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摘要 本文论述了利用高斯-克吕格投影族建立地方坐标系的原理及方法，阐述了建立地方坐标系的原因及与其地方坐标系建立方法的区别和联系，并通过实际应用进一步验证国家坐标系统与地方坐标系统之间可实现严密转换。
关键词 地方坐标系统；高斯-克吕格投影族；坐标转换
中图分类号：P282 文献标识码： A
1．前言
在城市测量或工程测量中，要求投影长度变形不大于一定的值（如《工程测量规范》、《城市测量规范》为2.5Cm/Km）。然而，采用国家坐标系统在许多情况（高海拔地区、离中央子午线较远地方等）不能满足这一要求，这就需要建立相应的地方坐标系。
常见建立地方坐标系的方法有传统的“一点一基线”的方法和变换椭球体的方法。上述两种方法在一定程度上都很好的解决了投影长度变形的问题，但也或多或少存在一些弊端。“一点一基线”的方法由于缺少严密的理论推导公式，因此不能充分利用国家大地控制点成果提高控制网的精度，不利于控制网延伸和扩展。变换椭球体的方法尽管有严密的换算公式，但由于参考椭球体与国家标准椭球体的相应参数发生了变化，实际已从根本上割裂了与国家统一坐标系的联系。另一方面，坐标转换时必须依赖数据源的空间三维坐标信息，一定程度上限制了转换数据的扩展应用。
建立高斯-克吕格投影族旨在保留高斯投影优点而减少长度变形，这一点与建立地方坐标系的目的是相符的。利用高斯-克吕格投影族建立的地方坐标系，可以方便地引用国家高等级控制资料进行联合平差，实现地方坐标系与国家坐标系之间的严密转换。
2．高斯-克吕格投影族建立地方坐标系方法
（1）高斯-克吕格投影族概念
高斯-克吕格投影族是概括依经线分带的一族横轴等角投影。它应满足的投影条件是：
1.中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的对称轴；
2.投影具有等角性质；
3.中央经线上的长度比。
有了这三个条件就可以建立投影族的坐标投影计算通用公式。我们知道，当时就是标准高斯-克吕格投影，当时就是横轴等角割圆柱投影，当 时就是双标准经线等角横圆柱投影。这些在很多教科书中有详细的论证，这里不再重复。那么当 时,是什么形式的投影？又有怎样的几何特性呢？下面就此展开论证。
（2）通用变换公式的推导
当时，相当于使横轴投影椭圆柱向外膨胀，且扁率保持不变。如下图所示：
由上图可知：
由子午平面坐标系同大地坐标系的关系可知
因此，。
由此可知，当标准椭球体上的 点按中心的方法到投影膨胀横轴投影圆柱上点时，大地坐标保持不变。因此可以导出如下特性：
按经差投影分带，根据高斯正算公式可以导出如下通用公式：
（3）式中 是从赤道开始的子午线弧长，可以看出=，符合正形投影条件。
（4）
根据（3）可以导出如下公式：
（3）应用于建立地方坐标
通过公式（5）可以确定这种变换是平面坐标的相似变换。变换后各点方位角保持不变，纵横坐标等比例变化。
关键的问题是如何确定。我们知道，投影变形主要由于以下两种因素引起的：
（1）实测边长归算到参考椭球面上的变形影响，归算边长的相对变形：
從上式可见， 是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是缩短的； 值与 成正比。
（2）将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响，其值为。投影边长的相对变形为：
从上式可见， 值总是正值，表明将椭球面上的长度投影到高斯面上，总是增大的；与平方成正比。
可以看出上述两种因素引起长度变形是反向的。有如下公式：
令，带入（6），（7）两式可得：
为测区平均横坐标。可见，抵偿面高程公式如下：
（8）
为测区平均高程，为抵偿面高程。将（8）代入（2）可导出
为保持相似变换中心在地面网大地原点上，并保证相似变换过程中坐标原点坐标一致。上述公式可变换为：
为坐标原点。
