，发现有以下相同之处：一是都以解决生活中的实际问题为载体，在解决问题的过程中理解两位数乘一位数的算理。二是都从乘法的意义入手，抓住求相同加数和这一乘法的本质，沟通乘法与加法的联系，从而理解算理。但这三个版本的教材又存在着明显的差异。
（1） 相同之处：一是都以解决生活中的实际问题为载体，在解决问题的过程中理解两位数乘一位数的算理。二是都从乘法的意义入手，抓住求相同加数和这一乘法的本质，沟通乘法与加法的联系，从而理解算理。
不同之处：北师版和人教版都采用实物模型给孩子以“形”的支撑，使得原本枯燥、抽象的数变得形象而具体。北师版教材除了提供人民币这一实物模型，还提供了点子图和“表格”来帮助学生进一步理解算理。
一、 学生分析
（一）第一次调研
调研对象：北京市海淀区第二实验小学 三（2）班、三（9）班 共84人
调研题目：一辆小汽车12元，买3辆小汽车多少元？
调研目的：一是了解学生口算方法的掌握情况及思考路径。
二是是否能使用模型支撑算理及选用何种模型。
调研结果：正确率97.8%。学生采用方法（如下）。
结果呈现：
调研分析1：（关于方法及思考路径的分析）
（1） 得到正确的计算结果不困难。
（2） 算法丰富、多样。
算法多样，结果正确，那么他们是怎么想到这个方法的？他的思考路径是什么呢？我又对学生进行了访谈，通过对访谈结果的进一步分析，发现学生的思考路径可以分为两类。
一是从运算的意义角度。这种路径是通过建立乘法与加法的关系来解决问题。二是数的认识角度。这种路径是学生对12这个数的认识很灵活，可以把12看成10和2，3x4等，将新问题转化为旧知识来解决。
乘法是这样，那么除法呢？整数运算是这样，那小数、分数运算呢？于是我又对三年级、四年级和五年级的部分学生进行了调研。
结果发现：仍然是这两个角度进行思考的。
由此看出，即使运算方法和数域都发生变化时，学生仍然可以从运算意义和数的认识这两个角度出发得到结果，因此这两条思考路径也可以成为学生解决运算困难的突破口。
调研分析2：（关于模型支撑的分析）
② 三是选用的模型有4种，人民币、图形、计数器和数线。
四是在对只通过计算得到结果的21个学生进行访谈后得知，有47.6%学生不能建立模型与算式的联系。可见，在他们的头脑中，直观的模型与抽象的算式是孤立存在的。
五是使用点子图的学生数是0，这令我很困惑。“点子图”从学生学习乘法就开始就使用了，而且教材还在二年级安排了“点子图”这一教学内容，但为什么学生不愿意使用呢？而且既然学生不愿意用，教材又为什么非要安排呢？
在与学生的访谈中我找到了答案。首先，学生不用“点子图”是因为没有想到，因为“点子图”是从他们开始学习乘法时才逐步渗透使用的，而像计数器、和数线则是在学习运算时一直使用的。那么“点子图”到底有什么用呢？在与四年级学生的访谈中，孩子们告诉我：点子图能清楚、方便地看出14x12是怎么拆分的，哪几部分积的和。看来，“点子图”在支撑复杂乘法运算的算理时具有简洁，清楚的优势。
不进位乘法的理解是这样，那么进位乘法又是怎样的呢？我进行了第二次调研。
（二）第二次调研题目：18x4
调研结果与12x3的相似度极高，正确率仍然是97.8%，思考路径依然是2个。 通过18x4等于72中得70是怎么来的访谈，学生能够清楚地描述出结果中的7个十是由4个十与8x4中的三个十合起来得到的。可见，进位与不进位的乘法口算对学生来说没有什么区别。
调研后的思考：
