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[案例背景]
在圆锥曲线的教学中，经常会涉及到这样的问题:“以已知点为中点的直线交已知圆锥曲线于两点，求该直线的方程” .这类问题我们经常称其为“中点弦”问题.解决的方法多采用先设两个交点的坐标,再将两坐标代入圆锥曲线方程,然后将这两个方程相减,再利用中点坐标公式和斜率公式求出所求直线的斜率,从而利用点斜式求出直线方程.这就是我们中学老师自己命名的“点差法”.别外韦达定理也是圆锥曲线中经常使用的方法，学生比较喜欢,用的也比较熟练.但在使用的过程中学生往往会碰到一些不可思议,似是而非的问题,而这些问题恰恰反映了学生没有很好地抓住数学的本质,所以在求解时才会出现这样或那样的错误.
作者在以自主学习为前提，以探究建构为目的，设计了一个错解评析过程，意在强调抓住数学本质的重要性.
[案例过程]
问题1：(课本习题)已知双曲线 ，过点P（1，1）能否作一条直线 ，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
展示学生的错解: 设A（x1,y1）B(x2,y2),代入双曲线方程,得 …(1)
… (2), 由(1)-(2)得 ,
由题意得代入上式得直线AB的斜率为2,所以直线 存在且方程为y=2x-1.
错解原因分析及解决策略:
(1) 数形结合:让学生画出已知双曲线和求得直线的图象,观察直线与双曲线的位置关系,很容易发现所求的直线根本不与双曲线相交.
(2) 本质分析:让学生思考在上面的解题过程中到底忽略了哪个最本质的数学条件? (直线 与双曲线交于A，B两点).这个题的本质就是考直线与双曲线相交的条件,而题中的中点信息使得学生更青睐于点差法,而在解的过程中很容易忽略了直线与双曲线相交的本质特征.
(3) 抓住本质:让学生思考怎样完善解题过程?(将所求的直线与双曲线联列成方程组,利用消元得到关于x的一元二次方程,利用判别式可得方程无解,因此这样的直线不存在).如果在解题过程中始终抓住直线与双曲线相交的本质特征,那么也可以选择以下的通法通解.而且高考中对通法通解更加重视.
(4) 通法通解:根据题意可得若直线 存在,则它的斜率存在,设所求直线为:y=k(x-1),将直线方程与双曲线方程联列成方程组,消去y得 由题意得 即 且 且k=2,显然同时满足上面条件的k不存在.所以这样的直线不存在.
问题2 已知抛物线 的焦点F恰好是椭圆 的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为多少？
展示学生的错解:
已知抛物线的焦点 ，椭圆的左焦点为F1（-c,0）,由题意得F恰好是在F1，所以 ，因此p=2c,将抛物线方程与椭圆方程联列成方程组，消去y得 -----（1），设两交点为A（x1,y1）B(x2,y2),根据图象得两交点关于x轴对称，又交点连线经过F，所以x1= x2= <0，又由（1）得 >0,显然这两者相互矛盾.于是学生认为题意有错.
错解辨析，正本清源
(1) 数形结合:观察图形已知抛物线与椭圆的交点,交点能反映方程(1)的根有几个?(只有1个)
那么当方程(1)满足什么条件时,它的根只有一解.
(2) 本质分析:一元二次方程根的个数的判断常用判别式,而判别式所得是在实数集中的根的个数,那么这个题中根有什么要求?(方程(1)要求有且只有一个负根)
(3) 抓住本质:根据韦达定理,可得方程(1)有一负根和一正根,由于交点在第二和第三象限,所以正根应舍去,从而方程只有一解,应此题意中并没有矛盾.事实上直接利用x1= 代入方程(1)即可得关于a,b,c,p的一个关系式 ，又p=2c， ，化简得 ，所以 ，又 ,所以 .
教学反思:
通过这次错解评析，学生意识到自己在这些问题中的错解成因,以及研究这些问题的方法,并加强了对数学本质的认识.使学生的观察力、综合运用知识的能力、思维素质得到了充分的展示和锻炼。
新课程要求在数学教学中，不仅是学习形式化的表达，更要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.要求学生能挖掘问题的背景特征,透过一些数学现象看到本质.学生若能抓住问题的实质,就能产生意想不到的感悟。当前的高考已经从“知识立意”向“能力立意”转化，思维品质和综合素养的考察正是高考的真正目的。如果在课堂内外能真正把握数学的本质，返璞归真，把数学思想落到实处，那就可以最大限度地促进学生的发展.