因此，当时，就是在某一纬度地区带有抵偿投影面的高斯正形投影平面直角坐标系。
3．与常见方法的联系与区别
常见的建立地方坐标系的方法有传统的“一点一基线”的方法和变换椭球体的方法。理论上将，传统的“一点一基线”方法是一种特定条件下的高斯-克吕格投影，可以说是高斯-克吕格投影族中投影方式的一种，它与本文介绍的方法主要区别在于地方坐标系控制网的建立方法和的计算和使用方法上的不同。首先，传统的“一点一基线”的方法在建立地方坐标系控制网时是以一个国家大地控制点和一条边的方位角作为起算数据，而本文方法是引用测区所有可用的国家大地控制点。其次，“一点一基线”方法是将观测边长投影到某特定面（测区平均高程面、抵偿面）上，而本文的方法是先将观测边长投影到标准椭球面上，而后再通过换算到抵偿面上。通过研究地方坐标通用坐标换算公式：
可以看出k 值的计算是依据测区平均高程抵偿面和参考椭球体平均曲率半径决定的。而本文的计算方法是：
当为一定时，便表现为B的函数。可见相对于k更能反映出不同维度的长度变形。
变换椭球体的方法也是为了减小投影变形，从而建立新的地方坐标系的参考椭球，并使其与投影面重合。 一般变换椭球体的方法是采用“椭球体膨胀法”，它约定新椭球体与标准椭球体的中心保持不变，三轴方向保持不变，椭球体长半轴 ，扁率保持不变。将起算控制点通过广义大地坐标微分公式化算至新椭球体上，将观测边长投影到新椭球面上，再通过高斯-克吕格投影变换建立地方坐标系。这种方法理论上尽管严密，但也存在着一些不足。具体如下：
1）相应起算点的大地坐标和平面坐标都发生了改变。这一点，不利于测绘成果统一管理和利用。
2）平面坐标之间的转换是非线性变化的，转换时必须依赖数据源的空间三维坐标信息，一定程度增加了数据转换复杂性。
3）由于参考椭球体与国家标准椭球体的相应参数发生了变化，理论上已割裂了与国家统一坐标系之间的内在联系。
4．实例
用此方法，我们基于公式（9）对乌鲁木齐地区25个四等三角点1954北京坐标系成果，在600米投影抵偿面上进行了投影换算。并且与1995乌鲁木齐GPS城市控制网（600米投影抵偿面）的对应成果进行了对比。1995乌鲁木齐城市坐标系是我院于1995年基于“一点一基线”的方法建立的城市坐标系，高程抵偿面选择的是600米平均高程抵偿面。通过对比分析可以得出如下结论：
（1）比差中误差较小，Y方向、X方向 。
（2）比差绝对值大小与距离原点距离大小成正比。
（3）比差误差椭圆具有一致的方向性。
结论（1）说明，“一点一基线”的方法建立的城市坐标系与本文推荐的方法一定程度上是等效的，而结论（2）和（3）说明比差结果符合“一点一方向”在建立控制网时的误差转播和分布规律。
5．结论
通过上述公式推导可以得出利用高斯-克吕格投影族建立的地方坐标系的一些特点：
（1）利用高斯-克吕格投影族建立的地方坐标系与国家坐标系间各点的地心向量保持不变。
（2）转换前后各点的大地坐标保持不变。
（3）平面坐标保持线型变化，各点大地方位角保持不变。
（4）平面坐标转换与高程系统分离。
利用高斯-克吕格投影族建立的地方坐标系可以实现地方坐标系与国家坐标系之间的严密转换。可以实现在统一的参考椭球体上不同投影参考面的坐标系系列。在扩展地区控制网时，可以方便的引用国家高等级控制资料进行联合平差。由于平面坐标保持线型变化，较易实现地方坐标系与国家统一坐标系程序转换。
【参考文献】
[1] 刘大杰，施一民，过静珺．全球定位系统（GPS）的原理与数据处理[M]．上海：同济大学出版社，1996．172-229．
[2] 李征航，黄劲松．GPS测量与数据处理[M]．武汉：武汉大学出版社，2005．156-181．
[3] 牛卓立，赖昌意．建立区域坐标系问题的讨论[J]．测绘工程，1998，7（4）：13-16．
[4] 鲍建宽．高斯平面坐标换算到测区平均高程面上的方法[J]．测绘工程，1997，6（3）：46-19．
[5] 邱云峰，倪津．不同投影归算面间的坐标换算[J]．测绘通报，2001，（9）：12-13．