1、第一次调研后就有97.8%的正确率，并能使用多种算法，其实每种算法的背后都是学生对旧知的理解，但这节课的学习，仅仅停留在“会”这一层面上吗？我们的目的不仅仅是算法多样化，而是找到各种算法之间的相同的本质属性，挖掘思考的路径，打通各种模型间的联系进而理解运算的本质。
2、算理与算法之间是紧密联系着的，在教学过程中做到理中有法，法中讲理，达到二者的有机融合。
四、教学目标
1、通过解决“3个游泳圈共多少元”的问题，在算法多样化的基础上，借助模型支撑，帮助学生理解两位数乘一位数口算的算理，并能正确进行计算。
2、在建立多种算法联系的过程中，体会运算的两个思维路径即运算意义角度和数的认识角度，使学生学会思考。
3、在解决简单问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
五、教学重点
借助模型，理解算理，体会运算过程中的两个思考路径。
六、教学难点
在找联系和转化的过程中，数形结合，理解算理。
七、教学过程
（一）创设情境，提出问题
1.出示图：假期3位好朋友来到了美丽的海边，可是却忘记带游泳用品，他们来到了卖物品的地方，从图中你知道了什么数学信息？你能提出什么数学问题？
这么多问题中我们先一起来来解决买3个游泳圈要多少元？
2.列式：为什么要这样列式？这个算式表示什么意思 ？
预设：学生很快说出36元。
过渡：你们很快就知道了买3个游泳圈用36元那你是怎么想的呢？
设计意图：结合学生熟悉的生活情境，激发学生的问题意识。
活动二：自主探究初步感受乘法算理
（二）探究新知，理解算理
活动一：自主探究初步感受乘法算理
1.学生尝试解决，记下思考的过程
（老师提前为有困难的同学准备实物模型：人民币）
2.全班同学反馈
预设：①12+12+12=36
②2×3= 6 10×3=30 30+6=36
提出问题：同学们用了这么多的方法记录了12×3的计算过程，你能看懂吗？有什么疑问？
预设：（1）学生提出为什么3×6= 18 3×6=18 18+18=36这是怎么回事？（先放在问题银行）
（2）⑨方法是怎么算的？学生进行方法的解读，生生之间进行交流：3个10是从哪来的？为什么会有3个10？在交流的过程中理解12×3就可以分为3个10和3个2的积的和。
3.将用圆圈图记录12×3的计算过程的圆圈图抽象成点子图，回顾用点子图记录几个几的过程
活动二：运用点子图进一步理解乘法算理
1.2人讨论如何在12×3的点子图上表示6×3=18 6×3=18 18+18=36吗？
2.反馈
追问：你为什么这么画呢？
3.小结：把12×3分成了两部分，每部分都是3个6的和，再把这两部分合在一起就是12×3的积。
4.你还有其它的想法吗？
5.全班汇报：
6.沟通点子图之间的关系
同样是用点子图记录了12×3的计算过程有什么相同点？
预设：先分块再求积，最后把积相加。
设计意图：通过将“点子图”拆分的过程，帮助学生理解乘法算理的本质：把整体“分块”求积，再求这些积的和。
活动三：建立点子图与表格之间的联系
1.你能看懂下面的方法吗？
2.这种方法与前面我们所用的表达方法那个相同？你从哪看出来的？
设计意图：借助实物模型和直观模型关联多种算法之间的内在联系，体现位值的思想，为乘法竖式奠定基础。
1. 那你还能将刚才在点子图上记录12×3的计算过程用表格表示吗？
2. 表格法与点子图法有什么相同？运用表格法和点子图法时你有什么要和同学们说的吗？
3. 小结：两位数乘一位数时可以先将整体分成几块求积，再求和。
设计意图：沟通表格法与点子图方法之间的关系，使学生更进一步理解乘法的意义和算理。
（三）拓展延伸，深化认识
