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摘 要： 参照价格是指消费者依据产品的历史价格主观形成的基准价格。参照价格随时间变化，且参照价格的变化与当时的价格和参照价格有关。在双渠道下，消费者对不同的渠道具有不同偏好，且需求随时间的变化与价格和参照价格有关。采用控制论方法，分别得到了单渠道和双渠道结构下的最优价格变化路径，以及参照价格的变化路径，并得出如下结论：1）稳态价格与初始参照价格无关。当初始参照价格高于稳态价格时，价格函数随时间递减，直至达到稳态价格;当初始参照价格低于稳态价格时，价格函数随时间递增，直至达到稳态价格。2）在两种策略中，稳态价格均随着参照价格弹性系数、折扣因子和记忆因子的增大而变小。
关键词： 双渠道;参照价格;动态定价;稳态价格
中图分类号： F 76
文献标志码： A
Dynamic Pricing Policy for a Dual-channel SupplyChain Considering Reference Price
DUAN Yongrui RUAN Xiaoman DAI Xiangyan
（School of Economics and Management， Tongji Unversity， Shanghai 200092， China）
Abstract： Reference price refers to the benchmark price subjectively formed by consumers according to the historical price of a product. The reference price is changing over time， and the change rate of reference price is dependent on both the price and reference price. In the dual channel case， the consumer’s preference on the two channels is different. And the change of demand over time is related to price and reference price. By using the cybernetics method， the optimal price change path and the reference price change path under single channel and double channel structure are derived. The main conclusions are as follows： 1） the steady state price is independent of the initial reference price. When the initial reference price is higher than the steady-state price， the sale price function will decrease gradually and reach the steady price at last. When the initial reference price is lower than the steady price， the sale price function will increase until it reaches the stable price. 2） The steady state price is decreasing in the reference price elasticity coefficient， discount factor and memory factor.
Key words： dual-channel; reference price; dynamic pricing strategy; steady-state price
1 問题描述
考虑由单一制造商和单一零售商组成的两级供应链系统销售单一产品，产品的销售渠道分为传统的线下渠道和线上渠道，假设制造商和零售商双方信息是完全的。消费者在做购买决策时，不仅要考虑产品的销售价格，还会考虑其主观形成的参照价格。参照价格与产品过去的销售价格、同类产品的销售价格、消费者对该产品的认知等因素有关。
考虑参照价格的双渠道供应链销售系统如图1所示。
在前人的研究文献中，参照价格依赖产品的过去销售价格并且随着时间变化。当消费者遇到一个基于记忆效应的新价格时，会随之调整主观形成的参照价格。记忆效应是指消费者对过去销售价格的记忆。参照Mazumdar等（2005）和Zhang等（2013）的研究，本文将采用下面的微分方程表示参照价格随时间的变化：
r′（t）=e（p（t）-r（t））
其中：r′（t）=d（r（t））/dt;r（t）表示消费者的参照价格;p（t）表示产品销售价格;e表示记忆因子且0#e，即消费者对过去产品的记忆能力。假设消费者最初的参照价格为r（0），即r（0）=r0。r0可能由多种因素决定，比如消费者对产品的认知能力、相似产品的价格等。此外，记忆因子e越大，表明消费者对产品过去价格的记忆能力越强，也就是说消费者对产品的忠诚度越低。
参照Fibich等（2003）和Zhang等（2013）的研究，本文运用线性函数表示参照价格与销售价格的差额和产品需求的关系。
线上渠道需求函数为
d1 （t）=ρa-bp1 （t）+β[r1 （t）-p1 （t）]（1） 线下渠道需求函数为
d2 （t）=（1-ρ）a-bp2 （t）+β[r2 （t）-p2 （t）]（2）
