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为什么下水道的盖子都是圆形的？为什么我们常常在门框上斜钉两根木条？生活中有很多的数学问题，例如购物、估算、计算时间、确定位置等都与数学相关.你若有意识地用数学的思想和方法去观察、认识周围的事物，便会发现许多隐藏在生活中的数学原理.
脚踩式垃圾桶的数学原理
你见过脚踩式垃圾桶吗？（如图1）你关注过脚踩式垃圾桶的内部构造吗？（如图2）脚踩式垃圾桶的原理是：利用一根连杆将上下两个杠杆有效连接，通过脚踩启动下部杠杆，以此带动上部杠杆，从而打开垃圾桶的桶盖.仔细思考会发现，脚踩式垃圾桶的原理涉及相似三角形、勾股定理、直角三角形的边角关系等知识.
图1 图2
图2是脚踩式垃圾桶的内部结构示意图.当用脚将点A踩至地面点A′处时，水平横杆AB、竖杆BC就借助支点O和活动轴心（点B、点C）移到A′B′、B′C′位置，并将水平桶盖DE顶至DE′的位置，即桶盖被打开.图中DE⊥B′C′，垂足为点F.设计要求是∠C′DF至少为75°.已知AO=8.5 cm，OB=17 cm，竖杆BC与垃圾桶左侧外壁之间的距离DC=0.48 cm，水平横杆AB到地面的距离为1.3 cm.问：这个脚踩式垃圾桶符合设计要求吗？请说明理由.（参考数据：tan75°≈3.732）
解：作A′M⊥AB，垂足为M，延长C′B′交AB于点N.
∵DE⊥B′C′，∴B′N⊥AB.
∴△OB′N∽△OA′M.
依题意，得OB′=OB=17，
OA′=OA=8.5，A′M=1.3.
∴■=■，■=■
∴B′N=2.6.
在Rt△ONB′中，ON=■=16.8.
依题意，得C′F=B′N=2.6，
CF=BN=OB-ON=17-16.8=0.2.
∴DF=DC+CF=0.48+0.2=0.68.
∴tan∠C′DF=■=■≈3.82>3.732.
∴∠C′DF>75°.
即这个脚踩式垃圾桶符合设计要求.
“摸彩”中的数学原理
在现实生活中，我们经常看到有奖销售和路边摆设的摸彩游戏.其实，设奖者都是利用人们发财的欲望.碰运气的心理来扩大销售，这里面有很多数学问题.
有人拿着8张标有“黑桃”的扑克牌和8张标有“红桃”的扑克牌，放在一个袋子里。规定，凡是摸彩者，每人交一元钱的“手续费”，然后一次从袋子中摸出5张牌，按地面上铺着一张对奖表给予彩金.
请问：赌主是赔还是赚？你的“运气”可能性有多大？
同学们不妨碰碰“运气”，看看结果如何.
一共16张牌，第一张摸到“红桃”，只能是8张“红桃”中的一张，第二张“红桃”只能是余下的7张“红桃”中的一张，……，摸到5张“红桃”的可能性为：
■×■×■×■×■=0.0128
摸到5张中有4张是“红桃”的可能性为：
（■×■×■×■×■）×5=0.1282
摸到5张中有3张是“红桃”的可能性为：
（■×■×■×■×■）×10=0.3589
如果按摸100次统计，赌主“手续费”收入共100元，他可能需要付出的连纪念品在内的“彩金”是：
（0.0128×20+0.1282×2+0.3589×0.5）×100 =69.19
赌主可净赚31.81元.
因此，这些设置“摸彩”游戏的人，往往利用他人无知和侥幸的心理，把奖金设的在小概率事件上，“摸彩”者往往输得多，赢的可能性小.