小皮划艇的价钱是皮球的4倍，一个小皮划艇多少钱？
学生自主选择方法
设计意图：通过方法的自主选择，尊重学生的思维，使学生在解决问题的过程中进一步理解算理，掌握算法，理解方法的择优。
八、教学特色
1.以学生为中心，关注学生的学习路径
新课程的核心理念是为了每一位学生的发展。关注学生的学习路径，学习状态，是促进学生发展的有效途径。
本节课，学生在解决12x3的过程中，会计算出正确的结果，并能采用多种算法来解决问题。不同算法的背后代表着学生不同的理解，多样化不是目的，多样是为了找到算法之间的联系，于是我设计了“哪几种方法之间有联系呢？有什么样的联系呢？”这样的问题。学生在不断分类和寻找多种算法联系的过程中，逐步辨析出两种思维路径，一种是这几个方法所体现出的将乘法转化为加法的这种从运算角度思考的路径。另一种是将“12”进行拆分的从数的认识的角度思考的路径。本课教学充分的关注了学生的思维路径，提升了学生的学习品质。
同时，本节课借助几何直观，从实物模型到直观模型，帮助学生理解算理，即关于什么是运算以及使运算可执行的道理，在此基础上寻求算法的多样化，这是运算能力的内涵。通过丰富模型的支撑，揭示知识的本质和关系，使学生直观的理解算理，特别是点子图与各种模型之间的勾连，加深了学生对于算理本质的认识，同时也为学生今后研究更复杂的乘法运算问题时渗透了更为有效的模型帮助支撑算理。所以在运算能力的实现过程中，本课教学是基于算理，基于学生对算理的理解去进行。
2.以课堂交流为中心，关注学生的思维能力
因为生活背景、思维方式和个性的差异等方面的原因，致使学生在面对相同的问题时会产生不同的解题策略，这种差异就是算法多样化的理论基础。学生在独立思考阶段，思维已经启动，他们用自己的方式进行着理解。课堂教学要尊重这种差异，并能在生生之间，师生之间的不断交流的过程中理解并沟通不同的思维方式，体会算法的多样化。
现在的数学课堂，教师不再是知识的传授者，而应成为学生学习活动的促进者，也就是数学学习的组织者、引导者和合作者，作为教师我们要改变自己的角色意识，将学习的主动权、时间、尽可能交给孩子们，让学生走上讲台，组织学生们进行互动交流，教师适时地指导。
本节课我进行了充分的前测，找到了学生认知的起点和已有的知识经验基础，在课堂上我力争创设适合学生思维发展的情境，让学生走上讲台，进行互动交流，老师只是交流中的一个参与者。但是老师并不是不管，而是把控全局适时地进行引导。像两条思维路径的感悟，点子图的异同，多种模型的勾连，点子图与表格的转化等都是让学生自主辨析，自主反思，进而达到知识的内化。
理解算理，便于灵活、简便地进行计算。
《小学数学课程标准（2011版）》指出：“对运算的基础知识不仅应‘知其然’，更应‘知其所以然’，学生只有理解了计算中的道理，才能够理解和掌握计算方法，才能正确地、迅速地运算。”算理需要多种方式帮助学生理解，而模型就是孩子能够随身带着走的支撑他数学思考的一个脚手架。因此，计算教学时应让学生能够充分理解运算本身的算理，然后在此基础上再进行算法的提炼和内化。
二、 教材分析
（一） 纵向分析
1.从知识结构看
通过梳理小学阶段学生学习乘法的历程可以看出：
（1） 一是学生是在理解乘法意义、掌握乘法口诀的基础上进行两位数乘一位数的口算方法的学习的，而口算的方法又是学习笔算乘法的重要基础。因此，直观理解乘法的算法和算理是本内容的重点，也是难点。
（2） 二是本节课是嫁接乘法口诀与笔算乘法的桥梁，解决了口诀以外可以继续口算乘法的重要内容，更是今后学习笔算乘法的运算技能的基础。因此，让学生掌握口算的方法尤为重要。而这个过程，需要建立在充分理解算理的基础上。