其中：r和1-r分别表示消费者对线上渠道和线下渠道的接受程度，0<r<1;a表示产品的价格和服务水平均为0时的市场规模，b表示本渠道价格对需求的影响因子;p1 （t）和p2 （t）分别为线上渠道和线下渠道在t时刻的销售价格;r1 （t）和r2 （t）分别为线上渠道和线下渠道的参照价格。假设参照价格对线上渠道和线下渠道需求的影响相同，均为b，b3 0。b越大表明消费者对参照价格与销售价格差额越敏感，b=0表明参照价格对产品需求不存在影响。当r（t）3，p（t），即消费者感受到产品价格较低时，产品需求增加;反之，当r（t）<p（t），即消费者感觉到产品价格较高时，产品需求变小。在本节中，为简化运算，不考虑交叉价格的影响。
2 建模和分析
本节研究不同的渠道结构下考虑参照价格的动态定价策略。首先考虑单渠道时的定价策略，然后在此基础上考虑双渠道集中策略下的定价问题。运用最优控制方法，得到了两种策略下的最优价格函数。
2.1 单渠道供应链动态定价策略
假设制造商不开通线上渠道，仅通过线下渠道销售其产品。假设供应链采用集中式决策，目标是使整个供应链系统在无限时间区间上的利润最大。
需求函数为
d（t）=a-bp（t）+b（r（t）-p（t））
制造商利润函数为
π1=∫+∞0e-τt[（p（t）-w（t））d（t）]dt
其中，t为折现因子。
零售商利润函数为
π2=∫+∞0e-τt[（w（t）-c）d（t）]dt
因此，单渠道的定价模型为
maxp（t）30p（p）=p1+p2=0+e-tt[（p（t）-c）d（t）]dt
s.t. r′（t）=e（p（t）-r（t））， r（0）=r0（3）
模型（3）为动态最优控制问题，价格p（t）为决策变量，参照价格r（t）为状态变量，因此本文应用最优控制的方法研究模型（3）所给出的定价问题。
为此，首先构造哈密尔顿函数：
H（p，r，l）=（p（t）-c）[a-bp（t）+b（r（t）-p（t））]+l（t）e[p（t）-r（t）]（4）
可得如下最优控制条件：
H（p，r，l）p=0
l′（t）=tl-H（p，r，l）r
r′（t）=H（p，r，l）l
r（0）=r0，l（0）=0（5）
通过求解，我们能得出下面的结论：
性质1 若制造商采用单渠道，最优销售价格路径为：
pb（t）=p0b-（r0-p0b）（1+me）emt（6）
参照价格路径为：
rb（t）=p0b-（r0-p0b）emt（7）
其中
pb0=（t+e）a+（b+b）（t+he）c（t+e）b+（b+b）（t+he）（8）
m=t2-（t2+e）（t2+he），h=bb+b（9）
由性质1可以得到如下结论：
性质2 在单渠道中价格和参照价格最终趋近于系统的稳态价格p0b。当初始参照价格大于稳态价格，即r03>p0b时，最優销售价格随着时间递减，最终达到稳态价格p0b;当r0<p0b时，最优销售价格随着时间递增，最终达到稳态价格p0b。
由性质2可知，当r03>p0b时，销售价格从一个较高值逐渐递减，直至达到稳态，此时应该采用撇脂定价策略。当r0<p0b时，销售价格从一个较低值逐渐递增，直至达到稳态，此时应采用渗透定价策略。因此，制造商在投放新产品前，应调研消费者初始参照价格，并根据初始参照价格合理制定最优价格策略。
性质3 p0be<0，p0bb>0，p0br0=0
由性质3可知，e越大，即消费者对参照价格与销售价格差额r（t）-p（t）越敏感，稳态销售价格越低;b越大，即消费者对产品过去价格记忆能力越强，稳态销售价格越高;折现因子越大，稳态销售价格越低。稳态销售价格和初始参照价格无关，事实上当系统达到稳态时，产品的销售价格等于参照价格，此时参照价格不再对产品的需求有影响。
2.2 双渠道供应链动态定价策略
本节考虑由一个制造商和一个零售商组成的双渠道供应链系统，制造商不仅通过零售商销售其产品，还开通了线上渠道直接销售其产品。本节主要研究线上渠道和线下渠道在无限时间水平上的动态定价问题。假设制造商采取集中式决策，目标是使整个系统的利润最大。
假设线上渠道的价格为p1（t），线上渠道的价格为p2（t），则制造商利润函数为
π1=∫+∞0e-τt[p1（t）- c]d1（t）+（w-c）d2（t）dt
零售商利润函数为
π2=∫+∞0e-τt（p2（t）-w）d2dt
在集中式决策下总利润函数为
p（p1（t），p2（t））=p1+p2=+0e-tt[（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2]dt
令r1（t）为线下渠道的参照价格函数，r2（t）为线上渠道的参照价格函数。参照Mazumdar等（2005）和Zhang等（2013），线下和线上渠道的参照价格的变化可表示为：
r′1（t）=e（p1（t）-r1（t））（10） r′2（t）=e（p2（t）-r2（t））（11）
由于两个决策变量，求解过程较为复杂。为简化运算，本文假设p2（t）=μp1（t），r2（t）=μr1（t），0#m=1，即线上渠道价格和线下渠道价格之比为定值。此时式（10）和式（11）为同一个方程。特别地，当m=1时，线上渠道和线下渠道销售价格相同。服装行业的许多企业为维护品牌形象，选择线上渠道和线下渠道同价策略，如Nike、Zara、Belly等。
因此，双渠道结构下的定价模型为：
maxp1（t），p2（t）3cp（p1（t），p2（t））=0+e-tt[（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2]dt
s.t. r′1（t）=e（p1（t）-r1（t））， r1（0）=r0（12）
首先构造哈密尔顿函数：
H（p1，p2，r，l）=（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2+le（p1（t）-r1（t））
可得如下最优控制条件：
H（p1，p2，r，l）p=0
l′（t）=tl-H（p1，r，l）r
r1′（t）=H（p1，r，l）l
r1（0）=r0，l（0）=0
p2（t）=mp1（t），r2（t）=mr1（t），0#m=1
通过求解，可得性质4。
