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数学教学从根本上来说就是数学本质的教学，这种说法应该是没问题的。但关键是：数学的本质是什么呢？其实像这种终极问题我个人理解它的答案永远也不会有个尽头。因为我们的生活总是在不断向前的，我们的各种认知也是不断扩充的，所有“终极”问题到最后的答案都是相对的；然而终极问题的存在应该还是有意义的，就在于它能激励我们不断思索，不断向前。
古往今来有许多人对“数学的本质是什么”作了隐喻性的回答和实质性的回答，其中现代数学鼻祖康托儿的回答让我们感到无比的惊奇和不解，他说：“数学的本质在于自由。”长期以来，数学的简化和统一、推广和抽象、推理和模型……给我们的感受和印象是数学严谨、严峻、严格，哪有“自由”的气息？但是你如果沉静下来对人类文化发展史和数学发展史作一下研究，再对平日的数学教学作一下反思，你会发现康托儿的回答确实是很有道理的。
数学的本质在于自由，我们可以这样理解：自由就是自然规律及缘由，自然而然的理由。数学本质上是对自然规律只从数量关系和图形形式上进行描述，使用的是数字和符号等数学体系语言。英国数学家罗素说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西时，数学就诞生了。”能把一对雏鸡和两天建立联系的数学思维方式难道还不美妙吗？因此，“美妙数学”是此时我对情感体验的真实写照。
自由与发展，在不同的领域有着不同的理解和定义。我们现在所探讨的，主要是着眼于教育教学意义中的学生的自由发展。我们所理解的自由，是学生能够过自己愿意过的那种学习生活的“可行能力”。那什么是“可行能力”呢？我们可以借鉴阿马蒂亚·森这位经济学家的研究方法，去考察构成学生有价值的学习的功能性活动，比如说听、说、读、写、观察、思考、讨论、合作、实践等等。把这些活动列成一个清单，一个学生的“可行能力”，就是对于这个学生是可行的、列入清单的所有活动的各种组合。假定每个学生都在各种可行的活动组合中，按自己的标准选择最优化的组合，那么一个学生能够实现的自由就能通过他的实际选择而表现出来。
当我们基本明晰了“自由发展”、“美妙数学”等一些概念及其关系时，有一个重要的问题摆在了我们面前，怎样实现“美妙数学”的教学诉求呢？下面我来说说我平时的想法和做法，尝试着回答这个问题。
先来说说指向与非指向自由发展的数学教学，究竟有什么显著的区别？对学生会产生怎样不同的影响？尽管这个问题用文字很难表述清楚，但借助“美妙数学”也许能简单明了阐述。接着再谈谈指向自由发展的数学教学，在面向不同的学习内容和学习目标时，该用怎样的课型去落实？我主要采用三种课型：探究思悟型、体验积累型、练习变式型。为什么用这三种类型呢？《义务教育数学课程标准》2011修订版，把数学教学目标分成结果性目标和过程性目标，为了研究的需要和教学的侧重分别在不同课型中重点落实不同的教学目标。
一、探究思悟型自由发展的数学教学
1.课型主题说明：
以往的教学是以学科知识为基础的，要求学生得出正确结论就行；现在要求关注学生，要关注学生得出结论的过程，探究也就产生了。需要注意的是，我们并非全部否定接受式，接受式对于正确结论的得出，有先入为主的作用，但对于孩子的自由发展限制较多。合理的探究既要促进学生的发展，又能达成相应的教学目标。
2.课型实施框架：
（1）设计探究：是不是所有问题都值得探究；提供什么条件让学生探究；学生探究过程中可能产生什么问题；用什么方法来检验效果；（2）实施探究；（3）检验探究；（4）效果总结与反思。
3.期待达成的学生自由发展的基点：数学基本思想方法的感悟。
二、体验积累型自由发展的数学教学
1.课型主题说明：
体验就是学生在学习活动之中的感受。主要有两种：一类是情感的，一类是美感的，即一为真，一为善。前者思想性较强，后者审美价值较高，但这两类离学生的经验都有距离，教师要考虑的是怎么样才能让学生逐渐体会这一层，并有意识的进行积累。
2.课型实施框架：
（1）体验什么；（2）学生体验可能会面对什么问题；（3）所设计体验的手段（包括检验手段的考虑）；（4）实施；（5）学生实际体验的效果。
3.期待达成的学生自由发展的基点：基本实践经验和思维经验的积累。
三、练习变式型自由发展的数学教学
1.课型主题说明
课堂学习中，练习活动是必不可少的，尤其是练习变式。但值得关注的问题有：（1）如何把握练习的量、度；（2）如何避免机械的练习；（3）练习中如何纠正学生的错误；（4）如何做到练习变式在巩固知识中的作用。
2.课型实施框架：
（1）资料收集；（2）问题讨论；如何寻找结合点？练习的多样性问题？（3）教学设计及研讨；（4）实施；（5）结果分析：通过对学生练习结果的分析来看结合点是否找准？练习是否合适？
3.期待达成的学生自由发展的基点：掌握数学基本知识和熟练基本技能。
