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回顾我们处理数学问题的过程和经验会发现，我们常常是将待解决的陌生问题通过转化，归结为一个比较熟悉的问题来解决，因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法于问题的解决。这一过程的科学概括就是——“化归”。化归是解决数学问题的一种极为重要的思想。
一、化归的基本思想
化归有转化与归结的意思，其基本思想是：人们在解决数学问题时，将待解决的问题[A]，通过某种转化手段，归结为另一个问题[B]，而问题[B]是相对较易解决或已有固定解决程序的问题，且通过对问题[B]的解决可得原问题[A]的解答。其中，问题[B]常被称作化归目标或方向，转化的手段被称为化归途径或化归策略。
二、化归的基本形式
（一） 数与数之间的转化
例1 已知：[a]，[b∈R]，求证：[a2+b2≥ab+a+b-1]。
分析：只要证[a2+b2-（ab+a+b-1）≥0]，
令[f（a）=a2+b2-（ab+a+b-1）][=a2-a（1+b）+（b2-b+1）]，问题转化为证明[f（a）≥0]，这样就将不等式问题转化成函数问题来讨论。由判别式[Δ=-3（b-1）≤0]，知[f（a）≥0]。
（二） 数与形之间的转化
例2 求函数 [y=x2+1+x2-4x+8] 的最小值。
分析：因为此函数定义域为[R]，如果从代数角度考虑，比较复杂，如果借助于两点间距离公式，转化为几何问题，则变得很容易。
解：[∵][y=x2+1+x2-4x+8]
=[（x-0）2+（0-1）2]+[（x-2）2+（0-2）2]
令[A（0，1）]，[B（2，2）]，[P（x，0）]，则问题转化为：在X轴上求一点[P（x，0）]使[（|PA|+|PB|）]有最小值，由于[A]，[B]在X轴同侧，故取[A]关于X轴的对称点[A′（0，-1）]。
[∴] [（|PA|+|PB|）]最小值=[|A′B|]=[（2-1）2+（2+1）2]=[13]。
（三） 形与形之间的转化
例3 在平面几何教材的讲授中，如果我们注意到“三角形”和“四边形”部分，几乎所有的重要结论都可通过分解和组合这一基本方法进行化归得到，我们就可以利用化归思想进行结论的推理证明简化教学内容。下面略举数项项目与之推证方法：
（1）等腰三角形的性質与判定——由顶角平分线分解成两个全等的直角三角形。
（2）三角形边角不等关系——从原三角形分解出一个等腰三角形。
（3）直角三角形的判定和性质——把直角三角形分解为两个等腰三角形或把两个全等的直角三角形组合成一个等腰三角形。
（4）平行四边形的判定和性质——分解成两个全等三角形和两对全等三角形。
（5）有关梯形的运算——分解成一个平行四边形和一个三角形。
（6）三角形的中位线——分解又组合成一个平行四边形（即作中心对称全等形）。
（7）梯形的中位线——分解又组合成一个三角形。
（8）面积公式——梯形分解为两个等高的三角形，三角形分解又组合成矩形的一半，平行四边形分解又组合为矩形（矩形的面积公式作为公理）。
（四）实际问题与数学模型之间的转化
例4 有一批[1]米长的合金钢材，现要截成长为[23]厘米和[13]厘米两种规格，用怎样的方案截取使材料利用率最高？并求出材料最高利用率。
分析：这是一个“应用问题”（明确问题），经过分析，选择变量[x，y]后列出一个二元一次不定方程：[13x100+23y100=1]（建立数学模型）；作出此直线的图象，确定与直线最近的整点[（4，2）]，从而获解：将[1]米长的钢材，截成[4]段[13]厘米的，[2]段[23]厘米的，且有[4×13+2×23=98]知材料的最高利用率为[98%]（求解并验证）。
当前，数学建模已受到世界各国的普遍关注，美国已将数学建模列为数学教育改革最急迫的项目之一，而在我国新的课程标准中也将化归思想作为一种重要的数学思想被放在十分突出的位置上，现在许多中学都开设了数学建模课程。