性质4 在双渠道结构中，制造商采用集中式决策，则线下渠道的最优价格函数为
p1d（t）=p0d-（b2（b+b）-（b+2b）e2+2（b+b）me2（b+b）（1+m2）b（b+m2））（r0-F）emt
线上渠道的最优价格函数为
p2d（t）=mp0d-m（b2（b+b）-（b+2b）e2+2（b+b）me2（b+b）（1+m2）b（b+m2））（r0-F）emt
其中，
p0d=ra+（1-r）am+bF（1+m2）+（bc+bc）（1+m）+Ee+bF（1+m2）2（b+b）（1+m2）;
m=11（b+b）（1+m2）（-b+b（b+2bt+2bt-1）m2+（2b+2b）t-（（bm2+bm2+2bt+2bm2t+b（-1+m2）t））2+4（1+m2）（b2（-2+（3+4m2）+4（1+m2）t）-（bò-2b）（-m2+2b（1+m2）（+t））+b（-bò（-1+2（1+m2）+2（1+m2）t）+（-（2+m2）+b（-2+8（1+m2）+8（1+m2）t）））））1/2;
E=[（b+2b-b）（b+m2）（am+bc+bc+bcm+bcm-amr+ra）]/[（（4b2+6bb+4b2）et+（4b2-2bb）e2）（1+m2）+（2bb+b2）e2（3+4m2）-2（be2+b2e2+b2et）m2-（e2+2et）b2];
F=[（am+bc+bc+bc+bcm+bcm-amr+ra）（（-1+m2）+2b（1+m2）（+t）+（b2+2m2+2（1+m2）t））]/[（1+m2）（（（4b2+6bb+4b2）et+（4b2-2bb）e2）（1+m2）+（2bb+b2）e2（3+4m2）-2（be2+b2e2+b2et）m2-（e2+2et）b2）]
性质5 在双渠道供应链动态定价策略中，当r3>F时，线下渠道最优销售价格函数随时间递减，最终达到稳态价格p0d，线上渠道最优价格函数也随时间递减，最终达到稳态价格mp0d。当r0<F时，线下渠道最优销售价格函数随时间递增，最终达到稳态价格p0d，线上渠道最优价格也随时间递增，最终达到稳态价格mp0d。
由性质5可知，当r3>F时，线上渠道销售价格和线下渠道销售价格均从一个较高值逐渐递减，直至达到稳态，此时两个渠道均采用撇脂定价策略。当r0<F时，双渠道销售价格从一个较低值逐渐递增，直至达到稳态，此时两个渠道均采用渗透价格策略。因此，制造商在投放新产品前，应调研消费者初始参照价格，根据初始参照价格合理制定价格策略。
3 算例分析
本节主要通过算例分析验证模型的有效性。参考Zhang等（2014）的研究，参数设置如下：市场规模a=1000，制造商的生产成本c=30，销售价格弹性系数参照价格弹性系数为b=7，折扣因子t=0.2，记憶因子e=0.2。
（1）最优价格函数
在单渠道动态定价策略中，令r0=83.9，pb（t）=82.9+0.3e-0.14t;令r0=81.9，pb（t）=82.9-0.3e-0.14t。最优价格函数如图2所示：
在双渠道动态定价策略中，令r0=71.5，线下渠道的最优价格函数为pd1（t）=70.5+0.2e-0.2t。
令r0=69.5时，线上渠道的最优价格函数为pd1（t）=70.5-0.2e-0.2t，如图3所示。
由图2和图3可知，在单渠道动态定价策略和双渠道动态定价策略中，当初始参照价格r0大于稳态价格时，销售价格函数随着时间递减，直至达到稳态价格。当初始参照价格r0小于稳态价格时，销售价格函数随着时间递增，直至达到稳态价格。对于任一给定的初始参照价格，销售价格函数都将会达到稳态，稳态价格相同，并且与初始参照价格无关。
（2）b对销售价格函数的影响
由图4和图5可知，在单渠道动态定价策略和双渠道动态定价策略中，在其他参数不变的情况下，参照价格弹性系数越大，销售价格越低。即消费者对参照价格与销售价格的差额越敏感，最优销售价格越低。 （3）t对销售价格函数的影响
由图6和图7可知，在单渠道动态定价策略和双渠道动态定价策略中，在其他参数不变的情况下，折扣因子越大，稳态销售价格越低，折扣因子越小，销售价格越大。同时，折扣因子越小，价格变化越大，而折扣因子越大，价格变化越小。
（4）e对销售价格函数的影响
由图8和图9可知，在单渠道和双渠道供应链动态定价策略中，最优价格均随着记忆因子的增大而变小。即消费者对过去价格的记忆能力越强，品牌忠诚度越低，稳态价格越低;反之，消费者对过去产品价格的记忆能力越弱，品牌忠诚度越高，稳态价格越高。
4 结论
本文主要研究了单渠道动态定价策略和双渠道供应链在集中式决策下的动态定价策略。考虑参照价格对需求的影响，参照价格随时间变化，且参照价格的变化与当时的价格和参照价格有关。本文分别构建了单渠道和双渠道的动态定价模型，应用控制论方法对模型进行求解，得知两种策略下的最优价格路径和参照价格路径。通过对最优价格的分析得到了：稳态价格与初始参照价格的取值无关，对于任意给定的初始参照价格，销售价格函数都将会达到稳态，并且稳态价格相同。当初始参照价格高于稳态价格时，销售价格路径随时间递减，直至达到稳态价格。反之，当初始参照价格低于稳态价格时，销售价格路径随时间递增，直至达到稳态价格。此外，稳态价格会随着参照价格弹性系数、折扣因子和记忆因子的增大而变小，并应用算例验证了上述结论。
本文假设市场上只存在单一产品、单一制造商和零售商，而现实中的消费市场往往存在多种替代性产品、多个制造商和零售商，很多零售商也开通了自己的线上渠道。因此，考虑多个制造商和零售商以及多种替代产品的多渠道定价问题是下一步研究的方向。本文假设所有的消费者对同一产品有着相同的参照价格和参照价格弹性系数。事实上，不同的消费者对同一产品有着不同的参照价格，对参照价格与销售价格的差额敏感度也不同。因此，未来的研究中可以将消费者在参照效应上的异质性考虑到定价策略中。
参考文献：
[1] ZHANG J， CHIANG W K. Durable goods pricing with reference price effects[J]. Omega， 2020， 91： 102018.
