论文部分内容阅读
一、考试说明要求
立体几何必做题部分中涉及空间量（如距离、角）的计算的考查大大减弱，而以空间元素（如直线、平面）间的平行、垂直的论证为主.
内 容要 求
线、面之间的位置关系直线与平面平行、垂直的判断及性质B
两平面平行、垂直的判断及性质B
二、知识结构框图
1．线线、线面、面面平行关系的转化
线线平行
线面平行
面面平行
↓
2．线线、线面、面面垂直关系的转化
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3．平行与垂直关系的转化
线线平行
线面垂直
面面平行
三、基本问题总结
基本问题1 线线平行关系的论证
1．两条直线平行的定义：共面且无公共点；
2．公理四：a∥bb∥ca∥c；
3．线面平行的性质定理：l∥αlβα∩β=ml∥m；
4．面面平行的性质定理：α∥βα∩γ=aβ∩γ=ba∥b；
5．线面垂直的性质定理：a⊥αb⊥αa∥b；
6．平面几何知识.
基本问题2 线面平行关系的论证
1．线面平行的定义：直线和平面无公共点；
2．线面平行的判定定理：aαbαa∥ba∥α；
3．面面平行的常用性质：α∥βaαa∥β.
基本问题3 面面平行关系的论证
1.两个平面平行的定义：两平面无公共点；
2.面面平行的判定定理：aαbαa∩b=Aa∥βb∥βα∥β；
3.垂直于同一直线的两个平面平行：a⊥αa⊥βα∥β；
4.平行于同一平面的两个平面平行：α∥ββ∥γα∥γ.
基本问题4 线线垂直关系的论证
1．直线与平面垂直的常用性质：a⊥αbαa⊥b；
2．l1∥l3l2⊥l3l1⊥l2；
3．经计算得直线与直线所成角为90°；
4．平面几何有关结论：等腰三角形底边上的中线垂直于底边；菱形或正方形的对角线相互垂直；直径所对的圆周角是直角；过切点的半径垂直于切线；
5．三垂线定理或其逆定理.
基本问题5 线面垂直关系的论证
1．直线与平面垂直的定义：直线与平面内任一条直线都垂直；
2．直线与平面垂直的判定定理：a⊥ma⊥nm∩n=Amαnαa⊥α；
3．平面与平面垂直的性质定理：α⊥βα∩β=laβa⊥la⊥α；
4．a∥ba⊥αb⊥α；
5．α∥βl⊥αl⊥β.
基本问题6 面面垂直关系的论证
1．面面垂直的定义：所成二面角是直二面角；
2．面面垂直的判定定理：l⊥αlβα⊥β.
四、解题策略指导
（1）由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先罗列条件，再由定理得出相应结论.
（2）充分运用转化的思想方法，如平行、垂直之间的相互转化，平面与空间的相互转化等等.证平行问题的一般思维程序是:先找 “面”,再找 “线”,然后通过“转化”、“降维”解决．证垂直问题的一般思维程序是:先找 “线”,再找“面”,然后通过“转化”、“降维”解决．
（3）在平行与垂直位置关系的论证解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一.
五、重点题型归纳
基本题型1 关于平行与垂直位置关系的命题判断
例1 设有直线m、n和平面α、β.下列命题中，真命题的序号是 .
（1）若m∥α,n∥α,则m∥n；
（2）若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β；
（3）若α⊥β，mα,则m⊥β；
（4）若α⊥β，m⊥β，mα,则m∥α；
解析：使部分满足条件（一般先固定面），其余条件运动起来，在动态中观察位置关系，正确理解立体几何问题中文字语言、符号语言、图形语言的转换是解决此类问题的关键.
由图形可知，只有（4）是真命题.
回顾：在涉及判断平行与垂直的位置关系的问题时，常常化抽象为具体，把较多平行与垂直位置关系置于我们熟悉的几何体中，如图即可得出结论，构造一些特殊的几何模型，如立方体、长方体等，建议多运用手边的书本、笔、三角板等搭建一些简单几何体.
基本题型2 平行与垂直关系的证明
例2 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF
瘙 綊 12BC.
（Ⅰ）证明：FO∥平面CDE;
（Ⅱ）证明：平面OEF⊥平面CDF.；
（Ⅲ）设BC=3CD,证明：EO⊥平面CDF.