三、 化归思想在提高学生的数学思维能力上的应用
数学思想方法往往蕴含在数学知识规律的形成过程和问题的解决过程之中。教学中注重对这些思维方法的分析提炼，强调知识规律形成过程，尽量展示问题解决的思路，必然有利于学生数学思维能力的培养和提高。作为极为重要的数学思想——化归思想也不例外。
众所周知，几何证明是中学数学的难点之一。学生拿到题目往往不知道从哪里开始想，如何寻求证题思路。我们在教学中注重分析法和综合法（注意：它们即是多步化归过程的两个方面）的应用，从而达到训练学生思维的目的。
例5 已知：[a] ，[b]为小于1的正数，
求证：
[a2+a2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+[（1-a）2+（1-b）2≥22]]
分析：这是一道培养学生发散思维的好题，稍加透视，便可化归为利用以下基本知识和基本方法求证的问题。
证法一： 利用算术——几何平均这一重要不等式可得
[a2+b22≥a+b2]，
于是，左边[≥22（a+b）+22（a+b-1）+22（1-a+b）+][22（1-a+1-b）][=22×4=22]。
证法二： 用复数法，由于左端各式的特征，可将它们视为复数的模。
令[z1=a+bi]，[z2=（1-a）+bi]，[z3=a+（1-b）i]，[z4=（1-a）+][（1-b）i]，则
左边[=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|=|2+2i|=22]。
证法三： 数形结合法（或解析法），由左边各项的特征，容易想到平面上两点的距离，从而把它转化为点[（a]，[b）]到（0，0），（1，0），（0，1），（1，1）四点的距离之和。由于[0 四、结尾
化归是解决数学问题中最一般的原则。其基本思想是将一个问题变形，使其归结为另一已能解决的问题，再返回求得原问题的解答。同时，化归作为一种极为重要的数学思想，在中学数学教学和提高学生的数学思维能力上也有着独特的作用，应该引起我们高度的重视。
参考文献：
[1]钱佩玲、邵光华编著。《数学思想方法与中学数学》.北京师范大学出版社，2000
[2]郑毓信著.《数学方法论》.广西教育出版社，2001
[3]田万海主编.《数学教育学》.浙江教育出版社，2002
一、化归的基本思想
化归有转化与归结的意思，其基本思想是：人们在解决数学问题时，将待解决的问题[A]，通过某种转化手段，归结为另一个问题[B]，而问题[B]是相对较易解决或已有固定解决程序的问题，且通过对问题[B]的解决可得原问题[A]的解答。其中，问题[B]常被称作化归目标或方向，转化的手段被称为化归途径或化归策略。
二、化归的基本形式
（一） 数与数之间的转化
例1 已知：[a]，[b∈R]，求证：[a2+b2≥ab+a+b-1]。
分析：只要证[a2+b2-（ab+a+b-1）≥0]，
令[f（a）=a2+b2-（ab+a+b-1）][=a2-a（1+b）+（b2-b+1）]，问题转化为证明[f（a）≥0]，这样就将不等式问题转化成函数问题来讨论。由判别式[Δ=-3（b-1）≤0]，知[f（a）≥0]。
（二） 数与形之间的转化
例2 求函数 [y=x2+1+x2-4x+8] 的最小值。
分析：因为此函数定义域为[R]，如果从代数角度考虑，比较复杂，如果借助于两点间距离公式，转化为几何问题，则变得很容易。
解：[∵][y=x2+1+x2-4x+8]
=[（x-0）2+（0-1）2]+[（x-2）2+（0-2）2]
令[A（0，1）]，[B（2，2）]，[P（x，0）]，则问题转化为：在X轴上求一点[P（x，0）]使[（|PA|+|PB|）]有最小值，由于[A]，[B]在X轴同侧，故取[A]关于X轴的对称点[A′（0，-1）]。
[∴] [（|PA|+|PB|）]最小值=[|A′B|]=[（2-1）2+（2+1）2]=[13]。
（三） 形与形之间的转化