[2] KALYANARAM G， WINER R S. Empirical generalizations from reference price research[J]. Marketing Science， 1995， 14（增刊3）：161-161.
[3] MAZUMDAR T， SINHA I. Reference price research： review and proposition[J]. Marketing， 2005， 69：84-102.
[4] CAO P， ZHAO N， WU J. Dynamic pricing with Bayesian demand learning and reference price effect[J]. European Journal of Operational Research， 2019， 279（2）： 540-556.
[5] NIEDRICH R W， SUBHASHSHARMA， WEDELL D H. Reference price and price perceptions： a comparison of alternative models[J]. Journal of Consumer Research， 2001， 28（3）：339-54.
[6] 蘇凇， 黄劲松. 参照价格理论研究新进展[J]. 经济学动态， 2013（3）：148-157.
[7] BAUCELLS M， WEBER M， WELFENS F. Reference-point formation and updating[J]. Mathematics of Operations Research， 2011， 57（3）：506-519.
[8] ARKES H R， HIRSHLEIFER D， JIANG D， et al. A cross-cultural study of reference point adaptation： evidence from China， Korea， and the US [J]. Organizational Behavior & Human Decision Processes， 2010， 112（2）：99-111.
[9] LI R， TENG J T. Pricing and lot-sizing decisions for perishable goods when demand depends on selling price， reference price， product freshness， and displayed stocks[J]. European Journal of Operational Research， 2018， 270（3）： 1099-1108.
[10] LI J， ZHANG Y. The side with larger network externality should be targeted aggressively？ Monopoly pricing， reference price and two-sided markets[J]. Electronic Commerce Research and Applications， 2020， 43： 100995. [11] ZHAO N， WANG Q， CAO P， et al. Dynamic pricing with reference price effect and price-matching policy in the presence of strategic consumers[J]. Journal of the Operational Research Society， 2019：1-15.
[12] CHEN X， ZHANG C， YANG H. A revenue management pricing model with reference effects[C]∥International Conference on Service Systems and Service Management. IEEE， 2015：1-6.
[13] HU Z， CHEN X， HU P. Technical note： dynamic pricing with gain-seeking reference price effects[J]. Operations Research， 2016， 64（1）：150-157.
[14] ZHANG J， CHIANG W K， LIANG L. Strategic pricing with reference effects in a competitive supply chain[J]. Omega， 2014， 44（2）：126-135.
[15] POPESCU I， WU Y. Dynamic pricing strategies with reference effects[J]. Operations Research， 2007， 55（3）：413-429.
[16] KOPALLE P K， RAO A G， ASSUNO J L. Asymmetric reference price effects and dynamic pricing policies[J]. Marketing Science， 1996， 15（1）：60-85.
[17] FIBICH G， GAVIOUS A， LOWENGART O. Explicit solutions of optimization models and differential games with nonsmooth （asymmetric） reference-price effects[J]. Operations Research， 2003， 51（5）：721-734.
[18] COLOMBO L， LABRECCIOSA P. Dynamic oligopoly pricing with reference-price effects[J]. European Journal of Operational Research， 2020.
[19] GLER M G， BILGI T， GLL R. Joint pricing and inventory control for additive demand models with reference effects[J]. Annals of Operations Research， 2015， 226（1）：255-276.
[20] JASIN S， SINHA A. The reference effects on a retailer’s dynamic pricing and inventory strategies with strategic consumers[J]. Operations Research， 2015， 63（6）： 1336-1351.
[21] HE J， LEI Y， FU X. Do consumer’s green preference and the reference price effect improve green innovation？ A theoretical model using the food supply chain as a case[J]. International Journal of Environmental Research and Public Health， 2019， 16（24）： 5007.