在圆锥曲线的教学中，经常会涉及到这样的问题:“以已知点为中点的直线交已知圆锥曲线于两点，求该直线的方程” .这类问题我们经常称其为“中点弦”问题.解决的方法多采用先设两个交点的坐标,再将两坐标代入圆锥曲线方程,然后将这两个方程相减,再利用中点坐标公式和斜率公式求出所求直线的斜率,从而利用点斜式求出直线方程.这就是我们中学老师自己命名的“点差法”.别外韦达定理也是圆锥曲线中经常使用的方法，学生比较喜欢,用的也比较熟练.但在使用的过程中学生往往会碰到一些不可思议,似是而非的问题,而这些问题恰恰反映了学生没有很好地抓住数学的本质,所以在求解时才会出现这样或那样的错误.
作者在以自主学习为前提，以探究建构为目的，设计了一个错解评析过程，意在强调抓住数学本质的重要性.
[案例过程]
问题1：(课本习题)已知双曲线 ，过点P（1，1）能否作一条直线 ，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？
展示学生的错解: 设A（x1,y1）B(x2,y2),代入双曲线方程,得 …(1)
… (2), 由(1)-(2)得 ,
由题意得代入上式得直线AB的斜率为2,所以直线 存在且方程为y=2x-1.
错解原因分析及解决策略:
(1) 数形结合:让学生画出已知双曲线和求得直线的图象,观察直线与双曲线的位置关系,很容易发现所求的直线根本不与双曲线相交.
(2) 本质分析:让学生思考在上面的解题过程中到底忽略了哪个最本质的数学条件? (直线 与双曲线交于A，B两点).这个题的本质就是考直线与双曲线相交的条件,而题中的中点信息使得学生更青睐于点差法,而在解的过程中很容易忽略了直线与双曲线相交的本质特征.
(3) 抓住本质:让学生思考怎样完善解题过程?(将所求的直线与双曲线联列成方程组,利用消元得到关于x的一元二次方程,利用判别式可得方程无解,因此这样的直线不存在).如果在解题过程中始终抓住直线与双曲线相交的本质特征,那么也可以选择以下的通法通解.而且高考中对通法通解更加重视.
(4) 通法通解:根据题意可得若直线 存在,则它的斜率存在,设所求直线为:y=k(x-1),将直线方程与双曲线方程联列成方程组,消去y得 由题意得 即 且 且k=2,显然同时满足上面条件的k不存在.所以这样的直线不存在.
问题2 已知抛物线 的焦点F恰好是椭圆 的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为多少？
展示学生的错解:
已知抛物线的焦点 ，椭圆的左焦点为F1（-c,0）,由题意得F恰好是在F1，所以 ，因此p=2c,将抛物线方程与椭圆方程联列成方程组，消去y得 -----（1），设两交点为A（x1,y1）B(x2,y2),根据图象得两交点关于x轴对称，又交点连线经过F，所以x1= x2= <0，又由（1）得 >0,显然这两者相互矛盾.于是学生认为题意有错.
错解辨析，正本清源
(1) 数形结合:观察图形已知抛物线与椭圆的交点,交点能反映方程(1)的根有几个?(只有1个)
那么当方程(1)满足什么条件时,它的根只有一解.
(2) 本质分析:一元二次方程根的个数的判断常用判别式,而判别式所得是在实数集中的根的个数,那么这个题中根有什么要求?(方程(1)要求有且只有一个负根)
(3) 抓住本质:根据韦达定理,可得方程(1)有一负根和一正根,由于交点在第二和第三象限,所以正根应舍去,从而方程只有一解,应此题意中并没有矛盾.事实上直接利用x1= 代入方程(1)即可得关于a,b,c,p的一个关系式 ，又p=2c， ，化简得 ，所以 ，又 ,所以 .
教学反思:
通过这次错解评析，学生意识到自己在这些问题中的错解成因,以及研究这些问题的方法,并加强了对数学本质的认识.使学生的观察力、综合运用知识的能力、思维素质得到了充分的展示和锻炼。
新课程要求在数学教学中，不仅是学习形式化的表达，更要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里.要求学生能挖掘问题的背景特征,透过一些数学现象看到本质.学生若能抓住问题的实质,就能产生意想不到的感悟。当前的高考已经从“知识立意”向“能力立意”转化，思维品质和综合素养的考察正是高考的真正目的。如果在课堂内外能真正把握数学的本质，返璞归真，把数学思想落到实处，那就可以最大限度地促进学生的发展.