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摘要：研究航空公司一天中同一航段多航班的超售问题，以多航班总期望收益最大化为目标，建立了单一票价体系下基于二项分布的多航班超售模型。并以成都—北京航线为例，运用Matlab软件求出了最优可销售座位数，多航班超售总期望收益大于单个航班超售的总期望收益之和，验证了模型的正确性及优越性。
关键词：收益管理 超售 多航班 期望收益
一、引言
收益管理作为一种优化决策方法，在航空客运领域，指航空公司通过预测和优化等科学手段，使每一航班的每一座位以最好的价格出售，从而获得最大的收益。
超售是指航空公司在飞机起飞前出售的座位数超过了实有的座位，是航空公司最早使用的收益管理方法，也是最基本的方法。同时，超售也是航空公司实施收益管理非常有效的方法，Smith等人的研究得出美国航空公司实施收益管理所增加的收入中40%都来自于超售。航空公司实行超售，主要是因为旅客No－show或者离航班起飞时间较近时取消订座，造成座位虚耗。
二、多航班超售模型
（一）符号说明
C：航班座位数；x：航班座位预订数；P：接受一个订座所带来的边际收益；q：航班起飞当日订座旅客达到的概率；h1：旅客被拒载转移至后一个航班所支付的赔偿费用（h1＜P＜h2）；h2：旅客被DB而支付的赔偿费用（旅客取消订座而转乘其他航空公司的航班）；Zn（x）：第n个航班，预订数为x，航班起飞时旅客实际达到人数；cn（k）：第n个航班，旅客达到数量为k时发生拒载的成本；Vn（x）：第n个航班预订数为x时总期望收益 。
（二）基本假设
1、不考虑随着时间流逝旅客退票和新的预订请求的动态变化。
2、已订票旅客达到机场的概率服从二项分布，No－show旅客看作航班起飞当天取消其订座。
3、旅客是否取消订座相互独立，但具有相同的取消订座的概率。
4、取消订座的概率具备马尔科夫性：即取消订座的概率仅取决于现在到航班当日所剩余的时间，且独立于旅客预订机票的时间。
5、每天的第一个航班不考虑前一天航班对它的影响，每个航班上DB的旅客在下一个航班上都被优先安排，即每一个航班只对其后一个航班产生影响。
6、同一条航线上采用相同的机型，且航班超售量相同。
（三）模型构建
模型主要思想是在已接受预订量为x的情况下，根据△V＝p－△c的正负考虑是否接受第x＋1个订座，以最大化多个航班的总期望收益。
考虑n个航班的超售：
对于第一个航班：
假设机票预订数量为x，航班起飞当日达到k个旅客的概率为
■ （1）
超售具有单调递增的边际成本，因为多一名旅客被拒载就可能需要向所有拒载旅客支付更多的赔偿。为简化模型，假设每一名拒载旅客都得到固定的赔偿h1，第一个航班的超售成本为：
■（2）
第一个航班总期望收益为：
■（3）
考虑第二个航班，由第一个航班拒载的旅客数为
■（4）
因此第二个航班的达到人数
■
其中：
■（5）
由于只考虑两个航班的超售，第二个航班被拒载的旅客将会取消订座而转乘其他航空公司的航班，因此航班超售成本为
■（6）
第二个航班总期望收益为
■ （7）
第n个航班到达人数为
■（8）
超售成本为：
■（9）
第n个航班期望收益为
■ （10）
所以考虑n个航班的超售，目标函数为
■（11）
模型的关键在于各个航班超售期望成本的计算，本文利用Matlab软件编写程序求解，将各个航班的超售成本期望值作为数组储存起来，便于下一个航班计算超售成本使用。最后便可求得总期望收益最大化时的航班最优预订数量。
三、模型实证分析
考虑国内某航空公司在成都—北京航线上，平均每天3个航班，飞机座位数C＝150，旅客到达率q＝0.85，接受一个预定带来的边际收益p＝1000，旅客被拒载而转移到下一个航班支付赔偿费用h1＝300，旅客取消订座转乘其他航空公司的航班支付赔偿费用h2＝2000，利用Matlab编写程序求解，结果如图1所示。
由图1可以看出，在接受预订数x＝177时，总期望收益达到最大，为521107元，而如果只考虑单个航班的超售，三个航班总期望收益值为518237元。相比单航班超售总期望收益增加了0.55%，验证了模型的正确性及优越性。
四、结语
本文以多个航班总期望收益最大化为目标，建立了多航班超售模型，并通过实证分析，运用软件求解，验证模型的合理性。所建模型可用于航空公司进行多航班超售时决定最佳销售量使用。所建模型只考虑了单一票价的情况，没有考虑多等级票价体系，对于航班超售量不同的多航班超售模型，还有待进一步研究。
参考文献：
①杨思梁. 最盈利的管理方法——收益管理[M]．北京：航空工业出版社，2000年
②衡红军，杨珏．航班座位超售量的确定[J]．计算机工程，2005，31（7）：166—167
③王旭．关于超售的思考[J]．中国民用航空，2007，77（5）：21—24
④Chatwin E．Optimal airline overbooking[D]．California，Stanford University，1993
⑤Bowman D，Houmard R，Dickey S．Bumping for dollars：the airline overbooking problem[J]．The UMAP Journal，2002，Vol．23(3)：351-365
〔中国民航飞行学院“竞争环境下同一航线多航班超售策略研究”(项目编号：X2011-45)科研创新项目〕