分析：要证线面平行，一般有两种思路，一是找线，使线线平行，二是找面，使面面平行，进而得到线面平行；要证面面垂直，只需在其中一个平面内找另外一个平面的垂线即可；要证线面垂直，常常需要寻找两个线线垂直的关系.
证明：（Ⅰ）方法1：找线线平行，
取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，OM
瘙 綊 12BC,又EF
瘙 綊 12BC,则EF
瘙 綊 OM.
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.∴FO∥EM.
又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，∴FO∥平面CDE.
方法2：找面面平行，分别取BC,AD的中点P,Q，则O,P,Q三点共线，连结FP,FQ，在梯形BCEF中，EF
瘙 綊 12BC，则四边形EFPC为平行四边形，所以FP∥EC，且FP平面CDE，EC平面CDE，则FP∥平面CDE，同理FQ∥平面CDE，且FP∩FQ=F，则平面FPQ∥平面CDE，而OF平面FPQ，∴FO∥平面CDE.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和已知条件，四边形EFOM为平行四边形.
∵CD⊥OM,CD⊥EM,∴CD⊥平面EFOM
而CD平面CDF.故平面EFOM⊥平面CDF.即平面OEF⊥平面CDF.
（Ⅲ）连结FM.由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM,EM⊥CD，
且EM=32CD=12BC=EF.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.
∵CD⊥OM,CD⊥EM,∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FM∩CD=M,所以EO⊥平面CDF.
回顾：同学们若经过反思，便可认识到线面平行位置关系的判定需要利用性质定理来逆向分析.过OF作平面与平面CDE相交，若交线记为l，就应有OF与l平行.反之只要作出过OF的平面与平面CDE的交线l，设法证明OF与l平行也就行了.于是判定定理的使用在于将寻找线线平行转化为寻找或求作面面交线问题，而作面面交线问题也是有规律可循的，由于三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线或者互相平行或者相交于一点，所以作辅助线时，要么作平行线，要么延长相交.从投影的角度看，就是要么用平行投影，要么用中心投影的方法作出辅助线.
基本题型3 平行与垂直位置关系的探究性问题
例3 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）求证：D1C⊥AC1；
（Ⅱ）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
分析：证线线垂直，一般是通过线面垂直得到；探究线面平行，若能找出过D1E的平面与平面A1BD的交线就行了.
（Ⅰ）证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 连结C1D．
∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形．
∴DC1⊥D1C．又AD⊥DC，AD⊥DD1,DC∩DD1=D，
∴AD⊥平面DCC1D1， 又D1C平面DCC1D1，∴AD⊥D1C．
∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC=D，
∴D1C⊥平面ADC1，又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1．
（Ⅱ）连结AD1，连结AE，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连结MN．
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，
又M是AD1的中点．∴N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE． 即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．证明略.
回顾：（1）解答存在性、探索型问题的基本思路是： 先假设存在或成立，以此为条件进行运算或推理，若推出矛盾，否定假设，否则，给出肯定的证明.
（2）探索线面平行成立的充分条件问题，通常有两种方法，一种是寻求线线平行，一种是作出面面平行，而后一种方法更趋于理性与直接，即添加平行辅助线，探求面面平行后立得线面平行.
基本题型4 折叠等综合性问题
例4 如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G,F分别为AD,CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；
（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；
（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得面BDR⊥面DCB，并说明理由.
分析：解决折叠问题的关键是：理清折前与折后不变的位置与数量关系.假设在线段AE上能找到一点R，使得面BDR⊥面DCB，要找线面垂直，如何找线，找哪个面？平面DCB是四棱锥的一个侧面，容易找到垂线.所以只要在平面BDR上找一条直线垂直于平面DCB.首先找平面DCB的一条垂线，易知平面DCB⊥平面EDC，过E点在平面CDE上作EM⊥DC于M，则EM⊥面DCB，则EM应该平行于或在平面BDR上，下面的问题只要根据线面平行的性质定理，在平面BDR内找到一条直线与直线EM平行即可.
证明：（Ⅰ）由已知得：DE⊥AE,DE⊥EC,AE∩EC=E, ∴DE⊥平面ABCE,
又BC平面ABCE,∴DE⊥BC, 又BC⊥CE,DE∩EC=E, ∴BC⊥平面DCE.
