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摘 要：以数学开放题为载体的教学已逐渐从“传授知识”的权威模式向以“激励学习”为特色的学生自主学习模式转变，本文就数学开放题的一些基本特征、构建方法和教师具有开放意识进行了评述．
关键词：高三数学；复习课；课堂教学模式
数学开放题是相对于传统封闭题而言的，体现在课堂教学上，便是应为学生创设一个有利于交流的开放活动环境． 通过合作、探究，让学生的思维见解、情感体验、意志欲望、行为方式受到尊重，引发他们积极进取和自由探索；同时在问题设计和讨论时保留开放状态，给学生创新思维提供更广阔的数学天地，使学生得到更充分的发展．笔者结合这方面的教学现简述于下．
教师要形成开放的意识
开放题的突出功能是利于培养学生发散思维和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识． 作为特殊形式的数学问题在培养创造能力方面具有巨大的教育价值．教师应主动研究开放题，构建数学开放题并用之于教学． 教师在这样的课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法，学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的． 一些学生希望与教师一起分享这种成功的喜悦，这就使课堂教学自然地走向了以学生主动参与为主要特征的开放式的教学． 在开放题教学中，教师除要具备传统意义上的那些专业素质外，还应具有创造能力和自觉反省自身数学观、教育价值观和教学观的意识．
开放题的教学探讨
开放题旨在开放学生的思路，开放学生的潜能，开放学生的创造力． 开放问题的构建无论是改造陈题，还是自创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行，开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变，应作为常规问题的补充，适合学生的开放题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点． 怎样设计开放题用于教学呢？现从四个方面来探讨．
1． 条件型开放
条件开放即未知的要素是条件．此类题中往往给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件． 如：已知tan（α－β）=，________，且α，β∈（0，π），求α－2β的值． 由于印刷原因有一条件无法认清，但最后的答案是－π，根据题意及结果，请你推测空格处的条件．
简析：本题是典型的条件开放题，需要执果索因，答案较多． 我们可以从结论逆推而上，得出在结论成立的前提下此题还缺少的是哪个条件． tanα=或tanβ=－都可以作为条件填入空格处．?摇
2． 结论型开放
结论开放即未知的要素是判断． 这类题就是给出一定的条件，满足条件的结论不止一个，具有发散性、探究性、层次性、创新性等特性． 如：给出一个数列｛ａｎ｝的前三项1，3，5．
（1）请你写出这个数列的前6项；
（2）请你构造出数列｛ａｎ｝不少于3个不同的通项公式．
简析：（1）数列｛ａｎ｝只有前三项是确定的，实际上从第四项起，各项均可适当取值，具有很大自由度，只要保持某种“序”，这一串数a1，a2，a3，…，an，…就是数列，于是我们可根据1，3，5这三个数的特征、联系和发展趋势，去考虑数列｛ａｎ｝的第4项、第5项、第6项……，得出一些不同的数列：
①如数列从第3项起，以后各项都是常数5，则数列｛ａｎ｝为1，3，5，5，5，…．
②如数列是周期为三项的周期数列，则数列｛ａｎ｝为1，3，5，1，3，5，1，3，5，…．
③如数列是等差数列，则数列｛ａｎ｝为1，3，5，7，9，…．
④如数列除a1=1，从第2项起依次为从小到大排列的奇素数，则数列｛ａｎ｝为1，3，5，7，11，…． 我们还可以从不同角度给出一些不同的数列．
（2）让我们构造数列｛ａｎ｝的不同的通项公式，设a1=1，a2=3，a3=5.
