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摘 要： 正确运用牛顿第二定律应注意它的适用范围，研究对象及受力分析，并画出草图，据具体情况建立坐标系，列出相应的方程。只有当系统中各物体具有共同加速度时，才可对系统整体运用牛顿第二定律。解题时要特别注意内力不能使系统产生加速度，同时必须用国际单位。
关键词： 牛顿第二定律 正确运用 适用范围 研究对象
牛顿通过精确实验得出的被称为牛顿第二定律的数学表达式是a=∑F/m。它具体而确切地向我们展示出力是使物体产生加速度的原因。
该定律的物理内容表明，对一定质量的物体来说，它所得到的加速度值和它所受的合外力的大小成正比，方向取合力的方向；而当施给不同物体相同的合外力时，它们的加速度值和物体的质量成反比。a=∑F/m表明力对物体的瞬时作用规律。
现结合实例谈谈正确运用牛顿第二定律应注意的几点：
1.先明确定律的适用范围：对宏观、低速的物体并在惯性参照系中研究问题。
2.必须用国际单位。
3.研究对象可以是单个物体也可以是物体系统。
4.对研究对象进行受力分析，把物体或物体系所受的力正确全部找出并画出草图。
5.依具体情况建立坐标系，列出相应的方程。
6.只有在系统中各物体具有共同加速度的前提下，才可对系统整体运用牛顿第二定律。此情况下在a=∑F/m式中，∑F是系统受的合外力，m是系统中各物体的总质量，a指系统共同的加速度。
例1：对图1所示的问题，已知A、B间，B和地间的μs都是0.2，μ都是0.1，m= 2千克，m=10千克，F = 42牛。求物体A和B的运动状态？（g=10米/秒）
如果不作任何分析就对系统运用牛顿第二定律算加速度a=∑F/m=F-f/m+M=42-0.1(10+2)×10/10+2=2.5(m/s)，这是错误的，因为A和B间相对静止的条件是合外力产生的加速度不得大于a′，a ′=μsN/m=0.2×2×10/2=2(m/s)，那么外力不大于F ′，F ′=（m+m）a ′+f=(10+2)×2+0.1(10+2)×10=36(N)。在这个问题中给的力F=42N>36N，所以A和B的加速度是不同的，a>a。
7.内力不能使系统产生加速度。
例2：A、B二物体用细绳连接，它们和地面的μ值相同且为已知，同时还知道F和m、m的值，求它们共同的加速度。见图2（a）。
解：分别对A、B两物体分析力，见图2（b）和（c）。以运动方向为正列方程：
对A：F-T-f=ma （1）
对B：T-f=ma （2）
T=T（3）
(1)+(2)得F-f-f=(m+m)a，a=（F-f-f）/（m+m）.
对系统来说，T和T是内力，对产生系统的加速度并无贡献，a只由系统的总质量和系统受的合外力决定。
例3：图3（a）是人站在静止的车子里，无论用多大力推车或拉车，车绝不会动起来，这是何故？
分析人和车作为一个系统，对车和人分别分析力并画草图。见图3（b）和（c），设人水平推车，fs是车给人的静摩擦力；fs是人给车的静摩擦力。
对人和车分别列方程，以向左为正：
对车： F-fs=ma （1）
对人：fs-F=ma（2）
F=Ffs=fs（3）
（1）+（2）得 0=（m+m）a，所以a=0，车不会动。
人和车间有两对力，一对是F和F，一对是fs和fs，对系统来说它们都是内力。
可能有人想，人站在地面上推车如图4（a），就可能使车动起来，人和车间的作用力对系统说也是内力呀，这又如何解释？
关键就在于人站在地面上推车，为简化问题，我们仍设人用水平力F。
对人和车作受力分析如图4（b）和（c），对人和车分别列方程，以向左为正。
fs是地给车的静摩擦力。fs是地给人的静摩擦力。（1）+（2）得fs-fs=（m+m）a。
当fs>fs时，a≠0，车就由静止而被推动。人越用力向后蹬地，地给人的fs越大，当fs增大到使fs≥地给车的最大静摩擦力时，车被推动，当人和车全动起来后，人和车相互作用的力对系统的a仍是不起作用的。