鉴别王冠中的数学原理
相传，2000多年前古希腊的亥尼洛国王做了一顶金王冠.但是，这个国王相当多疑，他怀疑工匠用银子偷换了王冠中的金子，便要求阿基米德查出王冠是否由纯金制造，而且要求不能损坏王冠.阿基米德捧着这顶王冠整日苦苦思索却找不到解决问题的方法.有一天，阿基米德去浴室洗澡，当他跨入盛满水的浴桶后，随着身子进入浴桶，他发现有一部分水从浴桶中溢出，阿基米德看到这个现象，头脑中顿时灵光一闪：不是可以通过对比金冠和与金冠重量相当的金块与银块的排水量来测量吗？就是通过洗澡这件小事，阿基米德解决了王冠之迷.
有资料这样描述阿基米德鉴定金冠的过程：因为金冠是12磅，于是取来12磅的纯金和12磅的纯银，称它们在水中的质量分别是11■磅和11■磅，再称金冠在水中的质量是11■磅，于是算出金冠中是否掺了银子以及掺了多少银子.你能说明其中所蕴涵的数学道理吗？
解：设金冠中金的质量为x磅、银的质量为y磅，根据题意得x+y=12■x+■y=11■
解得：x=■y=■，结果说明金冠中掺了银子，掺了■磅.
杠杆撬石的数学原理
公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们称之为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：
阻力×阻力臂=动力×动力臂
若工人师傅用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500N和0.4m.
（1）动力F（N）与动力臂l（m）有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头需要多大的力？
（2）若想使动力F（N）不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（3）请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力.
解：（1）根据“杠杆定律”有FL=1500×0.4，∴函数的解析式为F=■，
当L=1.5时，F=■=400，
因此，撬动石头需要400N的力；
（2）由（1）知FL=600，
∴函数解析式可以表示为：L=■，
当F=400×■=200时，L=■=3，
3-1.5=1.5（m），
因此若用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5米；
（3）因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力F与动力臂L的函数关系式为F=■，根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂l的增大而减小，所以动力臂越长越省力.
脚踩式垃圾桶的数学原理
你见过脚踩式垃圾桶吗？（如图1）你关注过脚踩式垃圾桶的内部构造吗？（如图2）脚踩式垃圾桶的原理是：利用一根连杆将上下两个杠杆有效连接，通过脚踩启动下部杠杆，以此带动上部杠杆，从而打开垃圾桶的桶盖.仔细思考会发现，脚踩式垃圾桶的原理涉及相似三角形、勾股定理、直角三角形的边角关系等知识.
图1 图2
图2是脚踩式垃圾桶的内部结构示意图.当用脚将点A踩至地面点A′处时，水平横杆AB、竖杆BC就借助支点O和活动轴心（点B、点C）移到A′B′、B′C′位置，并将水平桶盖DE顶至DE′的位置，即桶盖被打开.图中DE⊥B′C′，垂足为点F.设计要求是∠C′DF至少为75°.已知AO=8.5 cm，OB=17 cm，竖杆BC与垃圾桶左侧外壁之间的距离DC=0.48 cm，水平横杆AB到地面的距离为1.3 cm.问：这个脚踩式垃圾桶符合设计要求吗？请说明理由.（参考数据：tan75°≈3.732）
解：作A′M⊥AB，垂足为M，延长C′B′交AB于点N.
∵DE⊥B′C′，∴B′N⊥AB.
∴△OB′N∽△OA′M.
依题意，得OB′=OB=17，
OA′=OA=8.5，A′M=1.3.
∴■=■，■=■
∴B′N=2.6.
在Rt△ONB′中，ON=■=16.8.
依题意，得C′F=B′N=2.6，
CF=BN=OB-ON=17-16.8=0.2.
∴DF=DC+CF=0.48+0.2=0.68.
∴tan∠C′DF=■=■≈3.82>3.732.
∴∠C′DF>75°.
即这个脚踩式垃圾桶符合设计要求.
“摸彩”中的数学原理
在现实生活中，我们经常看到有奖销售和路边摆设的摸彩游戏.其实，设奖者都是利用人们发财的欲望.碰运气的心理来扩大销售，这里面有很多数学问题.
