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【中图分类号】G640
物以类聚，类是指具有相似或相同事物的综合，这些事物具有一些共同的特征.当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解.
数学问题也是这样，每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围.在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，有些几何问题由于位置的变化导致形的变化，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决.由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想.
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件.分类讨论的原则是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整.
一、 由于条件不确定导致的分类讨论，这种不确定往往是由于数学概念、定义或已知条件本身引起的.
例1 求 的值.
解：由题意得 ，
二、 由于结论的不确定导致的分类讨论，这涉及到数学运算法则或定理、公式的适用范围，往往比较隐蔽，要求对定理或使用范围非常熟悉.
例2 已知 ，则直线y=px+p一定通过哪些象限？
分析：这里涉及到等比性质的运用：若 ，且 ，则 .在运用的过程中，一定要注意不能遗漏 这个条件.
解：当 时，由等比性质得 ；当 时，则 ， .故直线y=px+p一定通过第二、三象限.
三、 涉及问题中待定参数的变化的讨论
例3 当m为何值时，关于x的方程 有实根？
分析：注意题目的条件中，并没有指明这是个一元二次方程，则要分一元一次方程和一元二次方程来讨论.
解：当m=4时，原方程化为一元一次方程 ，方程有实根；当时m≠4时，原方程是一元二次方程， 。综上所述，当 时，原方程有实数根.
例4 已知一个一次函数 和反比例函数 ，
（1）k满足什么条件时，这两个函数图像有两个交点？
（2）设（1）中两交点为A、B，试比较∠AOB与90°的大小？
解：（1）将 代入 得 ，故 .
（2）当090°.
四、 涉及几何元素位置变化的分类讨论
例5 已知平面直角坐标系内两点A（-2，0），B（4，0），点P在直线 上，且△ABP是直角三角形，求P点的坐标？
分析：条件中A、B是定点，P是动点，由于P的运动导致△ABP的形状的改变，要使得△ABP是直角三角形，就要考虑△ABP中哪一个角是直角.
解：若 ，则 ，代入 得 ，故 ；
若 ，则 ，代入 得 ，故 ；
若 ，则A，B的中点C为（1，0），易证若CP= AB=3， ，
则 ，或 ，故 或 .
综上所述， 或 或 或 .
例6 已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD交于点O，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，求四边形ABCD的面积.
分析：此题的难点在于根据题意，并没有明确是平行四边形还是等腰梯形，故要分类讨论.
解：（1）当四边形ABCD是平行四边形时，过C作CE⊥BD，设OE=a，则因为∠EOC=60°， ，又BC=AD=7，BD=10，故OB=5，在△BEC中， ，即 （舍去），故 .
（2）当四边形ABCD是等腰梯形时，过C作CE⊥AD，则因为OA=OD，∠BOC=120°，故∠CAE=30°，因为AC=BD=10， ，
故 .
综上所述，四边形ABCD的面积是 或 .
五、 依据应用题中题意进行分类讨论
例7 要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠着原有的一堵墙，长为a米，另三边用篱笆围成，篱笆长为35米，求鸡场的长和宽.
分析：本题中，要考虑墙的长度a是否能够够得上围养鸡场.
解：设与墙平行的篱笆长x米，则
化简得 ，解得x=15或x=20，当0 “方以类聚，物以群分”，分类讨论思想不仅要求逻辑性强，知识点全面，综合要求高，而且要求学生有一定的分析能力和分类技巧，是一种基本的数学思想方法.
练习：
1.已知直角三角形的两条边长分别为 和 ，求斜边上的高.
2.当k为何值时，方程 和方程 有公共解？并求出公共解.
3.求证：不论k为何值，方程 总有实数根.
4.已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程，
的两个实数根，第三边BC的长为5，
（1） k为何值时， △ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2） k为何值时， △ABC是等腰三角形，并求周长.
5.已知四边形ABCD，AB=BC= ，∠ABC=60°，∠BAD=90°，且△ACD是一个直角三角形，求AD的长度.
练习解答：
1.当 是斜边时，另一直角边为 ，斜边上的高为 ；当 和 是直角边时，斜边为3，斜边上的高为 .
2.因为 ， 有公共解，故两式相减得 ，
若k=1，则原方程都化为 ；若 ，则代入得k=2，原方程化为 和 ，公共解为 .
3.若 时，原方程化为 ；若 时， ，原方程有两个不相等的实数根，故无论k取何值，原方程都有实数根.
4.（1）由题意得a=5， ，又 ，故
或-5（舍去）.
（2）当BC是底边时，原方程有两个相等的实数根，但 ，舍去；当BC是腰长时，原方程有一个根为5，故 k=3或k=4，若k=3，原方程的另一个解为x=4，能够成三角形，若k=4，原方程的另一个解是x=6，也能够成三角形.综上所述，k=4或3.
5.由题意得D，C在直线AB的同侧，分 和 两种情况讨论，当 时，AD=4；当 时，AD=3.