[22] ZHANG J， GOU Q， LIANG L， et al. Supply chain coordination through cooperative advertising with reference price effect[J]. Omega， 2013， 41（2）：345-353.
收稿日期：2021-03-02
基金項目：国家自然科学基金项目（71771179;71532015;71371139）
作者简介：段永瑞（1975—），女，山西太原人，教授，博导，研究方向：服务运作管理，E-mail：yrduan@163.com。
关键词： 双渠道;参照价格;动态定价;稳态价格
中图分类号： F 76
文献标志码： A
Dynamic Pricing Policy for a Dual-channel SupplyChain Considering Reference Price
DUAN Yongrui RUAN Xiaoman DAI Xiangyan
（School of Economics and Management， Tongji Unversity， Shanghai 200092， China）
Abstract： Reference price refers to the benchmark price subjectively formed by consumers according to the historical price of a product. The reference price is changing over time， and the change rate of reference price is dependent on both the price and reference price. In the dual channel case， the consumer’s preference on the two channels is different. And the change of demand over time is related to price and reference price. By using the cybernetics method， the optimal price change path and the reference price change path under single channel and double channel structure are derived. The main conclusions are as follows： 1） the steady state price is independent of the initial reference price. When the initial reference price is higher than the steady-state price， the sale price function will decrease gradually and reach the steady price at last. When the initial reference price is lower than the steady price， the sale price function will increase until it reaches the stable price. 2） The steady state price is decreasing in the reference price elasticity coefficient， discount factor and memory factor.
Key words： dual-channel; reference price; dynamic pricing strategy; steady-state price
1 問题描述
考虑由单一制造商和单一零售商组成的两级供应链系统销售单一产品，产品的销售渠道分为传统的线下渠道和线上渠道，假设制造商和零售商双方信息是完全的。消费者在做购买决策时，不仅要考虑产品的销售价格，还会考虑其主观形成的参照价格。参照价格与产品过去的销售价格、同类产品的销售价格、消费者对该产品的认知等因素有关。
考虑参照价格的双渠道供应链销售系统如图1所示。
在前人的研究文献中，参照价格依赖产品的过去销售价格并且随着时间变化。当消费者遇到一个基于记忆效应的新价格时，会随之调整主观形成的参照价格。记忆效应是指消费者对过去销售价格的记忆。参照Mazumdar等（2005）和Zhang等（2013）的研究，本文将采用下面的微分方程表示参照价格随时间的变化：
r′（t）=e（p（t）-r（t））
其中：r′（t）=d（r（t））/dt;r（t）表示消费者的参照价格;p（t）表示产品销售价格;e表示记忆因子且0#e，即消费者对过去产品的记忆能力。假设消费者最初的参照价格为r（0），即r（0）=r0。r0可能由多种因素决定，比如消费者对产品的认知能力、相似产品的价格等。此外，记忆因子e越大，表明消费者对产品过去价格的记忆能力越强，也就是说消费者对产品的忠诚度越低。
参照Fibich等（2003）和Zhang等（2013）的研究，本文运用线性函数表示参照价格与销售价格的差额和产品需求的关系。
线上渠道需求函数为
d1 （t）=ρa-bp1 （t）+β[r1 （t）-p1 （t）]（1） 线下渠道需求函数为
d2 （t）=（1-ρ）a-bp2 （t）+β[r2 （t）-p2 （t）]（2）
