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[摘要] 探讨高校教师上好高等院校必修课《概率论与数理统计》的第一节课的最佳教学方法。通过与学生的沟通与交流,让学生自己提出感兴趣的问题,用“情境模拟问题”为主的探讨课形式作为这节课的主要教学模式。同时,对学生提出的问题,引出概率学与数理统计学中相关的知识与结论加以介绍并作简单的引申推理。
[关键词] 《概率统计》 情境模拟问题 教学模式 教学方法
刚进入高校的理工科大学生,在经过半年到一年的大学学习后,就会接触到在高校数学方面的另外一门非常重要的必修课——《概率统计》(有些教材则称之为《概率论与数理统计》)。那么,作为一名高校数学老师,如何上好这门课的第一节课,使学生以最大的热情投入到该门课的学习中去呢?
我们知道,在中学实行新课改以后,概率已经成为中学数学的一部分内容,很多学生已经有了这方面的基础。再加上又经过了《高等数学》的学习作为铺垫,因此,学习《概率统计》时,应该变得比较上手了。但是,有些学生一翻开书,看到里面的符号与公式密密麻麻,就觉得非常头痛。为了解决这方面的问题并吸引学生学习该门课的兴趣,老师可以尝试用“情境模拟问题”为主的探讨课形式作为主要的教学模式。
所谓“情境模拟问题”,就是指对学生提出的现实环境中的各种问题,给出数学模型来模拟该问题,并使之与概率统计中的问题相结合,最终解决这类问题,对于刚接触这门课的学生来说,这是一个非常好的方法,同时,也是非常有效的方法。下面,就通过几个实例来对学生提出的各类问题进行一一模拟说明。
一、赌博中的概率统计(概率的起源)
概率的起源就是博弈,也就是我们称的赌博,它正是法国两个大数学家巴斯卡和费马最开始研究的。巴斯卡认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出了一个问题:他们进行一场对局,他俩下赌金之后,约定谁先赢满5局中的3局(每局两人获胜的几率一样),谁就获得全部赌金。当A赢了2局,B赢了1局时,时间很晚了,他们都不想再赌下去了。那么,赌金该怎么分?是不是把钱分成3份,赢了2局的就拿2份,赢了1局的就拿1份呢?或者,因为最早说的是满3局,而谁也没达到,所以就一人分一半呢?这两种分法都不对。正确的答案是:赢了2局的拿这个钱的3/4,赢了1局的拿这个钱的1/4。为什么呢?假定他们俩再赌一局,或者 A赢,或者 B赢。若是 A赢满了3局,钱应该全归他;A如果输了,即 A、B各赢2局,这个钱应该对半分。现在, A赢、输的可能性都是1/2,所以,他拿的钱应该是1/2×1 1/2×1/2=3/4,当然,B就应该得1/4。
通过这次讨论,开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。在这个问题中,数学期望是一个平均值,就是对将来不确定的钱今天应该怎么算,这就要用A赢输的概率1/2去乘上他可能得到的钱,再把它们加起来。概率论从此就发展起来,今天已经成为应用非常广泛的一门学科。
二、军事中的概率统计(概率的发展)
军事中也有概率统计吗?回答是当然的。在1941到1942年的二战期间,盟军的美国和英国造的坦克作战能力超过了德国的Panzer坦克。但是,盟军还是很担心德国的新型坦克Mark IV和Mark V。而且盟军根本就不知道德国人一年能造出多少坦克来。缺少这个信息,盟军对西线作战的胜利没有把握。一开始,情报部门观察德国坦克制造厂,甚至专门在战场上数德国人的坦克。这些方法收获甚微。后来情报部门找来了统计学专家,想看一看他们有没有什么好的办法。统计学家们有一个关键信息:缴获的Mark V坦克上的序列号。原理是这样的:德国坦克编号是1,23……N。这里的N就是坦克的总生产数量。假设盟军缴获了5台坦克,他们的编号分别是20,31,43,78和 92。这里样本总数S是5,最大序列号M是92。他们在其它一些系列上进行了测试和演算,得出了一个公式:制造总量=(M-1)(S 1)/S。在上面的例子中,(92-1)(5 1)/5 = 109.2。所以,总产量在109左右。运用这个公式,统计学家门得出结论:在1940年6月到1942年9月,德国每个月制造出246台坦克。情报部门得出的数据要高得多,1400台。战争结束后,盟军拿到了制造厂的生产报表,数据显示这三年德国每月生产245台坦克。
这方面的讨论可以帮助学生了解到学习统计的重要作用,是统计学家帮助盟军赢得了战争。当然,这些知识的原理学生现在还掌握不了,但至少吸引了他们学习的兴趣,对后面的教学会有很大的帮助的。
三、政治中的概率统计(现实的应用)