物以类聚，类是指具有相似或相同事物的综合，这些事物具有一些共同的特征.当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解.
数学问题也是这样，每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围.在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，有些几何问题由于位置的变化导致形的变化，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决.由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想.
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决，以增加题设条件.分类讨论的原则是不重复、不遗漏。讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整.
一、 由于条件不确定导致的分类讨论，这种不确定往往是由于数学概念、定义或已知条件本身引起的.
例1 求 的值.
解：由题意得 ，
二、 由于结论的不确定导致的分类讨论，这涉及到数学运算法则或定理、公式的适用范围，往往比较隐蔽，要求对定理或使用范围非常熟悉.
例2 已知 ，则直线y=px+p一定通过哪些象限？
分析：这里涉及到等比性质的运用：若 ，且 ，则 .在运用的过程中，一定要注意不能遗漏 这个条件.
解：当 时，由等比性质得 ；当 时，则 ， .故直线y=px+p一定通过第二、三象限.
三、 涉及问题中待定参数的变化的讨论
例3 当m为何值时，关于x的方程 有实根？
分析：注意题目的条件中，并没有指明这是个一元二次方程，则要分一元一次方程和一元二次方程来讨论.
解：当m=4时，原方程化为一元一次方程 ，方程有实根；当时m≠4时，原方程是一元二次方程， 。综上所述，当 时，原方程有实数根.
例4 已知一个一次函数 和反比例函数 ，
（1）k满足什么条件时，这两个函数图像有两个交点？
（2）设（1）中两交点为A、B，试比较∠AOB与90°的大小？
解：（1）将 代入 得 ，故 .
（2）当0
四、 涉及几何元素位置变化的分类讨论
例5 已知平面直角坐标系内两点A（-2，0），B（4，0），点P在直线 上，且△ABP是直角三角形，求P点的坐标？
分析：条件中A、B是定点，P是动点，由于P的运动导致△ABP的形状的改变，要使得△ABP是直角三角形，就要考虑△ABP中哪一个角是直角.
解：若 ，则 ，代入 得 ，故 ；
若 ，则 ，代入 得 ，故 ；
若 ，则A，B的中点C为（1，0），易证若CP= AB=3， ，
则 ，或 ，故 或 .
综上所述， 或 或 或 .
例6 已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC与BD交于点O，∠BOC=120°，AD=7，BD=10，求四边形ABCD的面积.
分析：此题的难点在于根据题意，并没有明确是平行四边形还是等腰梯形，故要分类讨论.
解：（1）当四边形ABCD是平行四边形时，过C作CE⊥BD，设OE=a，则因为∠EOC=60°， ，又BC=AD=7，BD=10，故OB=5，在△BEC中， ，即 （舍去），故 .
（2）当四边形ABCD是等腰梯形时，过C作CE⊥AD，则因为OA=OD，∠BOC=120°，故∠CAE=30°，因为AC=BD=10， ，
故 .
综上所述，四边形ABCD的面积是 或 .
五、 依据应用题中题意进行分类讨论
例7 要建一个面积为150平方米的长方形养鸡场，养鸡场的一边靠着原有的一堵墙，长为a米，另三边用篱笆围成，篱笆长为35米，求鸡场的长和宽.
分析：本题中，要考虑墙的长度a是否能够够得上围养鸡场.
解：设与墙平行的篱笆长x米，则
化简得 ，解得x=15或x=20，当0
练习：
1.已知直角三角形的两条边长分别为 和 ，求斜边上的高.
2.当k为何值时，方程 和方程 有公共解？并求出公共解.
3.求证：不论k为何值，方程 总有实数根.
4.已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程，
的两个实数根，第三边BC的长为5，
（1） k为何值时， △ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（2） k为何值时， △ABC是等腰三角形，并求周长.
5.已知四边形ABCD，AB=BC= ，∠ABC=60°，∠BAD=90°，且△ACD是一个直角三角形，求AD的长度.
练习解答：
1.当 是斜边时，另一直角边为 ，斜边上的高为 ；当 和 是直角边时，斜边为3，斜边上的高为 .
2.因为 ， 有公共解，故两式相减得 ，
若k=1，则原方程都化为 ；若 ，则代入得k=2，原方程化为 和 ，公共解为 .
3.若 时，原方程化为 ；若 时， ，原方程有两个不相等的实数根，故无论k取何值，原方程都有实数根.
4.（1）由题意得a=5， ，又 ，故
或-5（舍去）.
（2）当BC是底边时，原方程有两个相等的实数根，但 ，舍去；当BC是腰长时，原方程有一个根为5，故 k=3或k=4，若k=3，原方程的另一个解为x=4，能够成三角形，若k=4，原方程的另一个解是x=6，也能够成三角形.综上所述，k=4或3.
5.由题意得D，C在直线AB的同侧，分 和 两种情况讨论，当 时，AD=4；当 时，AD=3.