其中：r和1-r分别表示消费者对线上渠道和线下渠道的接受程度，0<r<1;a表示产品的价格和服务水平均为0时的市场规模，b表示本渠道价格对需求的影响因子;p1 （t）和p2 （t）分别为线上渠道和线下渠道在t时刻的销售价格;r1 （t）和r2 （t）分别为线上渠道和线下渠道的参照价格。假设参照价格对线上渠道和线下渠道需求的影响相同，均为b，b3 0。b越大表明消费者对参照价格与销售价格差额越敏感，b=0表明参照价格对产品需求不存在影响。当r（t）3，p（t），即消费者感受到产品价格较低时，产品需求增加;反之，当r（t）<p（t），即消费者感觉到产品价格较高时，产品需求变小。在本节中，为简化运算，不考虑交叉价格的影响。
2 建模和分析
本节研究不同的渠道结构下考虑参照价格的动态定价策略。首先考虑单渠道时的定价策略，然后在此基础上考虑双渠道集中策略下的定价问题。运用最优控制方法，得到了两种策略下的最优价格函数。
2.1 单渠道供应链动态定价策略
假设制造商不开通线上渠道，仅通过线下渠道销售其产品。假设供应链采用集中式决策，目标是使整个供应链系统在无限时间区间上的利润最大。
需求函数为
d（t）=a-bp（t）+b（r（t）-p（t））
制造商利润函数为
π1=∫+∞0e-τt[（p（t）-w（t））d（t）]dt
其中，t为折现因子。
零售商利润函数为
π2=∫+∞0e-τt[（w（t）-c）d（t）]dt
因此，单渠道的定价模型为
maxp（t）30p（p）=p1+p2=0+e-tt[（p（t）-c）d（t）]dt
s.t. r′（t）=e（p（t）-r（t））， r（0）=r0（3）
模型（3）为动态最优控制问题，价格p（t）为决策变量，参照价格r（t）为状态变量，因此本文应用最优控制的方法研究模型（3）所给出的定价问题。
为此，首先构造哈密尔顿函数：
H（p，r，l）=（p（t）-c）[a-bp（t）+b（r（t）-p（t））]+l（t）e[p（t）-r（t）]（4）
可得如下最优控制条件：
H（p，r，l）p=0
l′（t）=tl-H（p，r，l）r
r′（t）=H（p，r，l）l
r（0）=r0，l（0）=0（5）
通过求解，我们能得出下面的结论：
性质1 若制造商采用单渠道，最优销售价格路径为：
pb（t）=p0b-（r0-p0b）（1+me）emt（6）
参照价格路径为：
rb（t）=p0b-（r0-p0b）emt（7）
其中
pb0=（t+e）a+（b+b）（t+he）c（t+e）b+（b+b）（t+he）（8）
m=t2-（t2+e）（t2+he），h=bb+b（9）
由性质1可以得到如下结论：
性质2 在单渠道中价格和参照价格最终趋近于系统的稳态价格p0b。当初始参照价格大于稳态价格，即r03>p0b时，最優销售价格随着时间递减，最终达到稳态价格p0b;当r0<p0b时，最优销售价格随着时间递增，最终达到稳态价格p0b。
由性质2可知，当r03>p0b时，销售价格从一个较高值逐渐递减，直至达到稳态，此时应该采用撇脂定价策略。当r0<p0b时，销售价格从一个较低值逐渐递增，直至达到稳态，此时应采用渗透定价策略。因此，制造商在投放新产品前，应调研消费者初始参照价格，并根据初始参照价格合理制定最优价格策略。
性质3 p0be<0，p0bb>0，p0br0=0
由性质3可知，e越大，即消费者对参照价格与销售价格差额r（t）-p（t）越敏感，稳态销售价格越低;b越大，即消费者对产品过去价格记忆能力越强，稳态销售价格越高;折现因子越大，稳态销售价格越低。稳态销售价格和初始参照价格无关，事实上当系统达到稳态时，产品的销售价格等于参照价格，此时参照价格不再对产品的需求有影响。
2.2 双渠道供应链动态定价策略
本节考虑由一个制造商和一个零售商组成的双渠道供应链系统，制造商不仅通过零售商销售其产品，还开通了线上渠道直接销售其产品。本节主要研究线上渠道和线下渠道在无限时间水平上的动态定价问题。假设制造商采取集中式决策，目标是使整个系统的利润最大。
假设线上渠道的价格为p1（t），线上渠道的价格为p2（t），则制造商利润函数为
π1=∫+∞0e-τt[p1（t）- c]d1（t）+（w-c）d2（t）dt
零售商利润函数为
π2=∫+∞0e-τt（p2（t）-w）d2dt
在集中式决策下总利润函数为
p（p1（t），p2（t））=p1+p2=+0e-tt[（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2]dt
令r1（t）为线下渠道的参照价格函数，r2（t）为线上渠道的参照价格函数。参照Mazumdar等（2005）和Zhang等（2013），线下和线上渠道的参照价格的变化可表示为：
r′1（t）=e（p1（t）-r1（t））（10） r′2（t）=e（p2（t）-r2（t））（11）
由于两个决策变量，求解过程较为复杂。为简化运算，本文假设p2（t）=μp1（t），r2（t）=μr1（t），0#m=1，即线上渠道价格和线下渠道价格之比为定值。此时式（10）和式（11）为同一个方程。特别地，当m=1时，线上渠道和线下渠道销售价格相同。服装行业的许多企业为维护品牌形象，选择线上渠道和线下渠道同价策略，如Nike、Zara、Belly等。
因此，双渠道结构下的定价模型为：
maxp1（t），p2（t）3cp（p1（t），p2（t））=0+e-tt[（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2]dt
s.t. r′1（t）=e（p1（t）-r1（t））， r1（0）=r0（12）
首先构造哈密尔顿函数：
H（p1，p2，r，l）=（p1（t）-c）d1+（p2（t）-c）d2+le（p1（t）-r1（t））
可得如下最优控制条件：
H（p1，p2，r，l）p=0
l′（t）=tl-H（p1，r，l）r
r1′（t）=H（p1，r，l）l
r1（0）=r0，l（0）=0
p2（t）=mp1（t），r2（t）=mr1（t），0#m=1
通过求解，可得性质4。
性质4 在双渠道结构中，制造商采用集中式决策，则线下渠道的最优价格函数为