有人拿着8张标有“黑桃”的扑克牌和8张标有“红桃”的扑克牌，放在一个袋子里。规定，凡是摸彩者，每人交一元钱的“手续费”，然后一次从袋子中摸出5张牌，按地面上铺着一张对奖表给予彩金.
请问：赌主是赔还是赚？你的“运气”可能性有多大？
同学们不妨碰碰“运气”，看看结果如何.
一共16张牌，第一张摸到“红桃”，只能是8张“红桃”中的一张，第二张“红桃”只能是余下的7张“红桃”中的一张，……，摸到5张“红桃”的可能性为：
■×■×■×■×■=0.0128
摸到5张中有4张是“红桃”的可能性为：
（■×■×■×■×■）×5=0.1282
摸到5张中有3张是“红桃”的可能性为：
（■×■×■×■×■）×10=0.3589
如果按摸100次统计，赌主“手续费”收入共100元，他可能需要付出的连纪念品在内的“彩金”是：
（0.0128×20+0.1282×2+0.3589×0.5）×100 =69.19
赌主可净赚31.81元.
因此，这些设置“摸彩”游戏的人，往往利用他人无知和侥幸的心理，把奖金设的在小概率事件上，“摸彩”者往往输得多，赢的可能性小.
鉴别王冠中的数学原理
相传，2000多年前古希腊的亥尼洛国王做了一顶金王冠.但是，这个国王相当多疑，他怀疑工匠用银子偷换了王冠中的金子，便要求阿基米德查出王冠是否由纯金制造，而且要求不能损坏王冠.阿基米德捧着这顶王冠整日苦苦思索却找不到解决问题的方法.有一天，阿基米德去浴室洗澡，当他跨入盛满水的浴桶后，随着身子进入浴桶，他发现有一部分水从浴桶中溢出，阿基米德看到这个现象，头脑中顿时灵光一闪：不是可以通过对比金冠和与金冠重量相当的金块与银块的排水量来测量吗？就是通过洗澡这件小事，阿基米德解决了王冠之迷.
有资料这样描述阿基米德鉴定金冠的过程：因为金冠是12磅，于是取来12磅的纯金和12磅的纯银，称它们在水中的质量分别是11■磅和11■磅，再称金冠在水中的质量是11■磅，于是算出金冠中是否掺了银子以及掺了多少银子.你能说明其中所蕴涵的数学道理吗？
解：设金冠中金的质量为x磅、银的质量为y磅，根据题意得x+y=12■x+■y=11■
解得：x=■y=■，结果说明金冠中掺了银子，掺了■磅.
杠杆撬石的数学原理
公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡.后来人们称之为“杠杆原理”.通俗地说，杠杆原理为：
阻力×阻力臂=动力×动力臂
若工人师傅用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1500N和0.4m.
（1）动力F（N）与动力臂l（m）有怎样的函数关系？当动力臂为1.5m时，撬动石头需要多大的力？
（2）若想使动力F（N）不超过题（1）中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？
（3）请用数学知识解释：我们使用撬棍，当阻力与阻力臂一定时，为什么动力臂越长越省力.
解：（1）根据“杠杆定律”有FL=1500×0.4，∴函数的解析式为F=■，
当L=1.5时，F=■=400，
因此，撬动石头需要400N的力；
（2）由（1）知FL=600，
∴函数解析式可以表示为：L=■，
当F=400×■=200时，L=■=3，
3-1.5=1.5（m），
因此若用力不超过400N的一半，则动力臂至少要加长1.5米；
（3）因为撬棍工作原理遵循“杠杆定律”，当阻力与阻力臂一定时，其乘积为常数，设其为k，则动力F与动力臂L的函数关系式为F=■，根据反比例函数的性质可知，动力F随动力臂l的增大而减小，所以动力臂越长越省力.