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初中数学学习中,经常遇到一些统计图条件的“三数”应用题. 解答它们,要注意从统计图条件中捕捉有关的数据信息,先确定“三数”.
例1 (2009年内蒙古呼和浩特中考题)某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行目标管理,即确定一个月销售目标,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖惩. 为了确定一个适当的目标,商场统计了每个营业员在某月的销售额,并整理得到如下统计图(单位:万元). 请分析统计数据完成下列问题:
(1)月销售额的众数、中位数和平均数各是多少?
(2)如果想让一半左右营业员都能达到目标,你认为月销售额定为多少合适?说明理由.
分析:(1)先确定各个数据出现的次数及商场一共统计了多少个营业员在某月的销售额;(2)要注意这个月销售额应从众数、中位数和平均数中选择. 至于选择哪个,应结合实际情况.
解:(1)由条形图知,商场一共统计了30个营业员在某月的销售额.
因为月销售额为18万元出现的人数最多,
所以月销售额的众数是18万元.
因为30个营业员在某月的销售额按从小到大的顺序排列后,排在第15位和第16位的销售额都为20万元,
所以月销售额的中位数是20万元.
因为 = (12×3+13×1+14×1+15×2+16×1+18×6+20×3+22×1+26×2+28×3+30×2+32×3+34×1+35×1)=22,
所以月销售额的平均数是22万元.
(2)月销售额定为20万元合适. 理由是从样本数据看,月销售额达到或超过众数18万元的有22个营业员,人数太多;月销售额达到或超过中位数20万元的有16个营业员,人数正好是一半左右;月销售额达到或超过平均数22万元的有13个营业员,人数太少,
所以月销售额定为20万元合适.
例2 (2009年浙江丽水中考题)一次测试九年级若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如下图所示(每个分组包括左端点,不包括右端点):
请根据这个频数分布直方图回答下面的问题:
(1)求参加测试的总人数,以及从左至右最后一组的频率;
(2)若图中从左至右各组的跳绳平均次数分别为137次,146次,156次,164次,177次,小丽按以下方法计算参加测试学生跳绳次数的平均数是:
(137+146+156+164+177)÷5=156.
请你判断小丽的算式是否正确,若不正确,写出正确的算式(只列式不计算);
(3)如果测试所得数据的中位数是160次,那么测试次数为160次的学生至少有多少人?
分析:(1)先确定各个小组的人数分别是多少;(2)应根据“参加测试学生跳绳次数的平均数等于跳绳总次数÷总人数”这个关系式去判断;(3)由于每组的组距为10,那么第三组和第四组的边界值正好为160. 要求测试次数为160次的学生至少有多少人,应求出第一组至第三组一共有多少人.
解:(1)由频数分布直方图知,从左至右各小组的人数分别为4人、6人、8人、20人、12人.
所以参加测试的总人数=4+6+8+20+12=50(人),
从左至右最后一组的频率=12÷50=0.24.
(2)小丽的计算错误.
因为从左至右各小组的人数分别为4人、6人、8人、20人、12人,
所以正确的算式=(137×4+146×6+156×8+164×20+177×12)÷50.
(3)不难看出,频数分布直方图中,每组的组距为10,那么第三组和第四组的边界值正好为160.
因为第一组至第三组的频数和为18,
所以第一组至第三组一共有18人.
因为总人数为50人,测试所得数据的中位数是160次,
所以将测试所得数据按从小到大的顺序排列后,第25个和第26个数据一定都是160.
所以次数为160次的学生至少有(50÷2-18+1)人,即至少有8人.
例3 (2009年山东烟台中考题)某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况,随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数,并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图:
请你根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)求出扇形统计图中 a的值,并求出该校初一学生总数;
(2)分别求出活动时间为5天、7天的学生人数,并补全频数分布直方图;
(3)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少?
分析:(1)扇形图反映的是部分占总量的百分比,各部分对应的百分比的和等于1或100%;(2)要补全频数分布直方图,需先求出要补的各部分对应的频数;(3)确定这次抽样调查的众数和中位数,应从补全的频数分布直方图中找出活动时间为2天、3天、4天、5天、6天、7天的学生数分别是多少.
解析:(1)由扇形统计图知,a=100%-10%-15%-30%-15%-5%=25%,且活动时间为2天的学生数占初一学生总数的10%;由频数分布直方图知,活动时间为2天的学生数有20人.
所以初一学生总数=20÷10%=200(人).
(2)注意到初一学生总数为200人,
所以活动时间为5天的学生数=200×25%=50(人),
活动时间为7天的学生数=200×5%=10(人).
补全频数分布直方图,见如图中的虚线矩形,它们对应的高分别为50和10.
(3)显见,活动时间为2天、3天、4天、5天、6天、7天的学生数分别为20人、30人、60人、50人、30人、10人.
因为活动时间为4天的学生数最多,
所以众数是4天.
又,200个学生按活动时间的多少从少到多排列,第100个学生和第101个学生的活动时间都为4天,
所以中位数是4天.