两种推车的位置不同，使车受到的合外力不同，从而产生的效果不同。拔河比赛的两队之所以能决一胜负，和人站在地上可能把车推动是同样的道理。设想拔河的两队人脚不沾地，或人悬空着推不着地的车，那么永远不会有胜负或把车推动的可能。如果把汽车的车身支起来，司机开大油门也只能使轮子飞快转动而已。
8.由于牛顿第二定律是表征a和∑F的瞬时因果关系，在碰撞、爆炸、打击等有关问题中，力急剧地随时间变化，很难找到它的准确的瞬时值，因之解这类问题时不能直接用牛顿第二定律。
9.牛顿第二定律是在惯性参照系中得出来的，所以用它来解决问题时所求的a必须是对静止或作匀速直线运动的参照系而言。
例4：图5（a）是物体A放在光滑的斜面上，斜面和地面间不计摩擦，求当A由斜面顶处自由下滑的过程中，A对斜面的压力多大？已知m，M和θ。
分析：由于没有摩擦，A下滑的过程中，斜面（劈）会向右加速运动，所以对地来说，A既有沿斜面向下的加速度a″，又有垂直且指向斜面的加速度a⊥。
对斜面来说，受三个力，其方向如图5（b），重力G，A给的压力N，地面给的支持力N′。选坐标系为水平和竖直方向，列方程：
x方向： Nsinθ=Ma （1）
Y方向：G+Ncosθ=N′ （2）
A受两个力，其方向如图5（c），重力G，斜面给的支持力N。选平行斜面和垂直斜面的直角坐标系，列方程：
x方向： mgsinθ=ma″ （3）
Y方向：mgcosθ-N=ma⊥（4）
因为A和斜面在运动过程中始终未脱离，所以，
a⊥=asinθ （5）
由上列5个方程可求出a=mgsinθcosθ/(M+msin2θ)，N=MMˊ/sinθ=Mmgsinθcosθ/sinθ（M+msinθ）=Mmcosθg/(M+msin2θ)。
例5：图6中升降机地板上放一个台秤，秤上放质量为500克的玻璃杯，杯内盛水10克；天花板上挂一个弹簧秤，秤下端挂78克铁球，球全部没入水中。求当升降机以1米/秒的加速度上升时，两个秤的示数各多大？（g=10米/秒）.
解：求弹簧秤的示数时，由于对它的已知条件不充分，故选球为研究对象：球受三个力，G向下，水给的浮力Q向上，其大小等于排开的同体积的水的重量，弹簧秤给的拉力T向上，球同时以等值反向的力拉弹簧秤，这就是所求弹簧秤的示数。由于球随升降机一起运动，取向上为正方向，则：T+Q-mg=ma，故T=m(g+a)-Q=78×10(10+1)-［78×10/7.8×10×（1×10×10）］=0.758（牛）。
同理，由于条件不足，我们不直接对台秤研究，而选和台秤直接作用的玻璃杯为对象。杯受三个力，G向下，水给的压力Nˊ向下，台秤给的支持力N向上，台秤的示数和N大小等值，因为台秤受到的压力和N等值。
对水来说：它随升降机运动必须满足N″-mg-Qˊ=ma，式中N″是杯底给水的支持力和N′是一对相互作用力，等值反向，Q′是水给球的浮力的反作用力和Q等值反向，可算出N″=G+Q+ma。
对杯来说：它随升降机运动，必须满足N-G-N″=ma，故N=G+G+Q+（m+m）a=10（0.5+1）+［78×10/7.8×10×（1×10×10）］+（1+0.5）×1=16.6（牛）
特别要注意：弹簧秤示数不等于m（g+a），台秤示数不等于G+G+（m+m）a。
例6：在图7（a）中，F=4N，m=0.3kg，m=0.2kg，二物体和水平面间μ=0.2，不计滑轮质量和轮与绳间的摩擦力，求：m的加速度a？m对绳的拉力？
分析：由于A是动滑轮，因此在相同的时间内m和m的位移之比s/s=1/2，那么a/a=1/2，不能对系统整体运用牛顿第二定律。
图7（b）和(c)分别是m和m的受力草图，各力方向已标在图上。以运动方向为正列方程：
对1：F-T-f=ma（1）
对2：T-f=ma （2）
由于m和m间通过动滑轮连接，又有：