民调(又称民意调查、民意测验)在我们现实中已经非常普遍,是一种了解公众对某些政治、经济、社会等问题的意见和态度的调查方法,其目的在于通过对大量样本的问卷调查来较为客观、精确地反映社会舆论或民意动向。小到对生活中某一件事的看法,大到国家领导人的选举,都可以由民意调查体现出来。我们来看2009年8月底的日本众议院大选(直接决定总统人选):在选举之前,民意调查结果显示,日本民主党在众议院比例代表选举中的支持率比执政的自民党高出一倍,达到35.9%,最终结果是日本民主党获得在众议院480个议席中的308个,压倒性优势击败执政党自民党。为什么民调可以如此准确地反应结果呢?原因可由概率中的中心极限定理给出:设一个国家进行总统选举,推出两个候选人,若民调显示候选人A的支持率为P,比候选人B的支持率多5个百分点,同时,若使得A最终能够当选的概率达到97%,则需要调查的人数可由 结合求出,得n=1308人。换句话说,在一个国家进行约对1300多人的民意调查中,若其中一个人的民调领先另外一个人3个百分点以上,那么,他最终当选的概率可以达到97%。当然,若想使这个概率变得更大一点,只需再增加调查的人数就可以了。在这个例子中,民主党的民意结果遥遥领先,最终大胜也就不足为奇了。
四、分红中的概率统计(经济的应用)
保险公司的利润靠的是保费及再投资,银行靠利息及贷款,企业靠投资产品的回报及年终分红。每个行业都想以最小的投入获得最大的回报。但经济学的基本原理告诉我们,风险与利润是直接挂钩的,一般来说,风险愈大,利润愈高。而风险又与概率紧密相连。所以说,学好了概率统计,就为学好经济学打下一个坚实的基础,为以后走向各个行业奠下一个理论的基石。只这一点来说,对学生也是大大有益的。
当然,还有其他方面的应用。对于学生提出的各类问题,都可以用概率统计学的知识加以模拟,同时,加以引申推广,用通俗易懂的语言在这第一节课中给学生阐述出来。著名的教育学家曾经说过:“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解问题而奋斗的喜怒哀乐,那它的教育就在最重要的地方失败了。”马克思预言:一门学科只有等它成功的运用了数学之后,才算达到真正完善的进步。对于《概率统计》这门数学的分支,教师应该立足于实际,立足于基础,把学生提出的问题与概率统计学有机地结合,用“情景模拟问题”,上好完美的《概率统计》第一节课。
参考文献:
[1]马玮.例谈如何上好概率探究课.上海中学数学,2009,(6).
[2]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程.高等教育出版社,2004.
[3]张阚,丰雪.立足实际,上好概率统计课.现代教育科学,2005,(8).
[关键词] 《概率统计》 情境模拟问题 教学模式 教学方法
刚进入高校的理工科大学生,在经过半年到一年的大学学习后,就会接触到在高校数学方面的另外一门非常重要的必修课——《概率统计》(有些教材则称之为《概率论与数理统计》)。那么,作为一名高校数学老师,如何上好这门课的第一节课,使学生以最大的热情投入到该门课的学习中去呢?
我们知道,在中学实行新课改以后,概率已经成为中学数学的一部分内容,很多学生已经有了这方面的基础。再加上又经过了《高等数学》的学习作为铺垫,因此,学习《概率统计》时,应该变得比较上手了。但是,有些学生一翻开书,看到里面的符号与公式密密麻麻,就觉得非常头痛。为了解决这方面的问题并吸引学生学习该门课的兴趣,老师可以尝试用“情境模拟问题”为主的探讨课形式作为主要的教学模式。
所谓“情境模拟问题”,就是指对学生提出的现实环境中的各种问题,给出数学模型来模拟该问题,并使之与概率统计中的问题相结合,最终解决这类问题,对于刚接触这门课的学生来说,这是一个非常好的方法,同时,也是非常有效的方法。下面,就通过几个实例来对学生提出的各类问题进行一一模拟说明。
一、赌博中的概率统计(概率的起源)
概率的起源就是博弈,也就是我们称的赌博,它正是法国两个大数学家巴斯卡和费马最开始研究的。巴斯卡认识两个赌徒,这两个赌徒向他提出了一个问题:他们进行一场对局,他俩下赌金之后,约定谁先赢满5局中的3局(每局两人获胜的几率一样),谁就获得全部赌金。当A赢了2局,B赢了1局时,时间很晚了,他们都不想再赌下去了。那么,赌金该怎么分?是不是把钱分成3份,赢了2局的就拿2份,赢了1局的就拿1份呢?或者,因为最早说的是满3局,而谁也没达到,所以就一人分一半呢?这两种分法都不对。正确的答案是:赢了2局的拿这个钱的3/4,赢了1局的拿这个钱的1/4。为什么呢?假定他们俩再赌一局,或者 A赢,或者 B赢。若是 A赢满了3局,钱应该全归他;A如果输了,即 A、B各赢2局,这个钱应该对半分。现在, A赢、输的可能性都是1/2,所以,他拿的钱应该是1/2×1 1/2×1/2=3/4,当然,B就应该得1/4。
