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中学几何按照内容与要求不同分为直观几何(实验几何)和演绎几何,从新课改发展趋势来看,在几何教学中,演绎几何(演绎推理)要求日趋降低,几何直观、几何变换与几何应用的要求得到加强,这进一步说明培养学生空间想象能力在几何教学中占重要地位,根据平时的数学教学经验。培养学生空间想象能力可从以下几方面进行。
一、加强几何教学与实际的联系
空间想象能力的基础是空间观念。而空间观念的来源是我们对现实世界的直接感知与认识,因此,应加强几何教学与实际的联系。帮助学生将具体的现实空间与抽象的几何概念相统一,培养和发展空间观念,应加强几何教学与实际的联系,具体措施为:
(1)运用生活实例或实际问题引入几何概念,探讨几何图形的性质。
(2)给予学生动手操作、实践活动的机会,以发展空间观念.
(3)重视几何知识在实际生活中的应用,
例如,在讲解对称及对称图形、概念时,可以让学生列举出生活中具有对称性质的事物或现象。或者让学生设计图案,通过这些实践活动帮助学生加深理解对称的含义,在学习多边形角的性质时,可以从房屋装修的角度提出问题:为什么用全等的三角形能铺满地面?哪些多边形能铺满地面?哪些不行?学生在对这些问题的思考过程中可以发现多边形的性质与规律,新课改后,几何教学重视引导学生通过动作操作来形成空间观念,认识几何性质的教学实例也越来越多.
二、理好实物(模型)与几何图形的关系
在几何学习中,特别是立体几何学习中,学生所获得的空间信息主要来源于实物(模型)、几何图形、语言描述以及它们之间的相互转换,因此,要培养学生的空间想象能力,在几何教学中必须处理好实物(模型)、图形、语言之间的关系。
1、恰当运用实物模型进行直观教学,初始阶段,教师能恰当地运用实物、模型,可使抽象的事物获得生动的形象。使平面上的图形有了立体感,
例如:老师通过对金字塔的语言描述唤起学生头脑中相应的表象,再通过观察棱锥的直观模型,使学生获得对棱锥几何体的整体形象认识,在此基础上画出的直观图就成为棱锥概念的形象表示,以后一提及棱锥,大脑便浮现出相应的图形,可见,在几何概念形成过程中,直观模型起了重要作用,
在抽象空间几何问题里,直观模型的作用也不容忽视,比如,老师提问:“在空间中,两直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线的位置关系怎样?”此时,在二维平面上无法表示出这三条直线的形象,如果形成的表象不清晰。则可以借助于三支铅笔来展現三直线在空间中的位置关系以获取正确解答,必须指出,使用直观模型本身并不是目的,过分依赖于模型的使用可髓会引起不良后果。
2进行画图训练,实现由“模型”到“图形”的过渡,要使学生摆脱对直观模型的依赖,必须进行画图训练,当然,画图训练应有层次性,
首先,训练学生画平面图形、空间几何体的直观图,画好后引导学生将直观图与实际模型作对比,再根据直观图想象其实际形状,这样做对提高空间想象能力以逐步丢掉“模型”具有显著的作用,然后,让学生根据语言表述画出相应的图形,
如讲直线与平面的位置关系时,老师说明其关系有三种:在面内、相交、平行,再让学生用适当的图形将这些位置关系表示出来,在训练画图的过程中,不仅要求会画,而且要求画出很强的主体感,比如,让学生画出表示两条异面直线的图形,然后,要求学生自己判断哪些最具立体感,在此过程中空间想象能力自然增强。
三、增强对图形的加工、变换能力
几何图形是一种视觉符号,与表象的形成密切相关,因此,图形及图形的加工、变换能力在培养和发展空间想象能力的过程中起着关键的作用,图形的变换一般有以下几种类型:
1图形的运动与变式,当学生已逐步摆直观模型的束缚,转而对图形进行认知时,应适当增加图形运动变化的训练,力求在图形变式与运动过程中,从根本上认识图形的本质特征。克服一些由图形带来的思维障碍,
2图形的分解与组合,在几何问题中给出的几何图形常由表达基本概念、定理的基本图形经过组合、剖解、交错、迭复形成,这样的图形容易干扰对几何对象的感知,也影响了对基本图形之间关系的发现,
在平几和立几中。图形分解与组合的练习可以有多种形式,比如,经过平移、旋转、对称变换等运动,使简单图形演变为复杂图形,将平面图形折叠成空间几何体,或将空间几何体的表面展开。或将空间几何体进行割补。或在复杂图形中寻找基本元素的关系,等等,这些都是极好的训练素材。
四、进行抽象问题形象化的训练,培养几何直觉能力
将抽象问题形象化的几何直觉能力是空间想象能力结构中的最高层次,因此,要培养空间想象能力,进行抽象问题形象化的几何直觉能力的训练也是一个不容忽视的方面,
抽象的数学概念的形成与理解,离不开形象化例证的支撑,例如,对于函数的单调性这个抽象概念的学习。仅凭定义“对于定义域中任意x1,X2,如果x1≥时f(x1)≥f(x2)”的字面分析,学生很难理解本质属性,只要将一些特殊函数,如y=3x+1的图像与定义结合起来,使学生不仅能从定义的语义中理解记忆概念,而且在出现“单调性”概念时。头脑中立刻浮现出这些函数的图像所表示的单调性的形象,从而真正把握单调性的概念,同样,用直观、形象的图形、图示来表示数学公式的证明及相互关系,也有助于对数学公式的理解锵与记忆。
综上表明。抽象问题形象化的几何直觉能力是数学学习的真谛。是空间观念、意识与想象力在处理数学问题时的迁移与运用,因此,几何直觉能力的训练与培养应贯穿于各个数学学科的学习过程之中,由此可见,数与形,直观与抽象,感知与推理相结合,既可以有效地培养和提高空间想象能力,也有助于问题的解决。
一、加强几何教学与实际的联系
空间想象能力的基础是空间观念。而空间观念的来源是我们对现实世界的直接感知与认识,因此,应加强几何教学与实际的联系。帮助学生将具体的现实空间与抽象的几何概念相统一,培养和发展空间观念,应加强几何教学与实际的联系,具体措施为:
(1)运用生活实例或实际问题引入几何概念,探讨几何图形的性质。
(2)给予学生动手操作、实践活动的机会,以发展空间观念.
