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在数学教学过程中，我们往往会遇到学生学习积极性低，对知识的理解不够透彻，应用知识解决问题的能力较差等问题。高中课程标准中提出，要倡导学生积极主动、勇于探索的学习方式。那么，如何让学生积极、高效地学习？如何培养学生浓厚的学习兴趣、主动的学习意识与能力？根据教学实践我认为合理拓展数学知识，引导学生开展必要而又恰到好处的拓展训练，这样的课堂教学才会更有效。为此，我们要根据不同拓展知识素材的类型与特征，采取不同的方法去有效利用数学中的拓展素材。
一、情境导入，激发学习兴趣
在教材的每一章前面都安排有一个插图或引言，用于介绍本章内容的背景、数学应用现象，以及数学在各个领域中的地位与作用。其主要作用在于引导学生了解课程脉搏，理解数学知识与现实生活间的联系，激发学生学习本章的浓厚兴趣，建立起新旧知识的关联，对学好本章起到一个桥梁纽带作用。
例如，在《高中数学必修3》第三章《概率》中插入一个转盘游戏画面和中国福利彩票摇奖机画面，并同时附有文字说明。教师可以在教学实践中对这一拓展素材进行有效利用，用引言把本章主要研究的知识一随机事件、概率的意义、概率的求解大致讲解出来。同时提出“概率的准确含义是什么？用什么方法来计算随机事件的概率”等问题，为讲授新知识作好铺垫，有效增强教学效果。
二、利用课后阅读与思考，拓展学生思维
课后阅读与思考，主要是介绍知识的产生背景及相火的历史人物，对理解教材中的主体内容有一定的帮助，同时可以拓展学生的知识面。对于这部分知识，教师可作适当指导，让学生作为课外知识来阅读、了解相关知识的背景与发展趋势，不需要占用课堂时间，这有利于培养学生的阅读理解能力，并增强学生的学习兴趣，形成科学的人生观、价值观。
如《数学必修3》中的“割圆术”、“广告中数据的可靠性”、“如何提高敏感性问题的诚实反应”、“生产过程中的质量控制图”等，通过阅读这些材料，不仅让学生知道圆周率求解的艰难历程，还可以了解我国数学在这方面的光辉成就，使学生在理解数学的严谨性和科学性的同时激发他们热爱数学、敢于创新的精神，培养他们良好的个性品质，增强学生的民族自豪感与认同感，发挥数学对学生进行品德教育的积极作用。
三、应用所学知识解决问题，
培养学生的分析、应用能力
在数学教材中，有的拓展知识素材如“探究与思考”、“xx案例”等是为了对课程主体内容的验证或是以教材主体内容为依据，让学生去探究应用知识解决问题的方法与能力，激发学生的学习兴趣与积极性，即培养学生的应用数学知识的能力，同时也是为了让学生体验数学的工具性和基础性。如《数学必修3》中的“算法案例”，就是让学生自己动手研究“辗转相除法与更相减损术”、“秦九韶算法”、“进位制”，通过学生自主探究相关算法，画出算法程序框图，写出相关程序语句，通过对这一素材的学习，在学生自己动手完成的过程中强化了应用的意识与能力，培养了学生自主分析、制订方案解决问题的能力。这样不仅降低了学习的难度，同时也增强了学习的效果。
对于这些拓展素材，教师可以在讲授教材内容时穿插进去，也可以让学生课下独立完成。这样对于在探究方面有爱好或专长的学生意义更大，但是教师一定要进行必要的指导，同时引导学生之间进行交流学习，以营造一种探究学习的氛围。
四、利用实习作业提高学生合作学习的意识
教学的目的是让学生学会用数学知识解决实际问题，用所学的知识去学习新的相关知识，获得更实用的技能。新课程数学教材中有4处实习作业，实习作业是新教材的新增内容，是研究性学习的简明形式。它的主要作用是培养学生的观察思考能力、实际操作能力、合作精神、科学态度、创新意识等，是课堂教学的一个综合应用的拓展素材。