有关自由发展的数学教学还有许多问题值得探讨，不过有一点我们已经明确，学生“可行能力”的培育是其心智自由发展的保证，也是其在未来做一个幸福自由人的前提。作为教师结合学科教学在此方面做一些深入研究，确实是很有意义和价值的。
古往今来有许多人对“数学的本质是什么”作了隐喻性的回答和实质性的回答，其中现代数学鼻祖康托儿的回答让我们感到无比的惊奇和不解，他说：“数学的本质在于自由。”长期以来，数学的简化和统一、推广和抽象、推理和模型……给我们的感受和印象是数学严谨、严峻、严格，哪有“自由”的气息？但是你如果沉静下来对人类文化发展史和数学发展史作一下研究，再对平日的数学教学作一下反思，你会发现康托儿的回答确实是很有道理的。
数学的本质在于自由，我们可以这样理解：自由就是自然规律及缘由，自然而然的理由。数学本质上是对自然规律只从数量关系和图形形式上进行描述，使用的是数字和符号等数学体系语言。英国数学家罗素说：“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西时，数学就诞生了。”能把一对雏鸡和两天建立联系的数学思维方式难道还不美妙吗？因此，“美妙数学”是此时我对情感体验的真实写照。
自由与发展，在不同的领域有着不同的理解和定义。我们现在所探讨的，主要是着眼于教育教学意义中的学生的自由发展。我们所理解的自由，是学生能够过自己愿意过的那种学习生活的“可行能力”。那什么是“可行能力”呢？我们可以借鉴阿马蒂亚·森这位经济学家的研究方法，去考察构成学生有价值的学习的功能性活动，比如说听、说、读、写、观察、思考、讨论、合作、实践等等。把这些活动列成一个清单，一个学生的“可行能力”，就是对于这个学生是可行的、列入清单的所有活动的各种组合。假定每个学生都在各种可行的活动组合中，按自己的标准选择最优化的组合，那么一个学生能够实现的自由就能通过他的实际选择而表现出来。
当我们基本明晰了“自由发展”、“美妙数学”等一些概念及其关系时，有一个重要的问题摆在了我们面前，怎样实现“美妙数学”的教学诉求呢？下面我来说说我平时的想法和做法，尝试着回答这个问题。
先来说说指向与非指向自由发展的数学教学，究竟有什么显著的区别？对学生会产生怎样不同的影响？尽管这个问题用文字很难表述清楚，但借助“美妙数学”也许能简单明了阐述。接着再谈谈指向自由发展的数学教学，在面向不同的学习内容和学习目标时，该用怎样的课型去落实？我主要采用三种课型：探究思悟型、体验积累型、练习变式型。为什么用这三种类型呢？《义务教育数学课程标准》2011修订版，把数学教学目标分成结果性目标和过程性目标，为了研究的需要和教学的侧重分别在不同课型中重点落实不同的教学目标。
一、探究思悟型自由发展的数学教学
1.课型主题说明：
以往的教学是以学科知识为基础的，要求学生得出正确结论就行；现在要求关注学生，要关注学生得出结论的过程，探究也就产生了。需要注意的是，我们并非全部否定接受式，接受式对于正确结论的得出，有先入为主的作用，但对于孩子的自由发展限制较多。合理的探究既要促进学生的发展，又能达成相应的教学目标。
2.课型实施框架：
（1）设计探究：是不是所有问题都值得探究；提供什么条件让学生探究；学生探究过程中可能产生什么问题；用什么方法来检验效果；（2）实施探究；（3）检验探究；（4）效果总结与反思。
3.期待达成的学生自由发展的基点：数学基本思想方法的感悟。
二、体验积累型自由发展的数学教学
1.课型主题说明：
体验就是学生在学习活动之中的感受。主要有两种：一类是情感的，一类是美感的，即一为真，一为善。前者思想性较强，后者审美价值较高，但这两类离学生的经验都有距离，教师要考虑的是怎么样才能让学生逐渐体会这一层，并有意识的进行积累。
2.课型实施框架：
（1）体验什么；（2）学生体验可能会面对什么问题；（3）所设计体验的手段（包括检验手段的考虑）；（4）实施；（5）学生实际体验的效果。
3.期待达成的学生自由发展的基点：基本实践经验和思维经验的积累。
三、练习变式型自由发展的数学教学
1.课型主题说明
课堂学习中，练习活动是必不可少的，尤其是练习变式。但值得关注的问题有：（1）如何把握练习的量、度；（2）如何避免机械的练习；（3）练习中如何纠正学生的错误；（4）如何做到练习变式在巩固知识中的作用。
2.课型实施框架：
（1）资料收集；（2）问题讨论；如何寻找结合点？练习的多样性问题？（3）教学设计及研讨；（4）实施；（5）结果分析：通过对学生练习结果的分析来看结合点是否找准？练习是否合适？
3.期待达成的学生自由发展的基点：掌握数学基本知识和熟练基本技能。
有关自由发展的数学教学还有许多问题值得探讨，不过有一点我们已经明确，学生“可行能力”的培育是其心智自由发展的保证，也是其在未来做一个幸福自由人的前提。作为教师结合学科教学在此方面做一些深入研究，确实是很有意义和价值的。