例3 在平面几何教材的讲授中，如果我们注意到“三角形”和“四边形”部分，几乎所有的重要结论都可通过分解和组合这一基本方法进行化归得到，我们就可以利用化归思想进行结论的推理证明简化教学内容。下面略举数项项目与之推证方法：
（1）等腰三角形的性質与判定——由顶角平分线分解成两个全等的直角三角形。
（2）三角形边角不等关系——从原三角形分解出一个等腰三角形。
（3）直角三角形的判定和性质——把直角三角形分解为两个等腰三角形或把两个全等的直角三角形组合成一个等腰三角形。
（4）平行四边形的判定和性质——分解成两个全等三角形和两对全等三角形。
（5）有关梯形的运算——分解成一个平行四边形和一个三角形。
（6）三角形的中位线——分解又组合成一个平行四边形（即作中心对称全等形）。
（7）梯形的中位线——分解又组合成一个三角形。
（8）面积公式——梯形分解为两个等高的三角形，三角形分解又组合成矩形的一半，平行四边形分解又组合为矩形（矩形的面积公式作为公理）。
（四）实际问题与数学模型之间的转化
例4 有一批[1]米长的合金钢材，现要截成长为[23]厘米和[13]厘米两种规格，用怎样的方案截取使材料利用率最高？并求出材料最高利用率。
分析：这是一个“应用问题”（明确问题），经过分析，选择变量[x，y]后列出一个二元一次不定方程：[13x100+23y100=1]（建立数学模型）；作出此直线的图象，确定与直线最近的整点[（4，2）]，从而获解：将[1]米长的钢材，截成[4]段[13]厘米的，[2]段[23]厘米的，且有[4×13+2×23=98]知材料的最高利用率为[98%]（求解并验证）。
当前，数学建模已受到世界各国的普遍关注，美国已将数学建模列为数学教育改革最急迫的项目之一，而在我国新的课程标准中也将化归思想作为一种重要的数学思想被放在十分突出的位置上，现在许多中学都开设了数学建模课程。
三、 化归思想在提高学生的数学思维能力上的应用
数学思想方法往往蕴含在数学知识规律的形成过程和问题的解决过程之中。教学中注重对这些思维方法的分析提炼，强调知识规律形成过程，尽量展示问题解决的思路，必然有利于学生数学思维能力的培养和提高。作为极为重要的数学思想——化归思想也不例外。
众所周知，几何证明是中学数学的难点之一。学生拿到题目往往不知道从哪里开始想，如何寻求证题思路。我们在教学中注重分析法和综合法（注意：它们即是多步化归过程的两个方面）的应用，从而达到训练学生思维的目的。
例5 已知：[a] ，[b]为小于1的正数，
求证：
[a2+a2+（1-a）2+b2+a2+（1-b）2+[（1-a）2+（1-b）2≥22]]
分析：这是一道培养学生发散思维的好题，稍加透视，便可化归为利用以下基本知识和基本方法求证的问题。
证法一： 利用算术——几何平均这一重要不等式可得
[a2+b22≥a+b2]，
于是，左边[≥22（a+b）+22（a+b-1）+22（1-a+b）+][22（1-a+1-b）][=22×4=22]。
证法二： 用复数法，由于左端各式的特征，可将它们视为复数的模。
令[z1=a+bi]，[z2=（1-a）+bi]，[z3=a+（1-b）i]，[z4=（1-a）+][（1-b）i]，则
左边[=|z1|+|z2|+|z3|+|z4|≥|z1+z2+z3+z4|=|2+2i|=22]。
证法三： 数形结合法（或解析法），由左边各项的特征，容易想到平面上两点的距离，从而把它转化为点[（a]，[b）]到（0，0），（1，0），（0，1），（1，1）四点的距离之和。由于[0
化归是解决数学问题中最一般的原则。其基本思想是将一个问题变形，使其归结为另一已能解决的问题，再返回求得原问题的解答。同时，化归作为一种极为重要的数学思想，在中学数学教学和提高学生的数学思维能力上也有着独特的作用，应该引起我们高度的重视。
参考文献：
[1]钱佩玲、邵光华编著。《数学思想方法与中学数学》.北京师范大学出版社，2000
[2]郑毓信著.《数学方法论》.广西教育出版社，2001
[3]田万海主编.《数学教育学》.浙江教育出版社，2002