（朱志愚，1962年生，四川资阳人，中国民航飞行学院航空运输管理学院教授。研究方向：航空公司经营与管理。张威，1987年生，山东菏泽人，中国民航飞行学院航空运输管理硕士研究生。研究方向：航空公司收益管理）
关键词：收益管理 超售 多航班 期望收益
一、引言
收益管理作为一种优化决策方法，在航空客运领域，指航空公司通过预测和优化等科学手段，使每一航班的每一座位以最好的价格出售，从而获得最大的收益。
超售是指航空公司在飞机起飞前出售的座位数超过了实有的座位，是航空公司最早使用的收益管理方法，也是最基本的方法。同时，超售也是航空公司实施收益管理非常有效的方法，Smith等人的研究得出美国航空公司实施收益管理所增加的收入中40%都来自于超售。航空公司实行超售，主要是因为旅客No－show或者离航班起飞时间较近时取消订座，造成座位虚耗。
二、多航班超售模型
（一）符号说明
C：航班座位数；x：航班座位预订数；P：接受一个订座所带来的边际收益；q：航班起飞当日订座旅客达到的概率；h1：旅客被拒载转移至后一个航班所支付的赔偿费用（h1＜P＜h2）；h2：旅客被DB而支付的赔偿费用（旅客取消订座而转乘其他航空公司的航班）；Zn（x）：第n个航班，预订数为x，航班起飞时旅客实际达到人数；cn（k）：第n个航班，旅客达到数量为k时发生拒载的成本；Vn（x）：第n个航班预订数为x时总期望收益 。
（二）基本假设
1、不考虑随着时间流逝旅客退票和新的预订请求的动态变化。
2、已订票旅客达到机场的概率服从二项分布，No－show旅客看作航班起飞当天取消其订座。
3、旅客是否取消订座相互独立，但具有相同的取消订座的概率。
4、取消订座的概率具备马尔科夫性：即取消订座的概率仅取决于现在到航班当日所剩余的时间，且独立于旅客预订机票的时间。
5、每天的第一个航班不考虑前一天航班对它的影响，每个航班上DB的旅客在下一个航班上都被优先安排，即每一个航班只对其后一个航班产生影响。
6、同一条航线上采用相同的机型，且航班超售量相同。
（三）模型构建
模型主要思想是在已接受预订量为x的情况下，根据△V＝p－△c的正负考虑是否接受第x＋1个订座，以最大化多个航班的总期望收益。
考虑n个航班的超售：
对于第一个航班：
假设机票预订数量为x，航班起飞当日达到k个旅客的概率为
■ （1）
超售具有单调递增的边际成本，因为多一名旅客被拒载就可能需要向所有拒载旅客支付更多的赔偿。为简化模型，假设每一名拒载旅客都得到固定的赔偿h1，第一个航班的超售成本为：
■（2）
第一个航班总期望收益为：
■（3）
考虑第二个航班，由第一个航班拒载的旅客数为
■（4）
因此第二个航班的达到人数
■
其中：
■（5）
由于只考虑两个航班的超售，第二个航班被拒载的旅客将会取消订座而转乘其他航空公司的航班，因此航班超售成本为
■（6）
第二个航班总期望收益为
■ （7）
第n个航班到达人数为
■（8）
超售成本为：
■（9）
第n个航班期望收益为
■ （10）
所以考虑n个航班的超售，目标函数为
■（11）
模型的关键在于各个航班超售期望成本的计算，本文利用Matlab软件编写程序求解，将各个航班的超售成本期望值作为数组储存起来，便于下一个航班计算超售成本使用。最后便可求得总期望收益最大化时的航班最优预订数量。
三、模型实证分析
考虑国内某航空公司在成都—北京航线上，平均每天3个航班，飞机座位数C＝150，旅客到达率q＝0.85，接受一个预定带来的边际收益p＝1000，旅客被拒载而转移到下一个航班支付赔偿费用h1＝300，旅客取消订座转乘其他航空公司的航班支付赔偿费用h2＝2000，利用Matlab编写程序求解，结果如图1所示。
由图1可以看出，在接受预订数x＝177时，总期望收益达到最大，为521107元，而如果只考虑单个航班的超售，三个航班总期望收益值为518237元。相比单航班超售总期望收益增加了0.55%，验证了模型的正确性及优越性。
四、结语
本文以多个航班总期望收益最大化为目标，建立了多航班超售模型，并通过实证分析，运用软件求解，验证模型的合理性。所建模型可用于航空公司进行多航班超售时决定最佳销售量使用。所建模型只考虑了单一票价的情况，没有考虑多等级票价体系，对于航班超售量不同的多航班超售模型，还有待进一步研究。
参考文献：
①杨思梁. 最盈利的管理方法——收益管理[M]．北京：航空工业出版社，2000年
②衡红军，杨珏．航班座位超售量的确定[J]．计算机工程，2005，31（7）：166—167
③王旭．关于超售的思考[J]．中国民用航空，2007，77（5）：21—24
④Chatwin E．Optimal airline overbooking[D]．California，Stanford University，1993
⑤Bowman D，Houmard R，Dickey S．Bumping for dollars：the airline overbooking problem[J]．The UMAP Journal，2002，Vol．23(3)：351-365
〔中国民航飞行学院“竞争环境下同一航线多航班超售策略研究”(项目编号：X2011-45)科研创新项目〕
（朱志愚，1962年生，四川资阳人，中国民航飞行学院航空运输管理学院教授。研究方向：航空公司经营与管理。张威，1987年生，山东菏泽人，中国民航飞行学院航空运输管理硕士研究生。研究方向：航空公司收益管理）