p1d（t）=p0d-（b2（b+b）-（b+2b）e2+2（b+b）me2（b+b）（1+m2）b（b+m2））（r0-F）emt
线上渠道的最优价格函数为
p2d（t）=mp0d-m（b2（b+b）-（b+2b）e2+2（b+b）me2（b+b）（1+m2）b（b+m2））（r0-F）emt
其中，
p0d=ra+（1-r）am+bF（1+m2）+（bc+bc）（1+m）+Ee+bF（1+m2）2（b+b）（1+m2）;
m=11（b+b）（1+m2）（-b+b（b+2bt+2bt-1）m2+（2b+2b）t-（（bm2+bm2+2bt+2bm2t+b（-1+m2）t））2+4（1+m2）（b2（-2+（3+4m2）+4（1+m2）t）-（bò-2b）（-m2+2b（1+m2）（+t））+b（-bò（-1+2（1+m2）+2（1+m2）t）+（-（2+m2）+b（-2+8（1+m2）+8（1+m2）t）））））1/2;
E=[（b+2b-b）（b+m2）（am+bc+bc+bcm+bcm-amr+ra）]/[（（4b2+6bb+4b2）et+（4b2-2bb）e2）（1+m2）+（2bb+b2）e2（3+4m2）-2（be2+b2e2+b2et）m2-（e2+2et）b2];
F=[（am+bc+bc+bc+bcm+bcm-amr+ra）（（-1+m2）+2b（1+m2）（+t）+（b2+2m2+2（1+m2）t））]/[（1+m2）（（（4b2+6bb+4b2）et+（4b2-2bb）e2）（1+m2）+（2bb+b2）e2（3+4m2）-2（be2+b2e2+b2et）m2-（e2+2et）b2）]
性质5 在双渠道供应链动态定价策略中，当r3>F时，线下渠道最优销售价格函数随时间递减，最终达到稳态价格p0d，线上渠道最优价格函数也随时间递减，最终达到稳态价格mp0d。当r0<F时，线下渠道最优销售价格函数随时间递增，最终达到稳态价格p0d，线上渠道最优价格也随时间递增，最终达到稳态价格mp0d。
由性质5可知，当r3>F时，线上渠道销售价格和线下渠道销售价格均从一个较高值逐渐递减，直至达到稳态，此时两个渠道均采用撇脂定价策略。当r0<F时，双渠道销售价格从一个较低值逐渐递增，直至达到稳态，此时两个渠道均采用渗透价格策略。因此，制造商在投放新产品前，应调研消费者初始参照价格，根据初始参照价格合理制定价格策略。
3 算例分析
本节主要通过算例分析验证模型的有效性。参考Zhang等（2014）的研究，参数设置如下：市场规模a=1000，制造商的生产成本c=30，销售价格弹性系数参照价格弹性系数为b=7，折扣因子t=0.2，记憶因子e=0.2。
（1）最优价格函数
在单渠道动态定价策略中，令r0=83.9，pb（t）=82.9+0.3e-0.14t;令r0=81.9，pb（t）=82.9-0.3e-0.14t。最优价格函数如图2所示：
在双渠道动态定价策略中，令r0=71.5，线下渠道的最优价格函数为pd1（t）=70.5+0.2e-0.2t。
令r0=69.5时，线上渠道的最优价格函数为pd1（t）=70.5-0.2e-0.2t，如图3所示。
由图2和图3可知，在单渠道动态定价策略和双渠道动态定价策略中，当初始参照价格r0大于稳态价格时，销售价格函数随着时间递减，直至达到稳态价格。当初始参照价格r0小于稳态价格时，销售价格函数随着时间递增，直至达到稳态价格。对于任一给定的初始参照价格，销售价格函数都将会达到稳态，稳态价格相同，并且与初始参照价格无关。
（2）b对销售价格函数的影响
由图4和图5可知，在单渠道动态定价策略和双渠道动态定价策略中，在其他参数不变的情况下，参照价格弹性系数越大，销售价格越低。即消费者对参照价格与销售价格的差额越敏感，最优销售价格越低。 （3）t对销售价格函数的影响
由图6和图7可知，在单渠道动态定价策略和双渠道动态定价策略中，在其他参数不变的情况下，折扣因子越大，稳态销售价格越低，折扣因子越小，销售价格越大。同时，折扣因子越小，价格变化越大，而折扣因子越大，价格变化越小。
（4）e对销售价格函数的影响
由图8和图9可知，在单渠道和双渠道供应链动态定价策略中，最优价格均随着记忆因子的增大而变小。即消费者对过去价格的记忆能力越强，品牌忠诚度越低，稳态价格越低;反之，消费者对过去产品价格的记忆能力越弱，品牌忠诚度越高，稳态价格越高。
4 结论
本文主要研究了单渠道动态定价策略和双渠道供应链在集中式决策下的动态定价策略。考虑参照价格对需求的影响，参照价格随时间变化，且参照价格的变化与当时的价格和参照价格有关。本文分别构建了单渠道和双渠道的动态定价模型，应用控制论方法对模型进行求解，得知两种策略下的最优价格路径和参照价格路径。通过对最优价格的分析得到了：稳态价格与初始参照价格的取值无关，对于任意给定的初始参照价格，销售价格函数都将会达到稳态，并且稳态价格相同。当初始参照价格高于稳态价格时，销售价格路径随时间递减，直至达到稳态价格。反之，当初始参照价格低于稳态价格时，销售价格路径随时间递增，直至达到稳态价格。此外，稳态价格会随着参照价格弹性系数、折扣因子和记忆因子的增大而变小，并应用算例验证了上述结论。
本文假设市场上只存在单一产品、单一制造商和零售商，而现实中的消费市场往往存在多种替代性产品、多个制造商和零售商，很多零售商也开通了自己的线上渠道。因此，考虑多个制造商和零售商以及多种替代产品的多渠道定价问题是下一步研究的方向。本文假设所有的消费者对同一产品有着相同的参照价格和参照价格弹性系数。事实上，不同的消费者对同一产品有着不同的参照价格，对参照价格与销售价格的差额敏感度也不同。因此，未来的研究中可以将消费者在参照效应上的异质性考虑到定价策略中。
参考文献：
[1] ZHANG J， CHIANG W K. Durable goods pricing with reference price effects[J]. Omega， 2020， 91： 102018.