①若｛ａｎ｝为等差数列，则an=2n－1（n=1，2，3，…）．
②若数列从第3项起，以后各项都是常数5，则数列an=5（n=3，4，5，…）．
③从递推角度考虑，｛ａｎ｝中a1=1，a3=3，为使a3=5，可构想a3=2a1+a2，从而得an=2an-2+an-1（n=3，4，5，…）；若构想a3=2a2－a1，就可得an=2an-1－an-2（n=3，4，5，…）；若构想a3=6a2－13a1，就可得an=6an-1－13an-2（n=3，4，5，…）．
本题是典型的结论开放题，从已知的数据推测这些数据的变化规律，这是科学发现中非常重要的能力． 在激发学生学习的兴趣，树立学习的自信心，凸显学生的主体意识，形成独立的人格和克服困难、勇于探索的意志品质，培养群体意识、合作精神和创新意识，形成正确的科学态度等方面，都具有极大的优势．
策略型开放
?摇策略开放即未知的要素是推理．这类开放题解决问题的方法与思路不唯一，但结果却能殊途同归． 如：已知平面坐标系xOy中三点A（0，1），B（2，0），C（-2，0），请你构造一些函数关系式或曲线方程，使其图象或方程的曲线经过A，B，C三点． 试尽可能多地找出这些图象或曲线的共同点和不同点．
简析：可以根据你的知识水平，发挥你的想象力，从不同角度去思考，如：二次函数；指数函数；对数函数；幂函数；三角函数；圆、椭圆、双曲线和抛物线；再复杂的还有分段函数、带绝对值符号的菱形方程等． 显然本题的答案有无穷多个，下面是一些例子：（图略）
（1）二次函数y=－x2+1；
（2）圆x2+y+2=；
（3）椭圆+y2=1；
（4）双曲线一支（y-2）2－=1（y≤1）；
（5）余弦曲线y=cosx；
（6）折线y =+1，x≤0，-+1，x>0等等．
关于图象的共同点与不同点，大致可以通过函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面结合图象去探讨． 这类题解题思路多种多样，教学时应充分利用其开放功能，引导学生多角度地进行分析思考，以培养学生思维的发散性、灵活性、创造性． 由于没有教师的权威性结论作为参考，学生就会仁者见仁，智者见智，一个人很难穷尽所有的答案和解题策略，而又缺乏现成可套用的解题模式，因此除了个人的独立思考和积极探索以外，还必须有学生之间、师生之间的群体活动．
综合型开放
综合型开放即只给出一定的情况，其条件、解题策略和结论都要求解题者自己去设定和寻找． 如：设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题． 该题是条件开放，结论也开放，四个论断任三个论断都可作为条件，剩余一个则是结论，条件和结论都是不固定的，是可变的．解答该题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性，有助于培养学生的创新意识，发展创新能力．
开放题在考查学生创新能力方面有独特作用，近几年的高考试题中连续出现具有开放性的题目，开放题的研究已成为数学教育的一个热点，因此从平时的教学中适当引进开放性问题以培养学生这方面的能力． 数学开放题为学生高层次思维的发展提供了一种可能，要求学生有较强的主动参与意识，要求教师有较强的课堂驾驭能力． 只有在教学实践中逐步探索，我们教师才能真正有效地体现数学开放题的教育价值．
关键词：高三数学；复习课；课堂教学模式
数学开放题是相对于传统封闭题而言的，体现在课堂教学上，便是应为学生创设一个有利于交流的开放活动环境． 通过合作、探究，让学生的思维见解、情感体验、意志欲望、行为方式受到尊重，引发他们积极进取和自由探索；同时在问题设计和讨论时保留开放状态，给学生创新思维提供更广阔的数学天地，使学生得到更充分的发展．笔者结合这方面的教学现简述于下．
教师要形成开放的意识
开放题的突出功能是利于培养学生发散思维和创造能力，激发学生独立思考和创新的意识． 作为特殊形式的数学问题在培养创造能力方面具有巨大的教育价值．教师应主动研究开放题，构建数学开放题并用之于教学． 教师在这样的课堂教学中难以使用“灌输式”的教学方法，学生主动参与解题活动不但成为可能，而且是非常自然和必要的． 一些学生希望与教师一起分享这种成功的喜悦，这就使课堂教学自然地走向了以学生主动参与为主要特征的开放式的教学． 在开放题教学中，教师除要具备传统意义上的那些专业素质外，还应具有创造能力和自觉反省自身数学观、教育价值观和教学观的意识．
开放题的教学探讨
开放题旨在开放学生的思路，开放学生的潜能，开放学生的创造力． 开放问题的构建无论是改造陈题，还是自创新题，编制数学开放题都要围绕使用开放题的目的进行，开放题应当随着使用目的和对象的变化而改变，应作为常规问题的补充，适合学生的开放题应具备起点低、入口宽、可拓展性强的特点． 怎样设计开放题用于教学呢？现从四个方面来探讨．
1． 条件型开放
条件开放即未知的要素是条件．此类题中往往给出结论，要求从各种不同的角度去寻求这个结论成立的条件． 如：已知tan（α－β）=，________，且α，β∈（0，π），求α－2β的值． 由于印刷原因有一条件无法认清，但最后的答案是－π，根据题意及结果，请你推测空格处的条件．
简析：本题是典型的条件开放题，需要执果索因，答案较多． 我们可以从结论逆推而上，得出在结论成立的前提下此题还缺少的是哪个条件． tanα=或tanβ=－都可以作为条件填入空格处．?摇
2． 结论型开放
结论开放即未知的要素是判断． 这类题就是给出一定的条件，满足条件的结论不止一个，具有发散性、探究性、层次性、创新性等特性． 如：给出一个数列｛ａｎ｝的前三项1，3，5．
（1）请你写出这个数列的前6项；
（2）请你构造出数列｛ａｎ｝不少于3个不同的通项公式．
简析：（1）数列｛ａｎ｝只有前三项是确定的，实际上从第四项起，各项均可适当取值，具有很大自由度，只要保持某种“序”，这一串数a1，a2，a3，…，an，…就是数列，于是我们可根据1，3，5这三个数的特征、联系和发展趋势，去考虑数列｛ａｎ｝的第4项、第5项、第6项……，得出一些不同的数列：
①如数列从第3项起，以后各项都是常数5，则数列｛ａｎ｝为1，3，5，5，5，…．
②如数列是周期为三项的周期数列，则数列｛ａｎ｝为1，3，5，1，3，5，1，3，5，…．
③如数列是等差数列，则数列｛ａｎ｝为1，3，5，7，9，…．
④如数列除a1=1，从第2项起依次为从小到大排列的奇素数，则数列｛ａｎ｝为1，3，5，7，11，…． 我们还可以从不同角度给出一些不同的数列．
（2）让我们构造数列｛ａｎ｝的不同的通项公式，设a1=1，a2=3，a3=5.