（Ⅱ）方法1 找面面平行
取AB中点H ，连接GH,FH. ∴GH∥BD,FH∥BC, 又GH,FH平面BCD，BD,BC平面BCD，∴GH∥平面BCD,FH∥平面BCD，且GH∩FH=H，
∴平面FHG∥平面BCD, 又GF平面FHG
∴GF∥平面BCD
方法2 找线线平行
连接AF并延长与BC的延长线交于点Q，连接DQ.
∵G,F分别为线段AD,CE的中点，
∴CF∥AB且CF=12AB且F是线段AQ的中点.即GF∥DQ，又GF平面BCD，DQ平面BCD，∴FG∥平面BCD.
（Ⅲ）先作出符合要求的点
由前面的分析可知，过E点在平面CDE上作EM⊥DC于M，
过M点在平面BCD上作MN∥BC交BD于点N，
在线段AE上截取一点R，使ER=MN，
则四边形MNRE为平行四边形.
∴RN∥ME，∴RN⊥平面BCD.
∵RN平面BDR，∴面BDR⊥面DCB.
再计算出点R的位置
在△CED中，DE=3,EC=1
∴EM=32,CM=12,DM=32
∴MN=34BC=32=ER
∴当R点满足3AR=RE时，平面BDR⊥平面BDC.
再证明当R点满足3AR=RE时，平面BDR⊥平面BDC.
回顾：利用面面垂直得到线面垂直是常用的找线面垂直的途径.当然在找面面垂直的过程中，尽可能得到线线垂直是关键.
最后需要特别提醒同学们注意的是：平行与垂直位置关系的证明与计算的书写格式要求非常严格，因此同学们在平时的训练中要多加注意书写的格式的规范性与严密性.如线面平行的证明，必须要说明三点，缺一不可.
（作者：吴卫东，江苏省泰兴中学)
立体几何必做题部分中涉及空间量（如距离、角）的计算的考查大大减弱，而以空间元素（如直线、平面）间的平行、垂直的论证为主.
内 容要 求
线、面之间的位置关系直线与平面平行、垂直的判断及性质B
两平面平行、垂直的判断及性质B
二、知识结构框图
1．线线、线面、面面平行关系的转化
线线平行
线面平行
面面平行
↓
2．线线、线面、面面垂直关系的转化
线线垂直
线面垂直
面面垂直
3．平行与垂直关系的转化
线线平行
线面垂直
面面平行
三、基本问题总结
基本问题1 线线平行关系的论证
1．两条直线平行的定义：共面且无公共点；
2．公理四：a∥bb∥ca∥c；
3．线面平行的性质定理：l∥αlβα∩β=ml∥m；
4．面面平行的性质定理：α∥βα∩γ=aβ∩γ=ba∥b；
5．线面垂直的性质定理：a⊥αb⊥αa∥b；
6．平面几何知识.
基本问题2 线面平行关系的论证
1．线面平行的定义：直线和平面无公共点；
2．线面平行的判定定理：aαbαa∥ba∥α；
3．面面平行的常用性质：α∥βaαa∥β.
基本问题3 面面平行关系的论证
1.两个平面平行的定义：两平面无公共点；
2.面面平行的判定定理：aαbαa∩b=Aa∥βb∥βα∥β；
3.垂直于同一直线的两个平面平行：a⊥αa⊥βα∥β；
4.平行于同一平面的两个平面平行：α∥ββ∥γα∥γ.
基本问题4 线线垂直关系的论证
1．直线与平面垂直的常用性质：a⊥αbαa⊥b；
2．l1∥l3l2⊥l3l1⊥l2；
3．经计算得直线与直线所成角为90°；
4．平面几何有关结论：等腰三角形底边上的中线垂直于底边；菱形或正方形的对角线相互垂直；直径所对的圆周角是直角；过切点的半径垂直于切线；
5．三垂线定理或其逆定理.
基本问题5 线面垂直关系的论证
1．直线与平面垂直的定义：直线与平面内任一条直线都垂直；
2．直线与平面垂直的判定定理：a⊥ma⊥nm∩n=Amαnαa⊥α；
3．平面与平面垂直的性质定理：α⊥βα∩β=laβa⊥la⊥α；
4．a∥ba⊥αb⊥α；
5．α∥βl⊥αl⊥β.
基本问题6 面面垂直关系的论证
1．面面垂直的定义：所成二面角是直二面角；
2．面面垂直的判定定理：l⊥αlβα⊥β.