[6] 冯林刚． GPS测量控制网纳入独立坐标系的方法[J]．地矿测绘，2000，（3）：6-8．
[7] 施一民，李健，周拥军，张文卿．地方独立坐标系的性质与区域性椭球面的确定[J]．测绘通报，2001，（9）：
作者简介：
杨 莉：毕业于长安大学，助理工程师，从事城市规划测量工作。
关键词 地方坐标系统；高斯-克吕格投影族；坐标转换
中图分类号：P282 文献标识码： A
1．前言
在城市测量或工程测量中，要求投影长度变形不大于一定的值（如《工程测量规范》、《城市测量规范》为2.5Cm/Km）。然而，采用国家坐标系统在许多情况（高海拔地区、离中央子午线较远地方等）不能满足这一要求，这就需要建立相应的地方坐标系。
常见建立地方坐标系的方法有传统的“一点一基线”的方法和变换椭球体的方法。上述两种方法在一定程度上都很好的解决了投影长度变形的问题，但也或多或少存在一些弊端。“一点一基线”的方法由于缺少严密的理论推导公式，因此不能充分利用国家大地控制点成果提高控制网的精度，不利于控制网延伸和扩展。变换椭球体的方法尽管有严密的换算公式，但由于参考椭球体与国家标准椭球体的相应参数发生了变化，实际已从根本上割裂了与国家统一坐标系的联系。另一方面，坐标转换时必须依赖数据源的空间三维坐标信息，一定程度上限制了转换数据的扩展应用。
建立高斯-克吕格投影族旨在保留高斯投影优点而减少长度变形，这一点与建立地方坐标系的目的是相符的。利用高斯-克吕格投影族建立的地方坐标系，可以方便地引用国家高等级控制资料进行联合平差，实现地方坐标系与国家坐标系之间的严密转换。
2．高斯-克吕格投影族建立地方坐标系方法
（1）高斯-克吕格投影族概念
高斯-克吕格投影族是概括依经线分带的一族横轴等角投影。它应满足的投影条件是：
1.中央经线和赤道投影后为相互垂直的直线，且为投影的对称轴；
2.投影具有等角性质；
3.中央经线上的长度比。
有了这三个条件就可以建立投影族的坐标投影计算通用公式。我们知道，当时就是标准高斯-克吕格投影，当时就是横轴等角割圆柱投影，当 时就是双标准经线等角横圆柱投影。这些在很多教科书中有详细的论证，这里不再重复。那么当 时,是什么形式的投影？又有怎样的几何特性呢？下面就此展开论证。
（2）通用变换公式的推导
当时，相当于使横轴投影椭圆柱向外膨胀，且扁率保持不变。如下图所示：
由上图可知：
由子午平面坐标系同大地坐标系的关系可知
因此，。
由此可知，当标准椭球体上的 点按中心的方法到投影膨胀横轴投影圆柱上点时，大地坐标保持不变。因此可以导出如下特性：
按经差投影分带，根据高斯正算公式可以导出如下通用公式：
（3）式中 是从赤道开始的子午线弧长，可以看出=，符合正形投影条件。
（4）
根据（3）可以导出如下公式：
（3）应用于建立地方坐标
通过公式（5）可以确定这种变换是平面坐标的相似变换。变换后各点方位角保持不变，纵横坐标等比例变化。
关键的问题是如何确定。我们知道，投影变形主要由于以下两种因素引起的：
（1）实测边长归算到参考椭球面上的变形影响，归算边长的相对变形：
從上式可见， 是负值，表明将地面实量长度归算到参考椭球面上，总是缩短的； 值与 成正比。
（2）将参考椭球面上的边长归算到高斯投影面上的变形影响，其值为。投影边长的相对变形为：
从上式可见， 值总是正值，表明将椭球面上的长度投影到高斯面上，总是增大的；与平方成正比。
可以看出上述两种因素引起长度变形是反向的。有如下公式：
令，带入（6），（7）两式可得：
为测区平均横坐标。可见，抵偿面高程公式如下：
（8）
为测区平均高程，为抵偿面高程。将（8）代入（2）可导出
为保持相似变换中心在地面网大地原点上，并保证相似变换过程中坐标原点坐标一致。上述公式可变换为：
为坐标原点。
因此，当时，就是在某一纬度地区带有抵偿投影面的高斯正形投影平面直角坐标系。
3．与常见方法的联系与区别
