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【摘要】现行及传统的教科书中，在解分式方程时都是先化为整式方程，求解后再进行验根,这种解法既利用了整式方程方面的知识，又突出了分式方程与整式方程在求根时的区别。但是它也往往使人产生这样的误会，似乎增根现象是分式方程所特有的,是解题时难免的，为了对分式方程及其增根问题有一个清楚的实质性的了解，本文对此进行分析。
【关键词】分式方程；解方程；增根；无解
【Abstract】Current and traditional schoolbook, when in solution is first ce equation ZhengShi equation, the solution to root for examination again after, this method is used ZhengShi equation knowledge, and highlights ZhengShi equation with a fraction equation in the difference between extract roots. But it also often make the person produces such misunderstanding, seems to increase root phenomenon is peculiar, ce equation is liable, when the problem solving for fraction equation and increase the root problem to have a clear understanding of the substantive paper analysis.
【Key words】fraction equation solution cheng no solution extraneous roots
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1001-4128(2011)03-0170-02
作者简介：段安波(1969.12-)，男，湖北房县人,大学本科，湖北省十堰市房县实验中学教师，教研组长。矢志教学改革，求实创新。有多篇论文在省、市、县获奖。
我们先来看一下课本对增根的定义：
我们看到,在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根。因此，在解分式方程时必须进行检验。
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母),看它的值是否为零，如果为零，即为增根。
仔细研读,第二段中的“它”字应为整式方程的解，即把分式方程化为整式方程后,再解整式方程，得到的解就是这个“它”，然后再把它代入最简公分母，若最简公母为0，才能称为增根，换句话说，什么是增根呢？增根就是是整式方程的解而同时又不是分式方程的解，同时满足这样的两个条件的解才能称为增根。
在初中阶段，我们所学习的分式方程一般可分为以下三类：①可化为一元一次方程的分式方程：②可化为一元二次方程的分式方程：③可通过换元法化为整式方程或化为①②类方程的分式方程。学习了分式方程后，同学们知道，在解分式方程过程中去分母时，分式方程就可能产生增根，因此检验是解分式方程必要步骤，不可缺漏。也正因为分式方程可能产生增根，因此有些分式方程的问题就会复杂化。
有些同学认为分式方程有增根与分式方程无解是同一回事。 事实上并非如此。
分式方程有增根，增根是原分式方程变形后所得整式方程的解，但这个解并不是原分式方程的解，即这个解使最简公分母为0。
分式方程无解有两种情况，一种是变形后的整式方程本身无解，另一种是整式方程有解，但这些解使最简公分母的值都为零，即为分式方程的增根。
不可否认，增根的出现给同学们的学习带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，让我们用辩证的眼光看待分式方程的增根。由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，现列举几个近年来中考有关增根和无解的试题，供读者赏析。
1 方程有增根时，求参数的值
解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
例1：（2008襄樊市）当m=时，关于x的分式方程2x+mx-3=-1有增根。
析：去分母整理得2x+m=-x+3，因为原方程的最简公分母是(x-3) ， 所以原方程的增根只能是x=3，将x=3 代入去分母后的整式方程得m=-6。
例2.已知关于x的方程1x-1+2x+2=kx2+x-2 有增根，求k的值。
首先把原方程去分母，化为(x+2)+2(x-1)=k。①
因为原方程的最简公分母(x-1)(x+2)是，所以方程的增根可能是x=1或x=-2
若增根为x=1，代入方程①，3+0=k得，k=3；
若增根为x=-2，代入方程①，得0-6=k，k=-6。
故当k=3或k=-6时，原方程会有增根。
注意：利用增根求分式方程中的参数的步骤(1)先将分式方程转化为整式方程；(2)确定原方程的增根；(3)将增根代入整式方程，求参数的值；(4)有时方程的增根不止一个，所以在解题时要当心，防止漏解。
2 方程无解时，求参数的值
例3：（2007湖北荆门课改）若方程x-3x-2=m2-x无解，则m=．
析：方程两边同乘以(x-2)得x-3=-m，整理后得x=3-m， 要使原方程无解，只要x=3-m是方程的增根即可。即3-m=5就行，所以m=-2
例4.已知关于x+mx-3=m x的方程无解，求m的值。
先把原方程化为x+m=m(x-3)。②
（1）若方程②无解，则原方程也无解，方程②化为(1-m)x=-4m，当1-m=0，而-4m≠0时，方程②无解，此时m=1。
（2）若方程②有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程②的解为x=3时原方程无解，x=3代入方程②，得3+m=0，故m=-3。
综合（1）、（2），当m=1或m=-3时，原方程无解。
注意：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况。既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到。利用无解求参数的步骤：(1)先将分式方程转化为整式方程；(2)看整式方程是有解还是无解，当整式方程有解时，确定原方程的增根，将增根代入整式方程，求得参数的值；如果整式方程无解，原方程就无解。（3）整式方程ax=b的解的情况，①a≠0时，方程ax=b有唯一解；②当a=0，b≠0 时方程ax=b无解；③当a=0,b=0，方程ax=b有无数解。(4)有时方程的增根不止一个，所以在解题时要当心，防止漏解。
总之，根据分式方程根的情况，求参数的值是每年中考必考内容之一，而这部分内容也是同学容易出错的部分希望老师们在平时的教学中重视它。
【关键词】分式方程；解方程；增根；无解
【Abstract】Current and traditional schoolbook, when in solution is first ce equation ZhengShi equation, the solution to root for examination again after, this method is used ZhengShi equation knowledge, and highlights ZhengShi equation with a fraction equation in the difference between extract roots. But it also often make the person produces such misunderstanding, seems to increase root phenomenon is peculiar, ce equation is liable, when the problem solving for fraction equation and increase the root problem to have a clear understanding of the substantive paper analysis.