a=1/2·a （3）
T=2T（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）式可解出a=4.7m/s，T=1.34N，m用1.34N的力向左拉绳。
关键词： 牛顿第二定律 正确运用 适用范围 研究对象
牛顿通过精确实验得出的被称为牛顿第二定律的数学表达式是a=∑F/m。它具体而确切地向我们展示出力是使物体产生加速度的原因。
该定律的物理内容表明，对一定质量的物体来说，它所得到的加速度值和它所受的合外力的大小成正比，方向取合力的方向；而当施给不同物体相同的合外力时，它们的加速度值和物体的质量成反比。a=∑F/m表明力对物体的瞬时作用规律。
现结合实例谈谈正确运用牛顿第二定律应注意的几点：
1.先明确定律的适用范围：对宏观、低速的物体并在惯性参照系中研究问题。
2.必须用国际单位。
3.研究对象可以是单个物体也可以是物体系统。
4.对研究对象进行受力分析，把物体或物体系所受的力正确全部找出并画出草图。
5.依具体情况建立坐标系，列出相应的方程。
6.只有在系统中各物体具有共同加速度的前提下，才可对系统整体运用牛顿第二定律。此情况下在a=∑F/m式中，∑F是系统受的合外力，m是系统中各物体的总质量，a指系统共同的加速度。
例1：对图1所示的问题，已知A、B间，B和地间的μs都是0.2，μ都是0.1，m= 2千克，m=10千克，F = 42牛。求物体A和B的运动状态？（g=10米/秒）
如果不作任何分析就对系统运用牛顿第二定律算加速度a=∑F/m=F-f/m+M=42-0.1(10+2)×10/10+2=2.5(m/s)，这是错误的，因为A和B间相对静止的条件是合外力产生的加速度不得大于a′，a ′=μsN/m=0.2×2×10/2=2(m/s)，那么外力不大于F ′，F ′=（m+m）a ′+f=(10+2)×2+0.1(10+2)×10=36(N)。在这个问题中给的力F=42N>36N，所以A和B的加速度是不同的，a>a。
7.内力不能使系统产生加速度。
例2：A、B二物体用细绳连接，它们和地面的μ值相同且为已知，同时还知道F和m、m的值，求它们共同的加速度。见图2（a）。
解：分别对A、B两物体分析力，见图2（b）和（c）。以运动方向为正列方程：
对A：F-T-f=ma （1）
对B：T-f=ma （2）
T=T（3）
(1)+(2)得F-f-f=(m+m)a，a=（F-f-f）/（m+m）.
对系统来说，T和T是内力，对产生系统的加速度并无贡献，a只由系统的总质量和系统受的合外力决定。
例3：图3（a）是人站在静止的车子里，无论用多大力推车或拉车，车绝不会动起来，这是何故？
分析人和车作为一个系统，对车和人分别分析力并画草图。见图3（b）和（c），设人水平推车，fs是车给人的静摩擦力；fs是人给车的静摩擦力。
对人和车分别列方程，以向左为正：
对车： F-fs=ma （1）
对人：fs-F=ma（2）
F=Ffs=fs（3）
（1）+（2）得 0=（m+m）a，所以a=0，车不会动。
人和车间有两对力，一对是F和F，一对是fs和fs，对系统来说它们都是内力。
可能有人想，人站在地面上推车如图4（a），就可能使车动起来，人和车间的作用力对系统说也是内力呀，这又如何解释？
关键就在于人站在地面上推车，为简化问题，我们仍设人用水平力F。
对人和车作受力分析如图4（b）和（c），对人和车分别列方程，以向左为正。
fs是地给车的静摩擦力。fs是地给人的静摩擦力。（1）+（2）得fs-fs=（m+m）a。
当fs>fs时，a≠0，车就由静止而被推动。人越用力向后蹬地，地给人的fs越大，当fs增大到使fs≥地给车的最大静摩擦力时，车被推动，当人和车全动起来后，人和车相互作用的力对系统的a仍是不起作用的。