通过这次讨论,开始形成了概率论当中一个重要的概念——数学期望。在这个问题中,数学期望是一个平均值,就是对将来不确定的钱今天应该怎么算,这就要用A赢输的概率1/2去乘上他可能得到的钱,再把它们加起来。概率论从此就发展起来,今天已经成为应用非常广泛的一门学科。
二、军事中的概率统计(概率的发展)
军事中也有概率统计吗?回答是当然的。在1941到1942年的二战期间,盟军的美国和英国造的坦克作战能力超过了德国的Panzer坦克。但是,盟军还是很担心德国的新型坦克Mark IV和Mark V。而且盟军根本就不知道德国人一年能造出多少坦克来。缺少这个信息,盟军对西线作战的胜利没有把握。一开始,情报部门观察德国坦克制造厂,甚至专门在战场上数德国人的坦克。这些方法收获甚微。后来情报部门找来了统计学专家,想看一看他们有没有什么好的办法。统计学家们有一个关键信息:缴获的Mark V坦克上的序列号。原理是这样的:德国坦克编号是1,23……N。这里的N就是坦克的总生产数量。假设盟军缴获了5台坦克,他们的编号分别是20,31,43,78和 92。这里样本总数S是5,最大序列号M是92。他们在其它一些系列上进行了测试和演算,得出了一个公式:制造总量=(M-1)(S 1)/S。在上面的例子中,(92-1)(5 1)/5 = 109.2。所以,总产量在109左右。运用这个公式,统计学家门得出结论:在1940年6月到1942年9月,德国每个月制造出246台坦克。情报部门得出的数据要高得多,1400台。战争结束后,盟军拿到了制造厂的生产报表,数据显示这三年德国每月生产245台坦克。
这方面的讨论可以帮助学生了解到学习统计的重要作用,是统计学家帮助盟军赢得了战争。当然,这些知识的原理学生现在还掌握不了,但至少吸引了他们学习的兴趣,对后面的教学会有很大的帮助的。
三、政治中的概率统计(现实的应用)
民调(又称民意调查、民意测验)在我们现实中已经非常普遍,是一种了解公众对某些政治、经济、社会等问题的意见和态度的调查方法,其目的在于通过对大量样本的问卷调查来较为客观、精确地反映社会舆论或民意动向。小到对生活中某一件事的看法,大到国家领导人的选举,都可以由民意调查体现出来。我们来看2009年8月底的日本众议院大选(直接决定总统人选):在选举之前,民意调查结果显示,日本民主党在众议院比例代表选举中的支持率比执政的自民党高出一倍,达到35.9%,最终结果是日本民主党获得在众议院480个议席中的308个,压倒性优势击败执政党自民党。为什么民调可以如此准确地反应结果呢?原因可由概率中的中心极限定理给出:设一个国家进行总统选举,推出两个候选人,若民调显示候选人A的支持率为P,比候选人B的支持率多5个百分点,同时,若使得A最终能够当选的概率达到97%,则需要调查的人数可由 结合求出,得n=1308人。换句话说,在一个国家进行约对1300多人的民意调查中,若其中一个人的民调领先另外一个人3个百分点以上,那么,他最终当选的概率可以达到97%。当然,若想使这个概率变得更大一点,只需再增加调查的人数就可以了。在这个例子中,民主党的民意结果遥遥领先,最终大胜也就不足为奇了。
四、分红中的概率统计(经济的应用)
保险公司的利润靠的是保费及再投资,银行靠利息及贷款,企业靠投资产品的回报及年终分红。每个行业都想以最小的投入获得最大的回报。但经济学的基本原理告诉我们,风险与利润是直接挂钩的,一般来说,风险愈大,利润愈高。而风险又与概率紧密相连。所以说,学好了概率统计,就为学好经济学打下一个坚实的基础,为以后走向各个行业奠下一个理论的基石。只这一点来说,对学生也是大大有益的。
当然,还有其他方面的应用。对于学生提出的各类问题,都可以用概率统计学的知识加以模拟,同时,加以引申推广,用通俗易懂的语言在这第一节课中给学生阐述出来。著名的教育学家曾经说过:“如果学生在学校里没有机会尝尽为求解问题而奋斗的喜怒哀乐,那它的教育就在最重要的地方失败了。”马克思预言:一门学科只有等它成功的运用了数学之后,才算达到真正完善的进步。对于《概率统计》这门数学的分支,教师应该立足于实际,立足于基础,把学生提出的问题与概率统计学有机地结合,用“情景模拟问题”,上好完美的《概率统计》第一节课。
参考文献:
[1]马玮.例谈如何上好概率探究课.上海中学数学,2009,(6).
[2]茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程.高等教育出版社,2004.
[3]张阚,丰雪.立足实际,上好概率统计课.现代教育科学,2005,(8).