四、解题策略指导
（1）由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先罗列条件，再由定理得出相应结论.
（2）充分运用转化的思想方法，如平行、垂直之间的相互转化，平面与空间的相互转化等等.证平行问题的一般思维程序是:先找 “面”,再找 “线”,然后通过“转化”、“降维”解决．证垂直问题的一般思维程序是:先找 “线”,再找“面”,然后通过“转化”、“降维”解决．
（3）在平行与垂直位置关系的论证解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一.
五、重点题型归纳
基本题型1 关于平行与垂直位置关系的命题判断
例1 设有直线m、n和平面α、β.下列命题中，真命题的序号是 .
（1）若m∥α,n∥α,则m∥n；
（2）若mα,nα,m∥β,n∥β,则α∥β；
（3）若α⊥β，mα,则m⊥β；
（4）若α⊥β，m⊥β，mα,则m∥α；
解析：使部分满足条件（一般先固定面），其余条件运动起来，在动态中观察位置关系，正确理解立体几何问题中文字语言、符号语言、图形语言的转换是解决此类问题的关键.
由图形可知，只有（4）是真命题.
回顾：在涉及判断平行与垂直的位置关系的问题时，常常化抽象为具体，把较多平行与垂直位置关系置于我们熟悉的几何体中，如图即可得出结论，构造一些特殊的几何模型，如立方体、长方体等，建议多运用手边的书本、笔、三角板等搭建一些简单几何体.
基本题型2 平行与垂直关系的证明
例2 如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，面CDE是等边三角形，棱EF
瘙 綊 12BC.
（Ⅰ）证明：FO∥平面CDE;
（Ⅱ）证明：平面OEF⊥平面CDF.；
（Ⅲ）设BC=3CD,证明：EO⊥平面CDF.
分析：要证线面平行，一般有两种思路，一是找线，使线线平行，二是找面，使面面平行，进而得到线面平行；要证面面垂直，只需在其中一个平面内找另外一个平面的垂线即可；要证线面垂直，常常需要寻找两个线线垂直的关系.
证明：（Ⅰ）方法1：找线线平行，
取CD中点M，连结OM.
在矩形ABCD中，OM
瘙 綊 12BC,又EF
瘙 綊 12BC,则EF
瘙 綊 OM.
连结EM，于是四边形EFOM为平行四边形.∴FO∥EM.
又∵FO平面CDE，且EM平面CDE，∴FO∥平面CDE.
方法2：找面面平行，分别取BC,AD的中点P,Q，则O,P,Q三点共线，连结FP,FQ，在梯形BCEF中，EF
瘙 綊 12BC，则四边形EFPC为平行四边形，所以FP∥EC，且FP平面CDE，EC平面CDE，则FP∥平面CDE，同理FQ∥平面CDE，且FP∩FQ=F，则平面FPQ∥平面CDE，而OF平面FPQ，∴FO∥平面CDE.
（Ⅱ）由（Ⅰ）和已知条件，四边形EFOM为平行四边形.
∵CD⊥OM,CD⊥EM,∴CD⊥平面EFOM
而CD平面CDF.故平面EFOM⊥平面CDF.即平面OEF⊥平面CDF.
（Ⅲ）连结FM.由（Ⅰ）和已知条件，在等边△CDE中，CM=DM,EM⊥CD，
且EM=32CD=12BC=EF.因此平行四边形EFOM为菱形，从而EO⊥FM.
∵CD⊥OM,CD⊥EM,∴CD⊥平面EOM，从而CD⊥EO.而FM∩CD=M,所以EO⊥平面CDF.
回顾：同学们若经过反思，便可认识到线面平行位置关系的判定需要利用性质定理来逆向分析.过OF作平面与平面CDE相交，若交线记为l，就应有OF与l平行.反之只要作出过OF的平面与平面CDE的交线l，设法证明OF与l平行也就行了.于是判定定理的使用在于将寻找线线平行转化为寻找或求作面面交线问题，而作面面交线问题也是有规律可循的，由于三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线或者互相平行或者相交于一点，所以作辅助线时，要么作平行线，要么延长相交.从投影的角度看，就是要么用平行投影，要么用中心投影的方法作出辅助线.
