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摘要： 为解决Volterra频域核辨识困难的问题，探讨了多音信号激励下Volterra频域核的输出性质，提出了一种基于多音激励的Volterra频域核的非参数辨识方法.该方法选择具有合适频率基的多音信号作为测试激励信号，使各阶核的输出频率成分具有唯一性，进而利用Vandermode法使各阶核的输出分离.推导出了Volterra频域核的辨识公式，并进行了理论和仿真分析.理论分析和仿真结果表明：该方法可准确地辨识出任一阶Volterra频域核，绝对误差达到10-4 V数量级，克服了传统辨识方法无法准确辨识及辨识结果仅限于前3阶Volterra频域核的缺点，具有精度高、可操作性强的特点.
关键词： Volterra级数；非线性系统辨识；广义频域响应函数（GFRF）；多音信号；Vandermode法
中图分类号： TP206.3文献标志码： A
现实世界中，存在着大量的非线性现象，几乎所有的控制系统、电子系统都是非线性的，线性只是对非线性在一定程度和范围内的近似描述.随着现代科学技术的飞速发展，关于非线性系统的控制、建模、分析、综合和预测等问题日益凸现，非线性已成为目前研究的热点问题.
解决非线性问题的基础是建立描述非线性系统的数学模型，Volterra级数是非线性系统建模的常用模型之一，包括时域核及频域核两种形式[12].Volterra核函数是线性系统描述的直接扩展，与线性系统的脉冲和频率响应函数一样，能够描述非线性系统的本质特性，具有物理意义明确、适应范围广等优点，在诸多领域取得了许多成功的应用[36].Volterra时域核的傅里叶变换形式被称作Volterra频域核，或广义频域响应函数（generalized frequencyresponse functions， GFRFs）[7].Volterra频域核提供了从频域分析非线性系统的方法，人们往往更加关心Volterra频域核，这是由于相对于Volterra时域核，其频域形式可使人们直观、准确地理解许多重要的非线性现象.Chua给出了多音激励下Volterra核频域输出特性[8]；Bedrosian分析了在谐波及高斯输入激励下Volterra系统的输出特性[9].目前，Volterra频域核的辨识方法分为参数辨识和非参数辨识两种[1011].参数辨识的方法是基于非线性系统的微分方程来辨识Volterra频域核[1215]，该方法比较成熟；非参数辨识是基于系统的输入输出数据来辨识Volterra频域核[1620].由于非线性系统的复杂性，通常很难获得其理想的数学模型，因此参数辨识的方法有其局限性.由于非参西南交通大学学报第48卷第2期韩海涛等：基于多音激励的Volterra频域核非参数辨识方法数辨识是基于“黑箱”辨识，不用了解系统的内部机理及物理特性，只根据系统的输入输出数据进行辨识，因此更具有实用性.
文献[16]提出了一种基于时域分析的非参数辨识方法，该方法仅能计算出Volterra核在谐波频率成分处的值，且只适用于辨识前3阶Volterra核；文献[17]采用高斯白噪声作为系统的输入激励，根据时域自适应辨识方法对Volterra核进行辨识，这种方法待辨识的参数与系统的记忆长度和阶次成指数增加，辨识过程复杂、计算量大；文献[1819]基于频率分离思想给出了基于多音激励的Volterra频域核的非参数辨识方法，该方法具有较高的辨识精度，然而没有系统地推导出任一阶Volterra频率核的辨识公式；文献[20]虽然给出了多音激励下Volterra频域核的估算公式，但估算误差比较大，使非参数辨识方法的应用受到很大的限制；文献[21]提出了Volterra频域核辨识的多音激励信号设计，为多音激励下Volterra频域核的非参数辨识奠定了基础.本文对多音激励下Volterra频域核的输出特性进行了深入研究，从理论上系统地推导出了Volterra频域核的辨识公式，克服了以往Volterra频率核非参数辨识方法的不足，通过实验结果验证了本文结论的正确性.1Volterra频域核的定义及重要性质对任意连续的时不变弱非线性动态系统，可以用广义卷积分或Volterra级数完全描述：
5结束语Volterra频域核的传统辨识方法存在计算量大、步骤复杂、精度不高的问题.本文针对这些问题提出了一种新的基于多音激励的非参数辨识方法.重点探讨了多音信号激励下Volterra频域核输出特性，基于此性质推导出了Volterra频域核的辨识公式，并总结出了基于多音激励Volterra频域核辨识的一般方法步骤.通过对一非线性系统的Volterra频域核进行辨识，验证了该方法的有效性.该方法具有计算量小、精度高、易于工程实现的特点，可广泛应用于非线性系统的建模及故障诊断，是一种实用的方法.