(3)重视几何知识在实际生活中的应用,
例如,在讲解对称及对称图形、概念时,可以让学生列举出生活中具有对称性质的事物或现象。或者让学生设计图案,通过这些实践活动帮助学生加深理解对称的含义,在学习多边形角的性质时,可以从房屋装修的角度提出问题:为什么用全等的三角形能铺满地面?哪些多边形能铺满地面?哪些不行?学生在对这些问题的思考过程中可以发现多边形的性质与规律,新课改后,几何教学重视引导学生通过动作操作来形成空间观念,认识几何性质的教学实例也越来越多.
二、理好实物(模型)与几何图形的关系
在几何学习中,特别是立体几何学习中,学生所获得的空间信息主要来源于实物(模型)、几何图形、语言描述以及它们之间的相互转换,因此,要培养学生的空间想象能力,在几何教学中必须处理好实物(模型)、图形、语言之间的关系。
1、恰当运用实物模型进行直观教学,初始阶段,教师能恰当地运用实物、模型,可使抽象的事物获得生动的形象。使平面上的图形有了立体感,
例如:老师通过对金字塔的语言描述唤起学生头脑中相应的表象,再通过观察棱锥的直观模型,使学生获得对棱锥几何体的整体形象认识,在此基础上画出的直观图就成为棱锥概念的形象表示,以后一提及棱锥,大脑便浮现出相应的图形,可见,在几何概念形成过程中,直观模型起了重要作用,
在抽象空间几何问题里,直观模型的作用也不容忽视,比如,老师提问:“在空间中,两直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线的位置关系怎样?”此时,在二维平面上无法表示出这三条直线的形象,如果形成的表象不清晰。则可以借助于三支铅笔来展現三直线在空间中的位置关系以获取正确解答,必须指出,使用直观模型本身并不是目的,过分依赖于模型的使用可髓会引起不良后果。
2进行画图训练,实现由“模型”到“图形”的过渡,要使学生摆脱对直观模型的依赖,必须进行画图训练,当然,画图训练应有层次性,
首先,训练学生画平面图形、空间几何体的直观图,画好后引导学生将直观图与实际模型作对比,再根据直观图想象其实际形状,这样做对提高空间想象能力以逐步丢掉“模型”具有显著的作用,然后,让学生根据语言表述画出相应的图形,
如讲直线与平面的位置关系时,老师说明其关系有三种:在面内、相交、平行,再让学生用适当的图形将这些位置关系表示出来,在训练画图的过程中,不仅要求会画,而且要求画出很强的主体感,比如,让学生画出表示两条异面直线的图形,然后,要求学生自己判断哪些最具立体感,在此过程中空间想象能力自然增强。
三、增强对图形的加工、变换能力
几何图形是一种视觉符号,与表象的形成密切相关,因此,图形及图形的加工、变换能力在培养和发展空间想象能力的过程中起着关键的作用,图形的变换一般有以下几种类型:
1图形的运动与变式,当学生已逐步摆直观模型的束缚,转而对图形进行认知时,应适当增加图形运动变化的训练,力求在图形变式与运动过程中,从根本上认识图形的本质特征。克服一些由图形带来的思维障碍,
2图形的分解与组合,在几何问题中给出的几何图形常由表达基本概念、定理的基本图形经过组合、剖解、交错、迭复形成,这样的图形容易干扰对几何对象的感知,也影响了对基本图形之间关系的发现,
在平几和立几中。图形分解与组合的练习可以有多种形式,比如,经过平移、旋转、对称变换等运动,使简单图形演变为复杂图形,将平面图形折叠成空间几何体,或将空间几何体的表面展开。或将空间几何体进行割补。或在复杂图形中寻找基本元素的关系,等等,这些都是极好的训练素材。
四、进行抽象问题形象化的训练,培养几何直觉能力
将抽象问题形象化的几何直觉能力是空间想象能力结构中的最高层次,因此,要培养空间想象能力,进行抽象问题形象化的几何直觉能力的训练也是一个不容忽视的方面,
抽象的数学概念的形成与理解,离不开形象化例证的支撑,例如,对于函数的单调性这个抽象概念的学习。仅凭定义“对于定义域中任意x1,X2,如果x1≥时f(x1)≥f(x2)”的字面分析,学生很难理解本质属性,只要将一些特殊函数,如y=3x+1的图像与定义结合起来,使学生不仅能从定义的语义中理解记忆概念,而且在出现“单调性”概念时。头脑中立刻浮现出这些函数的图像所表示的单调性的形象,从而真正把握单调性的概念,同样,用直观、形象的图形、图示来表示数学公式的证明及相互关系,也有助于对数学公式的理解锵与记忆。
综上表明。抽象问题形象化的几何直觉能力是数学学习的真谛。是空间观念、意识与想象力在处理数学问题时的迁移与运用,因此,几何直觉能力的训练与培养应贯穿于各个数学学科的学习过程之中,由此可见,数与形,直观与抽象,感知与推理相结合,既可以有效地培养和提高空间想象能力,也有助于问题的解决。