常见的建立地方坐标系的方法有传统的“一点一基线”的方法和变换椭球体的方法。理论上将，传统的“一点一基线”方法是一种特定条件下的高斯-克吕格投影，可以说是高斯-克吕格投影族中投影方式的一种，它与本文介绍的方法主要区别在于地方坐标系控制网的建立方法和的计算和使用方法上的不同。首先，传统的“一点一基线”的方法在建立地方坐标系控制网时是以一个国家大地控制点和一条边的方位角作为起算数据，而本文方法是引用测区所有可用的国家大地控制点。其次，“一点一基线”方法是将观测边长投影到某特定面（测区平均高程面、抵偿面）上，而本文的方法是先将观测边长投影到标准椭球面上，而后再通过换算到抵偿面上。通过研究地方坐标通用坐标换算公式：
可以看出k 值的计算是依据测区平均高程抵偿面和参考椭球体平均曲率半径决定的。而本文的计算方法是：
当为一定时，便表现为B的函数。可见相对于k更能反映出不同维度的长度变形。
变换椭球体的方法也是为了减小投影变形，从而建立新的地方坐标系的参考椭球，并使其与投影面重合。 一般变换椭球体的方法是采用“椭球体膨胀法”，它约定新椭球体与标准椭球体的中心保持不变，三轴方向保持不变，椭球体长半轴 ，扁率保持不变。将起算控制点通过广义大地坐标微分公式化算至新椭球体上，将观测边长投影到新椭球面上，再通过高斯-克吕格投影变换建立地方坐标系。这种方法理论上尽管严密，但也存在着一些不足。具体如下：
1）相应起算点的大地坐标和平面坐标都发生了改变。这一点，不利于测绘成果统一管理和利用。
2）平面坐标之间的转换是非线性变化的，转换时必须依赖数据源的空间三维坐标信息，一定程度增加了数据转换复杂性。
3）由于参考椭球体与国家标准椭球体的相应参数发生了变化，理论上已割裂了与国家统一坐标系之间的内在联系。
4．实例
用此方法，我们基于公式（9）对乌鲁木齐地区25个四等三角点1954北京坐标系成果，在600米投影抵偿面上进行了投影换算。并且与1995乌鲁木齐GPS城市控制网（600米投影抵偿面）的对应成果进行了对比。1995乌鲁木齐城市坐标系是我院于1995年基于“一点一基线”的方法建立的城市坐标系，高程抵偿面选择的是600米平均高程抵偿面。通过对比分析可以得出如下结论：
（1）比差中误差较小，Y方向、X方向 。
（2）比差绝对值大小与距离原点距离大小成正比。
（3）比差误差椭圆具有一致的方向性。
结论（1）说明，“一点一基线”的方法建立的城市坐标系与本文推荐的方法一定程度上是等效的，而结论（2）和（3）说明比差结果符合“一点一方向”在建立控制网时的误差转播和分布规律。
5．结论
通过上述公式推导可以得出利用高斯-克吕格投影族建立的地方坐标系的一些特点：
（1）利用高斯-克吕格投影族建立的地方坐标系与国家坐标系间各点的地心向量保持不变。
（2）转换前后各点的大地坐标保持不变。
（3）平面坐标保持线型变化，各点大地方位角保持不变。
（4）平面坐标转换与高程系统分离。
利用高斯-克吕格投影族建立的地方坐标系可以实现地方坐标系与国家坐标系之间的严密转换。可以实现在统一的参考椭球体上不同投影参考面的坐标系系列。在扩展地区控制网时，可以方便的引用国家高等级控制资料进行联合平差。由于平面坐标保持线型变化，较易实现地方坐标系与国家统一坐标系程序转换。
【参考文献】
[1] 刘大杰，施一民，过静珺．全球定位系统（GPS）的原理与数据处理[M]．上海：同济大学出版社，1996．172-229．
[2] 李征航，黄劲松．GPS测量与数据处理[M]．武汉：武汉大学出版社，2005．156-181．
[3] 牛卓立，赖昌意．建立区域坐标系问题的讨论[J]．测绘工程，1998，7（4）：13-16．
[4] 鲍建宽．高斯平面坐标换算到测区平均高程面上的方法[J]．测绘工程，1997，6（3）：46-19．
[5] 邱云峰，倪津．不同投影归算面间的坐标换算[J]．测绘通报，2001，（9）：12-13．
[6] 冯林刚． GPS测量控制网纳入独立坐标系的方法[J]．地矿测绘，2000，（3）：6-8．
[7] 施一民，李健，周拥军，张文卿．地方独立坐标系的性质与区域性椭球面的确定[J]．测绘通报，2001，（9）：
作者简介：
杨 莉：毕业于长安大学，助理工程师，从事城市规划测量工作。