如新课程高中《数学教材必修5》第一章《解三角形》中结束部分的实习作业“测量旗杆的高度”，就比较清楚地表明了实习作业的目的是培养学生的观察思考能力、实际操作能力，体验合作学习的方式。教学实践中把这一拓展素材作为一次课外作业，以小组形式去完成，教师有效地进行评价。各小组为完成这一任务，就会尽心尽力地完成每一个内容，认真参与每一个测量环节，仔细演算，互相取长补短，形成统一的认识，并以实习报告的形式展现出来。体现了小组的整体力量，培养了学生的合作意识和团队精神，使学生的拓展能力得到大幅度的提升。
五、利用数学变式训练拓展学生思维
提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，而变式训练是提高学生对于知识理解，增强学生的应用意识，扩展学生的视野，拓展思维力的有效手段之一。
如人教版选修2-1中关于抛物线的定义是：在平面上到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。为强化对于定义的理解我们可以设计如下变式练习。
①坐标平面内到定点F（2，0）的距离比到定直线1：x=-1的距离大1的点的轨迹方程是。
解析：可以通过求曲线的方程求解或者准确理解坐标平面内到定点F（2，0）的距离比到定直线1：x=-1的距离大1的含义是坐标平面内到定点F（2，0）的距离和到定直线1：x=-2的距离相等的点的轨迹是抛物线y=8x。
通过以上的变式练习让学生进一步理解抛物线的实质，即到定点与定直线的距离相等的点的轨迹。但是在应用时我们必须准确把握知识的内涵，杜绝在知识的拓展过程中脱离知识内涵的随意变形，否则会给学生的学习造成困难或者理解上的歧义。
总之，数学知识的魅力在于其无穷的变化，以及变化过程中实质的永恒性，在教学过程中特别是在利用变式拓展所学内容的过程中，我们一定要准确把握知识的内涵，切忌无限的、不顾知识内在本质的拓展，这样不仅会加大学生的学习负担，而且会误导学生对于知识的理解，因此，作为数学教师最重要的一点就是要准确揭示知识的实质。只有在全面把握整套数学教材的结构，正确认识教材中相关知识点的地位和作用时，才能对其合理利用，进而激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性和主动性，体现教学的目的和意义。
（责任编辑杨晶晶）
一、情境导入，激发学习兴趣
在教材的每一章前面都安排有一个插图或引言，用于介绍本章内容的背景、数学应用现象，以及数学在各个领域中的地位与作用。其主要作用在于引导学生了解课程脉搏，理解数学知识与现实生活间的联系，激发学生学习本章的浓厚兴趣，建立起新旧知识的关联，对学好本章起到一个桥梁纽带作用。
例如，在《高中数学必修3》第三章《概率》中插入一个转盘游戏画面和中国福利彩票摇奖机画面，并同时附有文字说明。教师可以在教学实践中对这一拓展素材进行有效利用，用引言把本章主要研究的知识一随机事件、概率的意义、概率的求解大致讲解出来。同时提出“概率的准确含义是什么？用什么方法来计算随机事件的概率”等问题，为讲授新知识作好铺垫，有效增强教学效果。
二、利用课后阅读与思考，拓展学生思维
课后阅读与思考，主要是介绍知识的产生背景及相火的历史人物，对理解教材中的主体内容有一定的帮助，同时可以拓展学生的知识面。对于这部分知识，教师可作适当指导，让学生作为课外知识来阅读、了解相关知识的背景与发展趋势，不需要占用课堂时间，这有利于培养学生的阅读理解能力，并增强学生的学习兴趣，形成科学的人生观、价值观。
如《数学必修3》中的“割圆术”、“广告中数据的可靠性”、“如何提高敏感性问题的诚实反应”、“生产过程中的质量控制图”等，通过阅读这些材料，不仅让学生知道圆周率求解的艰难历程，还可以了解我国数学在这方面的光辉成就，使学生在理解数学的严谨性和科学性的同时激发他们热爱数学、敢于创新的精神，培养他们良好的个性品质，增强学生的民族自豪感与认同感，发挥数学对学生进行品德教育的积极作用。