【Key words】fraction equation solution cheng no solution extraneous roots
【中图分类号】G632【文献标识码】A【文章编号】1001-4128(2011)03-0170-02
作者简介：段安波(1969.12-)，男，湖北房县人,大学本科，湖北省十堰市房县实验中学教师，教研组长。矢志教学改革，求实创新。有多篇论文在省、市、县获奖。
我们先来看一下课本对增根的定义：
我们看到,在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根。因此，在解分式方程时必须进行检验。
解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零。有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母),看它的值是否为零，如果为零，即为增根。
仔细研读,第二段中的“它”字应为整式方程的解，即把分式方程化为整式方程后,再解整式方程，得到的解就是这个“它”，然后再把它代入最简公分母，若最简公母为0，才能称为增根，换句话说，什么是增根呢？增根就是是整式方程的解而同时又不是分式方程的解，同时满足这样的两个条件的解才能称为增根。
在初中阶段，我们所学习的分式方程一般可分为以下三类：①可化为一元一次方程的分式方程：②可化为一元二次方程的分式方程：③可通过换元法化为整式方程或化为①②类方程的分式方程。学习了分式方程后，同学们知道，在解分式方程过程中去分母时，分式方程就可能产生增根，因此检验是解分式方程必要步骤，不可缺漏。也正因为分式方程可能产生增根，因此有些分式方程的问题就会复杂化。
有些同学认为分式方程有增根与分式方程无解是同一回事。 事实上并非如此。
分式方程有增根，增根是原分式方程变形后所得整式方程的解，但这个解并不是原分式方程的解，即这个解使最简公分母为0。
分式方程无解有两种情况，一种是变形后的整式方程本身无解，另一种是整式方程有解，但这些解使最简公分母的值都为零，即为分式方程的增根。
不可否认，增根的出现给同学们的学习带来了一定的麻烦，然而任何事物都有其两面性，让我们用辩证的眼光看待分式方程的增根。由增根的原因知道，分式方程的增根一定是所化成的整式方程的根，同时还能使其最简公分母的值为零，据此可以解决一些相关的问题，现列举几个近年来中考有关增根和无解的试题，供读者赏析。
1 方程有增根时，求参数的值
解答此类问题必须明确增根的意义：
（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
例1：（2008襄樊市）当m=时，关于x的分式方程2x+mx-3=-1有增根。
析：去分母整理得2x+m=-x+3，因为原方程的最简公分母是(x-3) ， 所以原方程的增根只能是x=3，将x=3 代入去分母后的整式方程得m=-6。
例2.已知关于x的方程1x-1+2x+2=kx2+x-2 有增根，求k的值。
首先把原方程去分母，化为(x+2)+2(x-1)=k。①
因为原方程的最简公分母(x-1)(x+2)是，所以方程的增根可能是x=1或x=-2
若增根为x=1，代入方程①，3+0=k得，k=3；
若增根为x=-2，代入方程①，得0-6=k，k=-6。
故当k=3或k=-6时，原方程会有增根。
注意：利用增根求分式方程中的参数的步骤(1)先将分式方程转化为整式方程；(2)确定原方程的增根；(3)将增根代入整式方程，求参数的值；(4)有时方程的增根不止一个，所以在解题时要当心，防止漏解。
2 方程无解时，求参数的值
例3：（2007湖北荆门课改）若方程x-3x-2=m2-x无解，则m=．
析：方程两边同乘以(x-2)得x-3=-m，整理后得x=3-m， 要使原方程无解，只要x=3-m是方程的增根即可。即3-m=5就行，所以m=-2
例4.已知关于x+mx-3=m x的方程无解，求m的值。
先把原方程化为x+m=m(x-3)。②
（1）若方程②无解，则原方程也无解，方程②化为(1-m)x=-4m，当1-m=0，而-4m≠0时，方程②无解，此时m=1。
（2）若方程②有解，而这个解又恰好是原方程的增根，这时原方程也无解，所以，当方程②的解为x=3时原方程无解，x=3代入方程②，得3+m=0，故m=-3。
综合（1）、（2），当m=1或m=-3时，原方程无解。
注意：方程无解的条件，关键是看转化后的整式方程解的情况。既要考虑整式方程无解的条件，又要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能性，考虑问题要全面、周到。利用无解求参数的步骤：(1)先将分式方程转化为整式方程；(2)看整式方程是有解还是无解，当整式方程有解时，确定原方程的增根，将增根代入整式方程，求得参数的值；如果整式方程无解，原方程就无解。（3）整式方程ax=b的解的情况，①a≠0时，方程ax=b有唯一解；②当a=0，b≠0 时方程ax=b无解；③当a=0,b=0，方程ax=b有无数解。(4)有时方程的增根不止一个，所以在解题时要当心，防止漏解。
总之，根据分式方程根的情况，求参数的值是每年中考必考内容之一，而这部分内容也是同学容易出错的部分希望老师们在平时的教学中重视它。