[2] KALYANARAM G， WINER R S. Empirical generalizations from reference price research[J]. Marketing Science， 1995， 14（增刊3）：161-161.
[3] MAZUMDAR T， SINHA I. Reference price research： review and proposition[J]. Marketing， 2005， 69：84-102.
[4] CAO P， ZHAO N， WU J. Dynamic pricing with Bayesian demand learning and reference price effect[J]. European Journal of Operational Research， 2019， 279（2）： 540-556.
[5] NIEDRICH R W， SUBHASHSHARMA， WEDELL D H. Reference price and price perceptions： a comparison of alternative models[J]. Journal of Consumer Research， 2001， 28（3）：339-54.
[6] 蘇凇， 黄劲松. 参照价格理论研究新进展[J]. 经济学动态， 2013（3）：148-157.
[7] BAUCELLS M， WEBER M， WELFENS F. Reference-point formation and updating[J]. Mathematics of Operations Research， 2011， 57（3）：506-519.
[8] ARKES H R， HIRSHLEIFER D， JIANG D， et al. A cross-cultural study of reference point adaptation： evidence from China， Korea， and the US [J]. Organizational Behavior & Human Decision Processes， 2010， 112（2）：99-111.
[9] LI R， TENG J T. Pricing and lot-sizing decisions for perishable goods when demand depends on selling price， reference price， product freshness， and displayed stocks[J]. European Journal of Operational Research， 2018， 270（3）： 1099-1108.
[10] LI J， ZHANG Y. The side with larger network externality should be targeted aggressively？ Monopoly pricing， reference price and two-sided markets[J]. Electronic Commerce Research and Applications， 2020， 43： 100995. [11] ZHAO N， WANG Q， CAO P， et al. Dynamic pricing with reference price effect and price-matching policy in the presence of strategic consumers[J]. Journal of the Operational Research Society， 2019：1-15.
[12] CHEN X， ZHANG C， YANG H. A revenue management pricing model with reference effects[C]∥International Conference on Service Systems and Service Management. IEEE， 2015：1-6.
[13] HU Z， CHEN X， HU P. Technical note： dynamic pricing with gain-seeking reference price effects[J]. Operations Research， 2016， 64（1）：150-157.
[14] ZHANG J， CHIANG W K， LIANG L. Strategic pricing with reference effects in a competitive supply chain[J]. Omega， 2014， 44（2）：126-135.
[15] POPESCU I， WU Y. Dynamic pricing strategies with reference effects[J]. Operations Research， 2007， 55（3）：413-429.
[16] KOPALLE P K， RAO A G， ASSUNO J L. Asymmetric reference price effects and dynamic pricing policies[J]. Marketing Science， 1996， 15（1）：60-85.
[17] FIBICH G， GAVIOUS A， LOWENGART O. Explicit solutions of optimization models and differential games with nonsmooth （asymmetric） reference-price effects[J]. Operations Research， 2003， 51（5）：721-734.
[18] COLOMBO L， LABRECCIOSA P. Dynamic oligopoly pricing with reference-price effects[J]. European Journal of Operational Research， 2020.
[19] GLER M G， BILGI T， GLL R. Joint pricing and inventory control for additive demand models with reference effects[J]. Annals of Operations Research， 2015， 226（1）：255-276.
[20] JASIN S， SINHA A. The reference effects on a retailer’s dynamic pricing and inventory strategies with strategic consumers[J]. Operations Research， 2015， 63（6）： 1336-1351.
[21] HE J， LEI Y， FU X. Do consumer’s green preference and the reference price effect improve green innovation？ A theoretical model using the food supply chain as a case[J]. International Journal of Environmental Research and Public Health， 2019， 16（24）： 5007.
[22] ZHANG J， GOU Q， LIANG L， et al. Supply chain coordination through cooperative advertising with reference price effect[J]. Omega， 2013， 41（2）：345-353.
收稿日期：2021-03-02
基金項目：国家自然科学基金项目（71771179;71532015;71371139）
作者简介：段永瑞（1975—），女，山西太原人，教授，博导，研究方向：服务运作管理，E-mail：yrduan@163.com。