论文部分内容阅读
《实数》这一章的主要内容有算术平方根、平方根和立方根的概念以及求法,实数的有关概念和运算. 通过本章的学习,我们对数的认识就由有理数扩展到了实数.虽然本章内容不多,但它在中学数学中占有重要的地位, 是学习二次根式、一元二次方程和解三角形等知识的基础. 学习本章时,我们要注意以下几方面的问题.
一、把握重点难点
1. 重点:算术平方根、平方根、立方根的概念和求法.
2. 难点:平方根的概念和实数的概念及其运算.
二、解读知识要点
1. 算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,那么这个正数 x叫做 a的算术平方根.记作,读作“根号a ”. 0的算术平方根是0,即=0.
2. 平方根:一般地,如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做 a的平方根或二次方根,记作±. 一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
3. 立方根:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根, 记作.正数的立方根是正数,且只有一个;负数的立方根是负数,也只有一个;0的立方根是0.
4. 开平(立)方:求一个数 a的平(立)方根的运算,叫做开平(立)方.其中a 叫做被开(立)方数. 开平(立)方与平(立)方互为逆运算,据此可求一个数的平(立)方根,也可检验一个数是不是某个数的平(立)方根.
5. 无理数:无限不循环小数叫做无理数.有的无理数不是带根号的数,如 π不带根号,但它是无理数;带根号的数也未必是无理数,如等就是有理数;带根号的数,若开方后得到的是无限循环小数,则它是有理数;看似循环而又不循环的小数也是无理数.如0.01001000100001……等.
6. 实数:有理数和无理数统称实数.实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可用数轴上的一个点来表示;反之,数轴上的每一个点都可用一个实数来表示.实数的相反数、倒数、绝对值的意义与有理数的相反数、倒数、绝对值的意义相同.
7. 用计算器进行开方运算:这是新课标增加的内容,关键是第二功能键的使用.用不同型号的计算器进行开方运算时,按键顺序可能略有不同,因此要仔细阅读使用说明书.一般先按“ ”键,然后再输入数据,最后按“=”键.
8. 估算:这也是新课标增加的内容,估算是对数的大约计算.估算时一般要用四舍五入的方法,注意联系实际.
9. 实数的运算:在实数范围内,可进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算,且有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍成立.实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同,先乘方、开方,再乘除,最后再加减.同级运算按从左到右的顺序进行,有括号的,先算括号里面的.当遇到无理数且需求出结果的近似值时,可按所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.
三、掌握考试要点
例1求下列各数的算术平方根
(1)64; (2)(-3)2; (3)1 .
分析:根据算术平方根的定义,求一个数的算术平方根可转化为求一个数a的平方等于几的运算,更具体地说,就是找出平方后等于a 的正数.
分析:从题目所给的四个式子可看出,等号左边的被开方数都是两数乘积与1的和,其中第一个因数是从1开始的自然数,第二个因数是从3开始的自然数,即第二个因数比第一个因数大2,故第n个等号左边的被开方数应该是n(n+2)+1 ;等号右边是从2开始的自然数,即每个式子的结果等于其序号加1,故规律是点评:这是一个探究性问题.解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点,然后从特殊的例子,推广到一般的结论,这是数学中常用的方法,同学们应多多体会,好好掌握这种方法!
例9若 是个整数,请你写出满足条件的整数 m.
分析:由已知条件可知, 100m是个能开立方开得尽的数,故满足条件的整数m 有很多,如m=0 ;m=10 ;m=-10等.
解: 满足条件的整数 m有很多,如m=0 ;m=10 ;m=-10等.
点评: 这是一道结论开放的题目,答案不唯一. 解题关键是理解是个整数,说明100m 是个能开立方开得尽的数, 然后据此写出满足条件的整数m .
“本文中所涉及以的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
一、把握重点难点
1. 重点:算术平方根、平方根、立方根的概念和求法.
2. 难点:平方根的概念和实数的概念及其运算.
二、解读知识要点
1. 算术平方根:一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,那么这个正数 x叫做 a的算术平方根.记作,读作“根号a ”. 0的算术平方根是0,即=0.
2. 平方根:一般地,如果一个数的平方等于a ,那么这个数叫做 a的平方根或二次方根,记作±. 一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.
3. 立方根:一般地,如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根, 记作.正数的立方根是正数,且只有一个;负数的立方根是负数,也只有一个;0的立方根是0.
4. 开平(立)方:求一个数 a的平(立)方根的运算,叫做开平(立)方.其中a 叫做被开(立)方数. 开平(立)方与平(立)方互为逆运算,据此可求一个数的平(立)方根,也可检验一个数是不是某个数的平(立)方根.
5. 无理数:无限不循环小数叫做无理数.有的无理数不是带根号的数,如 π不带根号,但它是无理数;带根号的数也未必是无理数,如等就是有理数;带根号的数,若开方后得到的是无限循环小数,则它是有理数;看似循环而又不循环的小数也是无理数.如0.01001000100001……等.
6. 实数:有理数和无理数统称实数.实数和数轴上的点是一一对应的,即每一个实数都可用数轴上的一个点来表示;反之,数轴上的每一个点都可用一个实数来表示.实数的相反数、倒数、绝对值的意义与有理数的相反数、倒数、绝对值的意义相同.
7. 用计算器进行开方运算:这是新课标增加的内容,关键是第二功能键的使用.用不同型号的计算器进行开方运算时,按键顺序可能略有不同,因此要仔细阅读使用说明书.一般先按“ ”键,然后再输入数据,最后按“=”键.
8. 估算:这也是新课标增加的内容,估算是对数的大约计算.估算时一般要用四舍五入的方法,注意联系实际.
9. 实数的运算:在实数范围内,可进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算,且有理数的运算法则和运算规律在实数范围内仍成立.实数混合运算的运算顺序与有理数混合运算的运算顺序基本相同,先乘方、开方,再乘除,最后再加减.同级运算按从左到右的顺序进行,有括号的,先算括号里面的.当遇到无理数且需求出结果的近似值时,可按所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.
三、掌握考试要点
例1求下列各数的算术平方根
(1)64; (2)(-3)2; (3)1 .
分析:根据算术平方根的定义,求一个数的算术平方根可转化为求一个数a的平方等于几的运算,更具体地说,就是找出平方后等于a 的正数.
分析:从题目所给的四个式子可看出,等号左边的被开方数都是两数乘积与1的和,其中第一个因数是从1开始的自然数,第二个因数是从3开始的自然数,即第二个因数比第一个因数大2,故第n个等号左边的被开方数应该是n(n+2)+1 ;等号右边是从2开始的自然数,即每个式子的结果等于其序号加1,故规律是点评:这是一个探究性问题.解这类题需注意分析题目所给的每个式子的特点,然后从特殊的例子,推广到一般的结论,这是数学中常用的方法,同学们应多多体会,好好掌握这种方法!
例9若 是个整数,请你写出满足条件的整数 m.
分析:由已知条件可知, 100m是个能开立方开得尽的数,故满足条件的整数m 有很多,如m=0 ;m=10 ;m=-10等.
解: 满足条件的整数 m有很多,如m=0 ;m=10 ;m=-10等.
点评: 这是一道结论开放的题目,答案不唯一. 解题关键是理解是个整数,说明100m 是个能开立方开得尽的数, 然后据此写出满足条件的整数m .
“本文中所涉及以的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”