数学家华罗庚曾经说过：“数无形时少直觉。”通过梳理小学阶段学习乘法过程中所使用的模型不难发现，在第一学段进行整数乘法学习的过程中，使用的都是实物模型和直观模型，例如糖块、人民币、点子图等，它们能够直观、清晰的帮助低年级学生理解算理，且便于操作。
本课教学内容是在乘法学习过程中第一次使用人民币作为实物模型，我想这是由于人民币比其他实物模型更具有现实意义，与学生的生活实际联系的最为紧密。在学生理解12×3这样极为抽象的运算表达时，可以通过人民币这种直观且熟悉的实物模型来理解算理。此外，在学习口算乘法之前，学生也可以利用拆分的方法进行计算，但各种算法的背后都是依托于十进位值制的。人民币这一实物模型正好可以将各种算法紧密联系起来，帮助学生进一步理解乘法算理。可以说实物模型在直观与抽象，个性化表达与正规口算之间架起了桥梁。
（一） 横向分析
我横向对比了国内三个版本的教材，发现有以下相同之处：一是都以解决生活中的实际问题为载体，在解决问题的过程中理解两位数乘一位数的算理。二是都从乘法的意义入手，抓住求相同加数和这一乘法的本质，沟通乘法与加法的联系，从而理解算理。但这三个版本的教材又存在着明显的差异。
（1） 相同之处：一是都以解决生活中的实际问题为载体，在解决问题的过程中理解两位数乘一位数的算理。二是都从乘法的意义入手，抓住求相同加数和这一乘法的本质，沟通乘法与加法的联系，从而理解算理。
不同之处：北师版和人教版都采用实物模型给孩子以“形”的支撑，使得原本枯燥、抽象的数变得形象而具体。北师版教材除了提供人民币这一实物模型，还提供了点子图和“表格”来帮助学生进一步理解算理。
一、 学生分析
（一）第一次调研
调研对象：北京市海淀区第二实验小学 三（2）班、三（9）班 共84人
调研题目：一辆小汽车12元，买3辆小汽车多少元？
调研目的：一是了解学生口算方法的掌握情况及思考路径。
二是是否能使用模型支撑算理及选用何种模型。
调研结果：正确率97.8%。学生采用方法（如下）。
结果呈现：
调研分析1：（关于方法及思考路径的分析）
（1） 得到正确的计算结果不困难。
（2） 算法丰富、多样。
算法多样，结果正确，那么他们是怎么想到这个方法的？他的思考路径是什么呢？我又对学生进行了访谈，通过对访谈结果的进一步分析，发现学生的思考路径可以分为两类。
一是从运算的意义角度。这种路径是通过建立乘法与加法的关系来解决问题。二是数的认识角度。这种路径是学生对12这个数的认识很灵活，可以把12看成10和2，3x4等，将新问题转化为旧知识来解决。
乘法是这样，那么除法呢？整数运算是这样，那小数、分数运算呢？于是我又对三年级、四年级和五年级的部分学生进行了调研。
结果发现：仍然是这两个角度进行思考的。
由此看出，即使运算方法和数域都发生变化时，学生仍然可以从运算意义和数的认识这两个角度出发得到结果，因此这两条思考路径也可以成为学生解决运算困难的突破口。
调研分析2：（关于模型支撑的分析）
② 三是选用的模型有4种，人民币、图形、计数器和数线。
四是在对只通过计算得到结果的21个学生进行访谈后得知，有47.6%学生不能建立模型与算式的联系。可见，在他们的头脑中，直观的模型与抽象的算式是孤立存在的。
五是使用点子图的学生数是0，这令我很困惑。“点子图”从学生学习乘法就开始就使用了，而且教材还在二年级安排了“点子图”这一教学内容，但为什么学生不愿意使用呢？而且既然学生不愿意用，教材又为什么非要安排呢？