两种推车的位置不同，使车受到的合外力不同，从而产生的效果不同。拔河比赛的两队之所以能决一胜负，和人站在地上可能把车推动是同样的道理。设想拔河的两队人脚不沾地，或人悬空着推不着地的车，那么永远不会有胜负或把车推动的可能。如果把汽车的车身支起来，司机开大油门也只能使轮子飞快转动而已。
8.由于牛顿第二定律是表征a和∑F的瞬时因果关系，在碰撞、爆炸、打击等有关问题中，力急剧地随时间变化，很难找到它的准确的瞬时值，因之解这类问题时不能直接用牛顿第二定律。
9.牛顿第二定律是在惯性参照系中得出来的，所以用它来解决问题时所求的a必须是对静止或作匀速直线运动的参照系而言。
例4：图5（a）是物体A放在光滑的斜面上，斜面和地面间不计摩擦，求当A由斜面顶处自由下滑的过程中，A对斜面的压力多大？已知m，M和θ。
分析：由于没有摩擦，A下滑的过程中，斜面（劈）会向右加速运动，所以对地来说，A既有沿斜面向下的加速度a″，又有垂直且指向斜面的加速度a⊥。
对斜面来说，受三个力，其方向如图5（b），重力G，A给的压力N，地面给的支持力N′。选坐标系为水平和竖直方向，列方程：
x方向： Nsinθ=Ma （1）
Y方向：G+Ncosθ=N′ （2）
A受两个力，其方向如图5（c），重力G，斜面给的支持力N。选平行斜面和垂直斜面的直角坐标系，列方程：
x方向： mgsinθ=ma″ （3）
Y方向：mgcosθ-N=ma⊥（4）
因为A和斜面在运动过程中始终未脱离，所以，
a⊥=asinθ （5）
由上列5个方程可求出a=mgsinθcosθ/(M+msin2θ)，N=MMˊ/sinθ=Mmgsinθcosθ/sinθ（M+msinθ）=Mmcosθg/(M+msin2θ)。
例5：图6中升降机地板上放一个台秤，秤上放质量为500克的玻璃杯，杯内盛水10克；天花板上挂一个弹簧秤，秤下端挂78克铁球，球全部没入水中。求当升降机以1米/秒的加速度上升时，两个秤的示数各多大？（g=10米/秒）.
解：求弹簧秤的示数时，由于对它的已知条件不充分，故选球为研究对象：球受三个力，G向下，水给的浮力Q向上，其大小等于排开的同体积的水的重量，弹簧秤给的拉力T向上，球同时以等值反向的力拉弹簧秤，这就是所求弹簧秤的示数。由于球随升降机一起运动，取向上为正方向，则：T+Q-mg=ma，故T=m(g+a)-Q=78×10(10+1)-［78×10/7.8×10×（1×10×10）］=0.758（牛）。
同理，由于条件不足，我们不直接对台秤研究，而选和台秤直接作用的玻璃杯为对象。杯受三个力，G向下，水给的压力Nˊ向下，台秤给的支持力N向上，台秤的示数和N大小等值，因为台秤受到的压力和N等值。
对水来说：它随升降机运动必须满足N″-mg-Qˊ=ma，式中N″是杯底给水的支持力和N′是一对相互作用力，等值反向，Q′是水给球的浮力的反作用力和Q等值反向，可算出N″=G+Q+ma。
对杯来说：它随升降机运动，必须满足N-G-N″=ma，故N=G+G+Q+（m+m）a=10（0.5+1）+［78×10/7.8×10×（1×10×10）］+（1+0.5）×1=16.6（牛）
特别要注意：弹簧秤示数不等于m（g+a），台秤示数不等于G+G+（m+m）a。
例6：在图7（a）中，F=4N，m=0.3kg，m=0.2kg，二物体和水平面间μ=0.2，不计滑轮质量和轮与绳间的摩擦力，求：m的加速度a？m对绳的拉力？
分析：由于A是动滑轮，因此在相同的时间内m和m的位移之比s/s=1/2，那么a/a=1/2，不能对系统整体运用牛顿第二定律。
图7（b）和(c)分别是m和m的受力草图，各力方向已标在图上。以运动方向为正列方程：
对1：F-T-f=ma（1）
对2：T-f=ma （2）
由于m和m间通过动滑轮连接，又有：
a=1/2·a （3）
T=2T（4）
由（1）、（2）、（3）、（4）式可解出a=4.7m/s，T=1.34N，m用1.34N的力向左拉绳。