例1 (2009年内蒙古呼和浩特中考题)某商场服装部为了调动营业员的积极性,决定实行目标管理,即确定一个月销售目标,根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖惩. 为了确定一个适当的目标,商场统计了每个营业员在某月的销售额,并整理得到如下统计图(单位:万元). 请分析统计数据完成下列问题:
(1)月销售额的众数、中位数和平均数各是多少?
(2)如果想让一半左右营业员都能达到目标,你认为月销售额定为多少合适?说明理由.
分析:(1)先确定各个数据出现的次数及商场一共统计了多少个营业员在某月的销售额;(2)要注意这个月销售额应从众数、中位数和平均数中选择. 至于选择哪个,应结合实际情况.
解:(1)由条形图知,商场一共统计了30个营业员在某月的销售额.
因为月销售额为18万元出现的人数最多,
所以月销售额的众数是18万元.
因为30个营业员在某月的销售额按从小到大的顺序排列后,排在第15位和第16位的销售额都为20万元,
所以月销售额的中位数是20万元.
因为 = (12×3+13×1+14×1+15×2+16×1+18×6+20×3+22×1+26×2+28×3+30×2+32×3+34×1+35×1)=22,
所以月销售额的平均数是22万元.
(2)月销售额定为20万元合适. 理由是从样本数据看,月销售额达到或超过众数18万元的有22个营业员,人数太多;月销售额达到或超过中位数20万元的有16个营业员,人数正好是一半左右;月销售额达到或超过平均数22万元的有13个营业员,人数太少,
所以月销售额定为20万元合适.
例2 (2009年浙江丽水中考题)一次测试九年级若干名学生1分钟跳绳次数的频数分布直方图如下图所示(每个分组包括左端点,不包括右端点):
请根据这个频数分布直方图回答下面的问题:
(1)求参加测试的总人数,以及从左至右最后一组的频率;
(2)若图中从左至右各组的跳绳平均次数分别为137次,146次,156次,164次,177次,小丽按以下方法计算参加测试学生跳绳次数的平均数是:
(137+146+156+164+177)÷5=156.
请你判断小丽的算式是否正确,若不正确,写出正确的算式(只列式不计算);
(3)如果测试所得数据的中位数是160次,那么测试次数为160次的学生至少有多少人?
分析:(1)先确定各个小组的人数分别是多少;(2)应根据“参加测试学生跳绳次数的平均数等于跳绳总次数÷总人数”这个关系式去判断;(3)由于每组的组距为10,那么第三组和第四组的边界值正好为160. 要求测试次数为160次的学生至少有多少人,应求出第一组至第三组一共有多少人.
解:(1)由频数分布直方图知,从左至右各小组的人数分别为4人、6人、8人、20人、12人.
所以参加测试的总人数=4+6+8+20+12=50(人),
从左至右最后一组的频率=12÷50=0.24.
(2)小丽的计算错误.
因为从左至右各小组的人数分别为4人、6人、8人、20人、12人,
所以正确的算式=(137×4+146×6+156×8+164×20+177×12)÷50.
(3)不难看出,频数分布直方图中,每组的组距为10,那么第三组和第四组的边界值正好为160.
因为第一组至第三组的频数和为18,
所以第一组至第三组一共有18人.
因为总人数为50人,测试所得数据的中位数是160次,
所以将测试所得数据按从小到大的顺序排列后,第25个和第26个数据一定都是160.
所以次数为160次的学生至少有(50÷2-18+1)人,即至少有8人.
例3 (2009年山东烟台中考题)某市教育行政部门为了了解初一学生每学期参加综合实践活动的情况,随机抽样调查了某校初一学生一个学期参加综合实践活动的天数,并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图:
请你根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)求出扇形统计图中 a的值,并求出该校初一学生总数;
(2)分别求出活动时间为5天、7天的学生人数,并补全频数分布直方图;
(3)在这次抽样调查中,众数和中位数分别是多少?
分析:(1)扇形图反映的是部分占总量的百分比,各部分对应的百分比的和等于1或100%;(2)要补全频数分布直方图,需先求出要补的各部分对应的频数;(3)确定这次抽样调查的众数和中位数,应从补全的频数分布直方图中找出活动时间为2天、3天、4天、5天、6天、7天的学生数分别是多少.
解析:(1)由扇形统计图知,a=100%-10%-15%-30%-15%-5%=25%,且活动时间为2天的学生数占初一学生总数的10%;由频数分布直方图知,活动时间为2天的学生数有20人.
所以初一学生总数=20÷10%=200(人).
(2)注意到初一学生总数为200人,
所以活动时间为5天的学生数=200×25%=50(人),
活动时间为7天的学生数=200×5%=10(人).
补全频数分布直方图,见如图中的虚线矩形,它们对应的高分别为50和10.
(3)显见,活动时间为2天、3天、4天、5天、6天、7天的学生数分别为20人、30人、60人、50人、30人、10人.
因为活动时间为4天的学生数最多,
所以众数是4天.
又,200个学生按活动时间的多少从少到多排列,第100个学生和第101个学生的活动时间都为4天,
所以中位数是4天.