在与学生的访谈中我找到了答案。首先，学生不用“点子图”是因为没有想到，因为“点子图”是从他们开始学习乘法时才逐步渗透使用的，而像计数器、和数线则是在学习运算时一直使用的。那么“点子图”到底有什么用呢？在与四年级学生的访谈中，孩子们告诉我：点子图能清楚、方便地看出14x12是怎么拆分的，哪几部分积的和。看来，“点子图”在支撑复杂乘法运算的算理时具有简洁，清楚的优势。
不进位乘法的理解是这样，那么进位乘法又是怎样的呢？我进行了第二次调研。
（二）第二次调研题目：18x4
调研结果与12x3的相似度极高，正确率仍然是97.8%，思考路径依然是2个。 通过18x4等于72中得70是怎么来的访谈，学生能够清楚地描述出结果中的7个十是由4个十与8x4中的三个十合起来得到的。可见，进位与不进位的乘法口算对学生来说没有什么区别。
调研后的思考：
1、第一次调研后就有97.8%的正确率，并能使用多种算法，其实每种算法的背后都是学生对旧知的理解，但这节课的学习，仅仅停留在“会”这一层面上吗？我们的目的不仅仅是算法多样化，而是找到各种算法之间的相同的本质属性，挖掘思考的路径，打通各种模型间的联系进而理解运算的本质。
2、算理与算法之间是紧密联系着的，在教学过程中做到理中有法，法中讲理，达到二者的有机融合。
四、教学目标
1、通过解决“3个游泳圈共多少元”的问题，在算法多样化的基础上，借助模型支撑，帮助学生理解两位数乘一位数口算的算理，并能正确进行计算。
2、在建立多种算法联系的过程中，体会运算的两个思维路径即运算意义角度和数的认识角度，使学生学会思考。
3、在解决简单问题的过程中，感受数学与生活的密切联系，激发学习数学的兴趣。
五、教学重点
借助模型，理解算理，体会运算过程中的两个思考路径。
六、教学难点
在找联系和转化的过程中，数形结合，理解算理。
七、教学过程
（一）创设情境，提出问题
1.出示图：假期3位好朋友来到了美丽的海边，可是却忘记带游泳用品，他们来到了卖物品的地方，从图中你知道了什么数学信息？你能提出什么数学问题？
这么多问题中我们先一起来来解决买3个游泳圈要多少元？
2.列式：为什么要这样列式？这个算式表示什么意思 ？
预设：学生很快说出36元。
过渡：你们很快就知道了买3个游泳圈用36元那你是怎么想的呢？
设计意图：结合学生熟悉的生活情境，激发学生的问题意识。
活动二：自主探究初步感受乘法算理
（二）探究新知，理解算理
活动一：自主探究初步感受乘法算理
1.学生尝试解决，记下思考的过程
（老师提前为有困难的同学准备实物模型：人民币）
2.全班同学反馈
预设：①12+12+12=36
②2×3= 6 10×3=30 30+6=36
提出问题：同学们用了这么多的方法记录了12×3的计算过程，你能看懂吗？有什么疑问？
预设：（1）学生提出为什么3×6= 18 3×6=18 18+18=36这是怎么回事？（先放在问题银行）
（2）⑨方法是怎么算的？学生进行方法的解读，生生之间进行交流：3个10是从哪来的？为什么会有3个10？在交流的过程中理解12×3就可以分为3个10和3个2的积的和。
3.将用圆圈图记录12×3的计算过程的圆圈图抽象成点子图，回顾用点子图记录几个几的过程
活动二：运用点子图进一步理解乘法算理
1.2人讨论如何在12×3的点子图上表示6×3=18 6×3=18 18+18=36吗？
2.反馈
追问：你为什么这么画呢？
3.小结：把12×3分成了两部分，每部分都是3个6的和，再把这两部分合在一起就是12×3的积。