基本题型3 平行与垂直位置关系的探究性问题
例3 如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（Ⅰ）求证：D1C⊥AC1；
（Ⅱ）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
分析：证线线垂直，一般是通过线面垂直得到；探究线面平行，若能找出过D1E的平面与平面A1BD的交线就行了.
（Ⅰ）证明：在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中， 连结C1D．
∵DC=DD1，∴四边形DCC1D1是正方形．
∴DC1⊥D1C．又AD⊥DC，AD⊥DD1,DC∩DD1=D，
∴AD⊥平面DCC1D1， 又D1C平面DCC1D1，∴AD⊥D1C．
∵AD，DC1平面ADC1，且AD∩DC=D，
∴D1C⊥平面ADC1，又AC1平面ADC1，∴D1C⊥AC1．
（Ⅱ）连结AD1，连结AE，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连结MN．
∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，要使D1E∥平面A1BD，须使MN∥D1E，
又M是AD1的中点．∴N是AE的中点．又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE． 即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．证明略.
回顾：（1）解答存在性、探索型问题的基本思路是： 先假设存在或成立，以此为条件进行运算或推理，若推出矛盾，否定假设，否则，给出肯定的证明.
（2）探索线面平行成立的充分条件问题，通常有两种方法，一种是寻求线线平行，一种是作出面面平行，而后一种方法更趋于理性与直接，即添加平行辅助线，探求面面平行后立得线面平行.
基本题型4 折叠等综合性问题
例4 如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+3，过A作AE⊥CD，垂足为E，G,F分别为AD,CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.
（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE；
（Ⅱ）求证：FG∥面BCD；
（Ⅲ）在线段AE上找一点R，使得面BDR⊥面DCB，并说明理由.
分析：解决折叠问题的关键是：理清折前与折后不变的位置与数量关系.假设在线段AE上能找到一点R，使得面BDR⊥面DCB，要找线面垂直，如何找线，找哪个面？平面DCB是四棱锥的一个侧面，容易找到垂线.所以只要在平面BDR上找一条直线垂直于平面DCB.首先找平面DCB的一条垂线，易知平面DCB⊥平面EDC，过E点在平面CDE上作EM⊥DC于M，则EM⊥面DCB，则EM应该平行于或在平面BDR上，下面的问题只要根据线面平行的性质定理，在平面BDR内找到一条直线与直线EM平行即可.
证明：（Ⅰ）由已知得：DE⊥AE,DE⊥EC,AE∩EC=E, ∴DE⊥平面ABCE,
又BC平面ABCE,∴DE⊥BC, 又BC⊥CE,DE∩EC=E, ∴BC⊥平面DCE.
（Ⅱ）方法1 找面面平行
取AB中点H ，连接GH,FH. ∴GH∥BD,FH∥BC, 又GH,FH平面BCD，BD,BC平面BCD，∴GH∥平面BCD,FH∥平面BCD，且GH∩FH=H，
∴平面FHG∥平面BCD, 又GF平面FHG
∴GF∥平面BCD
方法2 找线线平行
连接AF并延长与BC的延长线交于点Q，连接DQ.
∵G,F分别为线段AD,CE的中点，
∴CF∥AB且CF=12AB且F是线段AQ的中点.即GF∥DQ，又GF平面BCD，DQ平面BCD，∴FG∥平面BCD.
（Ⅲ）先作出符合要求的点
由前面的分析可知，过E点在平面CDE上作EM⊥DC于M，
过M点在平面BCD上作MN∥BC交BD于点N，
在线段AE上截取一点R，使ER=MN，
则四边形MNRE为平行四边形.
∴RN∥ME，∴RN⊥平面BCD.
∵RN平面BDR，∴面BDR⊥面DCB.
再计算出点R的位置
在△CED中，DE=3,EC=1
∴EM=32,CM=12,DM=32
∴MN=34BC=32=ER
∴当R点满足3AR=RE时，平面BDR⊥平面BDC.
再证明当R点满足3AR=RE时，平面BDR⊥平面BDC.
回顾：利用面面垂直得到线面垂直是常用的找线面垂直的途径.当然在找面面垂直的过程中，尽可能得到线线垂直是关键.
最后需要特别提醒同学们注意的是：平行与垂直位置关系的证明与计算的书写格式要求非常严格，因此同学们在平时的训练中要多加注意书写的格式的规范性与严密性.如线面平行的证明，必须要说明三点，缺一不可.
（作者：吴卫东，江苏省泰兴中学)