三、应用所学知识解决问题，
培养学生的分析、应用能力
在数学教材中，有的拓展知识素材如“探究与思考”、“xx案例”等是为了对课程主体内容的验证或是以教材主体内容为依据，让学生去探究应用知识解决问题的方法与能力，激发学生的学习兴趣与积极性，即培养学生的应用数学知识的能力，同时也是为了让学生体验数学的工具性和基础性。如《数学必修3》中的“算法案例”，就是让学生自己动手研究“辗转相除法与更相减损术”、“秦九韶算法”、“进位制”，通过学生自主探究相关算法，画出算法程序框图，写出相关程序语句，通过对这一素材的学习，在学生自己动手完成的过程中强化了应用的意识与能力，培养了学生自主分析、制订方案解决问题的能力。这样不仅降低了学习的难度，同时也增强了学习的效果。
对于这些拓展素材，教师可以在讲授教材内容时穿插进去，也可以让学生课下独立完成。这样对于在探究方面有爱好或专长的学生意义更大，但是教师一定要进行必要的指导，同时引导学生之间进行交流学习，以营造一种探究学习的氛围。
四、利用实习作业提高学生合作学习的意识
教学的目的是让学生学会用数学知识解决实际问题，用所学的知识去学习新的相关知识，获得更实用的技能。新课程数学教材中有4处实习作业，实习作业是新教材的新增内容，是研究性学习的简明形式。它的主要作用是培养学生的观察思考能力、实际操作能力、合作精神、科学态度、创新意识等，是课堂教学的一个综合应用的拓展素材。
如新课程高中《数学教材必修5》第一章《解三角形》中结束部分的实习作业“测量旗杆的高度”，就比较清楚地表明了实习作业的目的是培养学生的观察思考能力、实际操作能力，体验合作学习的方式。教学实践中把这一拓展素材作为一次课外作业，以小组形式去完成，教师有效地进行评价。各小组为完成这一任务，就会尽心尽力地完成每一个内容，认真参与每一个测量环节，仔细演算，互相取长补短，形成统一的认识，并以实习报告的形式展现出来。体现了小组的整体力量，培养了学生的合作意识和团队精神，使学生的拓展能力得到大幅度的提升。
五、利用数学变式训练拓展学生思维
提高学生的数学思维能力是数学教育的基本目标之一，而变式训练是提高学生对于知识理解，增强学生的应用意识，扩展学生的视野，拓展思维力的有效手段之一。
如人教版选修2-1中关于抛物线的定义是：在平面上到定点与定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。为强化对于定义的理解我们可以设计如下变式练习。
①坐标平面内到定点F（2，0）的距离比到定直线1：x=-1的距离大1的点的轨迹方程是。
解析：可以通过求曲线的方程求解或者准确理解坐标平面内到定点F（2，0）的距离比到定直线1：x=-1的距离大1的含义是坐标平面内到定点F（2，0）的距离和到定直线1：x=-2的距离相等的点的轨迹是抛物线y=8x。
通过以上的变式练习让学生进一步理解抛物线的实质，即到定点与定直线的距离相等的点的轨迹。但是在应用时我们必须准确把握知识的内涵，杜绝在知识的拓展过程中脱离知识内涵的随意变形，否则会给学生的学习造成困难或者理解上的歧义。
总之，数学知识的魅力在于其无穷的变化，以及变化过程中实质的永恒性，在教学过程中特别是在利用变式拓展所学内容的过程中，我们一定要准确把握知识的内涵，切忌无限的、不顾知识内在本质的拓展，这样不仅会加大学生的学习负担，而且会误导学生对于知识的理解，因此，作为数学教师最重要的一点就是要准确揭示知识的实质。只有在全面把握整套数学教材的结构，正确认识教材中相关知识点的地位和作用时，才能对其合理利用，进而激发学生的学习兴趣，调动学生学习的积极性和主动性，体现教学的目的和意义。
（责任编辑杨晶晶）