4.你还有其它的想法吗？
5.全班汇报：
6.沟通点子图之间的关系
同样是用点子图记录了12×3的计算过程有什么相同点？
预设：先分块再求积，最后把积相加。
设计意图：通过将“点子图”拆分的过程，帮助学生理解乘法算理的本质：把整体“分块”求积，再求这些积的和。
活动三：建立点子图与表格之间的联系
1.你能看懂下面的方法吗？
2.这种方法与前面我们所用的表达方法那个相同？你从哪看出来的？
设计意图：借助实物模型和直观模型关联多种算法之间的内在联系，体现位值的思想，为乘法竖式奠定基础。
1. 那你还能将刚才在点子图上记录12×3的计算过程用表格表示吗？
2. 表格法与点子图法有什么相同？运用表格法和点子图法时你有什么要和同学们说的吗？
3. 小结：两位数乘一位数时可以先将整体分成几块求积，再求和。
设计意图：沟通表格法与点子图方法之间的关系，使学生更进一步理解乘法的意义和算理。
（三）拓展延伸，深化认识
小皮划艇的价钱是皮球的4倍，一个小皮划艇多少钱？
学生自主选择方法
设计意图：通过方法的自主选择，尊重学生的思维，使学生在解决问题的过程中进一步理解算理，掌握算法，理解方法的择优。
八、教学特色
1.以学生为中心，关注学生的学习路径
新课程的核心理念是为了每一位学生的发展。关注学生的学习路径，学习状态，是促进学生发展的有效途径。
本节课，学生在解决12x3的过程中，会计算出正确的结果，并能采用多种算法来解决问题。不同算法的背后代表着学生不同的理解，多样化不是目的，多样是为了找到算法之间的联系，于是我设计了“哪几种方法之间有联系呢？有什么样的联系呢？”这样的问题。学生在不断分类和寻找多种算法联系的过程中，逐步辨析出两种思维路径，一种是这几个方法所体现出的将乘法转化为加法的这种从运算角度思考的路径。另一种是将“12”进行拆分的从数的认识的角度思考的路径。本课教学充分的关注了学生的思维路径，提升了学生的学习品质。
同时，本节课借助几何直观，从实物模型到直观模型，帮助学生理解算理，即关于什么是运算以及使运算可执行的道理，在此基础上寻求算法的多样化，这是运算能力的内涵。通过丰富模型的支撑，揭示知识的本质和关系，使学生直观的理解算理，特别是点子图与各种模型之间的勾连，加深了学生对于算理本质的认识，同时也为学生今后研究更复杂的乘法运算问题时渗透了更为有效的模型帮助支撑算理。所以在运算能力的实现过程中，本课教学是基于算理，基于学生对算理的理解去进行。
2.以课堂交流为中心，关注学生的思维能力
因为生活背景、思维方式和个性的差异等方面的原因，致使学生在面对相同的问题时会产生不同的解题策略，这种差异就是算法多样化的理论基础。学生在独立思考阶段，思维已经启动，他们用自己的方式进行着理解。课堂教学要尊重这种差异，并能在生生之间，师生之间的不断交流的过程中理解并沟通不同的思维方式，体会算法的多样化。
现在的数学课堂，教师不再是知识的传授者，而应成为学生学习活动的促进者，也就是数学学习的组织者、引导者和合作者，作为教师我们要改变自己的角色意识，将学习的主动权、时间、尽可能交给孩子们，让学生走上讲台，组织学生们进行互动交流，教师适时地指导。
本节课我进行了充分的前测，找到了学生认知的起点和已有的知识经验基础，在课堂上我力争创设适合学生思维发展的情境，让学生走上讲台，进行互动交流，老师只是交流中的一个参与者。但是老师并不是不管，而是把控全局适时地进行引导。像两条思维路径的感悟，点子图的异同，多种模型的勾连，点子图与表格的转化等都是让学生自主辨析，自主反思，进而达到知识的内化。