①若｛ａｎ｝为等差数列，则an=2n－1（n=1，2，3，…）．
②若数列从第3项起，以后各项都是常数5，则数列an=5（n=3，4，5，…）．
③从递推角度考虑，｛ａｎ｝中a1=1，a3=3，为使a3=5，可构想a3=2a1+a2，从而得an=2an-2+an-1（n=3，4，5，…）；若构想a3=2a2－a1，就可得an=2an-1－an-2（n=3，4，5，…）；若构想a3=6a2－13a1，就可得an=6an-1－13an-2（n=3，4，5，…）．
本题是典型的结论开放题，从已知的数据推测这些数据的变化规律，这是科学发现中非常重要的能力． 在激发学生学习的兴趣，树立学习的自信心，凸显学生的主体意识，形成独立的人格和克服困难、勇于探索的意志品质，培养群体意识、合作精神和创新意识，形成正确的科学态度等方面，都具有极大的优势．
策略型开放
?摇策略开放即未知的要素是推理．这类开放题解决问题的方法与思路不唯一，但结果却能殊途同归． 如：已知平面坐标系xOy中三点A（0，1），B（2，0），C（-2，0），请你构造一些函数关系式或曲线方程，使其图象或方程的曲线经过A，B，C三点． 试尽可能多地找出这些图象或曲线的共同点和不同点．
简析：可以根据你的知识水平，发挥你的想象力，从不同角度去思考，如：二次函数；指数函数；对数函数；幂函数；三角函数；圆、椭圆、双曲线和抛物线；再复杂的还有分段函数、带绝对值符号的菱形方程等． 显然本题的答案有无穷多个，下面是一些例子：（图略）
（1）二次函数y=－x2+1；
（2）圆x2+y+2=；
（3）椭圆+y2=1；
（4）双曲线一支（y-2）2－=1（y≤1）；
（5）余弦曲线y=cosx；
（6）折线y =+1，x≤0，-+1，x>0等等．
关于图象的共同点与不同点，大致可以通过函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等方面结合图象去探讨． 这类题解题思路多种多样，教学时应充分利用其开放功能，引导学生多角度地进行分析思考，以培养学生思维的发散性、灵活性、创造性． 由于没有教师的权威性结论作为参考，学生就会仁者见仁，智者见智，一个人很难穷尽所有的答案和解题策略，而又缺乏现成可套用的解题模式，因此除了个人的独立思考和积极探索以外，还必须有学生之间、师生之间的群体活动．
综合型开放
综合型开放即只给出一定的情况，其条件、解题策略和结论都要求解题者自己去设定和寻找． 如：设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题． 该题是条件开放，结论也开放，四个论断任三个论断都可作为条件，剩余一个则是结论，条件和结论都是不固定的，是可变的．解答该题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性，有助于培养学生的创新意识，发展创新能力．
开放题在考查学生创新能力方面有独特作用，近几年的高考试题中连续出现具有开放性的题目，开放题的研究已成为数学教育的一个热点，因此从平时的教学中适当引进开放性问题以培养学生这方面的能力． 数学开放题为学生高层次思维的发展提供了一种可能，要求学生有较强的主动参与意识，要求教师有较强的课堂驾驭能力． 只有在教学实践中逐步探索，我们教师才能真正有效地体现数学开放题的教育价值．