探索·分类·讨论

来源 :初中生世界(初三年级) | 被引量 : 0次 | 上传用户:kangzeng
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  一个等腰三角形的一边等于3,一边等于6,这个三角形的周长等于多少?Z老师以这个简单的问题开始了今天的讲座.
  W同学说:如果腰长为3,那么周长为3
  +3+6=12;如果腰长为6,那么周长为6+6+3=15.
  听完W同学的解答,H同学说:如果腰长为3,三角形的三边为3,3,6,由于3+3=6,这样的三角形不存在.本题的解只能是15.
  Z老师说:W同学注意到腰长可能有两种情况,分类进行讨论,这是值得肯定的,但忽视了对讨论结果的检验.H同学注意到3,3,6不能构成三角形,使问题获得解决.下面我想着重谈谈“分类讨论”的问题.
  例1有一等腰三角形纸片,若能从一个底角的顶点出发,将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的顶角为度.
  L同学说:如图1,△DAB、△BDC为等腰三角形,设∠A=α,则有∠DBA
  =α,∠BDC=2α,∠ABC=∠C=2α,因此α+2α+2α=180°,α=36°.
  小清说:L同学的解不全面,△BCD为等腰三角形,∠CBD除了为顶角外,还有一种情况,就是∠CBD为底角.因此,∠CBD=2α,∠ACB=∠ABC=3α,于是2α+2α+3α=180°,α=■.
  Z老师说:当你解题感到很顺手的时候,头脑要保持冷静,再想一想,还有其它情况吗?本题中∠CBD就有①为顶角、②为底角两种情况,这就是分类讨论的思想.还要指出一点,解几何问题,在重视图形的直观性时,要防止由于图形的局限性而产生误导.
  再看例2一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半,则这个等腰三角形的底角的度数是.(2005年河北省初中竞赛试题)如何体现分类讨论的思想呢?
  W同学说:等腰三角形的一条高应指底边上的高和腰上的高,有两种情况.
  (1)底边上的高:如图2-1,由AD=■AB,∠ADB=90°,得∠B=30°.
  (2)腰上的高:如图2-2,由CD=■AC,∠CDA=90°,得∠A=30°,底角∠B=75°.
  没有人马上对W同学的解发表意见,气氛一下子变得沉闷起来.
  S同学说:刚才老师特别指出,要防止图形的误导,我认为过C作腰AB的高,垂足D的位置应有三种可能:①在线段AB上,②与A点重合,③在BA的延长线上.而这三种情况取决于顶角A是锐角、直角还是钝角.W同学只解决了其中的一种情况.当∠A=90°时,如图2-3,垂足D与A重合,此时腰上的高与腰相等,不符合题意.当A是钝角时,D在BA的延长线上,如图2-4.CD=■AC,则∠DAC=30°,底角∠B=■∠DAC=15°.本题中针对顶角A的范围的讨论,同样体现了分类讨论思想.
  Z老师说:两位同学对问题的剖析,说明他们对分类讨论的思想已有所领悟.下面请解题:等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半,则其顶角等于.
  小清说:由S同学的分析,对一条腰上的高,垂足的位置分成三类.第一类:垂足在腰AB上,即∠A为锐角时,某条边再分成底边和腰两种情况,(i)如图3-1,CD=■AC,得∠A=30°;(ii)CD=■BC,得∠B=30°,于是∠A=120°,与∠A为锐角矛盾,舍去.第二类:如图3-2,垂足与A重合,即∠A为直角时,此时CD=AB或CD=■BC,均不合题意.第三类:垂足在BA的延长线上,即∠A为钝角时,如图3-3,同理,(i)CD=■AC,得∠DAC=30°,于是顶角∠A=150°;(ii)CD=■BC,则∠B=30°,顶角∠A=120°.综上,本题有三个解,即30°,120°,150°.
  Z老师说:小清的思路很清晰,不多说了.下面请看例3:已知点A和点B,以A、B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可作出多少个?
  许多同学在纸上边画边点数,唯独H同学拿着笔在沉思.
  H同学说:我与分类讨论挂起钩来,AB边分别为等腰直角三角形的斜边、直角边.第一类:以AB为斜边,可作两个等腰直角三角形,直角顶点就是以AB为对角线的正方形AC1BC2的另两个顶点,图4中点C1、C2.第二类:以AB为直角边,又要分两种情况,第一是A为直角顶点,过A作AB的垂线,并截取AC3=AC4=AB,得三角形第三个顶点C3、C4;第二是B为直角顶点,同理得C5、C6.因此一共可作出6个.
  Z老师说:H同学分析透彻,值得大家学习.再看例4已知坐标原点O和点A(2,-2),B是坐标轴上的一点,若△AOB是等腰三角形,则这样的点B共有多少个? (2005年重庆市初中竞赛试题)
  W同学很快画出图5,说有8个.
  Z老师点了点头.望着不少学生困惑的神情,Z老师请W同学解释一下.
  W同学说:(1)以OA为底边:作OA的垂直平分线与坐标轴交于B1、B2,得两个等腰三角形.(2)以OA为腰:(i)O为顶角的顶点:以O为一个端点,在坐标轴上截取线段OB3=OB4=OB5
  =OB6=OA,得四个等腰三角形;(ii)A为顶角的顶点:以A为端点,OA长为半径,画弧,除O点外,交坐标轴于B7、B8两点,又得两个等腰三角形.
  小清插话说:就是OA的垂直平分线和以O、A为圆心、OA长为半径的两个圆与坐标轴交点(除去点O)的个数.它们的坐标是(2,0),(0,-2),(2■,0),(0,-2■),(-2■,0),(0,2■),(4,0),(0,-4).(你会求吗?)
  例5双曲线y=■上有一点A(1,c),在x轴上是否存在点P,使得△AOP为等腰三角形?若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
  L同学说:A(1,c)在双曲线y=■上,有c=■=2,A点坐标为(1,2).以OA为腰,(i)A为顶角的顶点:过A作AB⊥x轴,交x轴于B(1,0),O关于B的对称点P1(2,0);(ii)O为顶角的顶点:在x轴上截取OP2=OP3=OA=■,P2(■,0)、P3(-■,0);(iii)以OA为底边:作OA的垂直平分线DP4,交x轴于P4,但P4的坐标我还没有求出.符合题意的P点有4个.
  S同学说:由△OBA∽△ODP4,得■=■,也即■=■,所以OP4=■,P4(■,0).
  小清说:由∠OAB=∠OP4D,得sin ∠OAB=sin ∠OP4D,即■=■,■
  =■,OP4=■,所以P4(■,0).
  Z老师说:S同学利用相似形,小清利用锐角三角函数,提供的解法都很好.今天,以等腰三角形为载体,介绍在解题过程的探索中,如何进行分类讨论,希望能给大家有所启迪.从刚才实际解题的情况看,各位对此已有一定的理解,需要强调的是“分类”既不能重复,也不能遗漏;另外在讨论过程中产生的结果,一定要予以检验,必须符合分类的前提条件.
  
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