参考文献：
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[21]韩海涛，马红光，韩琨，等. 关于Volterra频域核辨识的多音激励信号设计[J]. 工程设计学报，2012，19（2）： 123127.
[22]曹建福，韩崇昭，方洋旺. 非线性系统理论及应用[M]. 西安：西安交通大学出版社，2006： 128140.
（中文编辑：唐晴英文编辑：付国彬）从表1中可以看出，在此多音信号激励下前两阶核的输出频率成分没有重合，因此可以由输出频率分量去辨识Volterra频率核.多音激励信号的
关键词： Volterra级数；非线性系统辨识；广义频域响应函数（GFRF）；多音信号；Vandermode法
中图分类号： TP206.3文献标志码： A
现实世界中，存在着大量的非线性现象，几乎所有的控制系统、电子系统都是非线性的，线性只是对非线性在一定程度和范围内的近似描述.随着现代科学技术的飞速发展，关于非线性系统的控制、建模、分析、综合和预测等问题日益凸现，非线性已成为目前研究的热点问题.
解决非线性问题的基础是建立描述非线性系统的数学模型，Volterra级数是非线性系统建模的常用模型之一，包括时域核及频域核两种形式[12].Volterra核函数是线性系统描述的直接扩展，与线性系统的脉冲和频率响应函数一样，能够描述非线性系统的本质特性，具有物理意义明确、适应范围广等优点，在诸多领域取得了许多成功的应用[36].Volterra时域核的傅里叶变换形式被称作Volterra频域核，或广义频域响应函数（generalized frequencyresponse functions， GFRFs）[7].Volterra频域核提供了从频域分析非线性系统的方法，人们往往更加关心Volterra频域核，这是由于相对于Volterra时域核，其频域形式可使人们直观、准确地理解许多重要的非线性现象.Chua给出了多音激励下Volterra核频域输出特性[8]；Bedrosian分析了在谐波及高斯输入激励下Volterra系统的输出特性[9].目前，Volterra频域核的辨识方法分为参数辨识和非参数辨识两种[1011].参数辨识的方法是基于非线性系统的微分方程来辨识Volterra频域核[1215]，该方法比较成熟；非参数辨识是基于系统的输入输出数据来辨识Volterra频域核[1620].由于非线性系统的复杂性，通常很难获得其理想的数学模型，因此参数辨识的方法有其局限性.由于非参西南交通大学学报第48卷第2期韩海涛等：基于多音激励的Volterra频域核非参数辨识方法数辨识是基于“黑箱”辨识，不用了解系统的内部机理及物理特性，只根据系统的输入输出数据进行辨识，因此更具有实用性.
文献[16]提出了一种基于时域分析的非参数辨识方法，该方法仅能计算出Volterra核在谐波频率成分处的值，且只适用于辨识前3阶Volterra核；文献[17]采用高斯白噪声作为系统的输入激励，根据时域自适应辨识方法对Volterra核进行辨识，这种方法待辨识的参数与系统的记忆长度和阶次成指数增加，辨识过程复杂、计算量大；文献[1819]基于频率分离思想给出了基于多音激励的Volterra频域核的非参数辨识方法，该方法具有较高的辨识精度，然而没有系统地推导出任一阶Volterra频率核的辨识公式；文献[20]虽然给出了多音激励下Volterra频域核的估算公式，但估算误差比较大，使非参数辨识方法的应用受到很大的限制；文献[21]提出了Volterra频域核辨识的多音激励信号设计，为多音激励下Volterra频域核的非参数辨识奠定了基础.本文对多音激励下Volterra频域核的输出特性进行了深入研究，从理论上系统地推导出了Volterra频域核的辨识公式，克服了以往Volterra频率核非参数辨识方法的不足，通过实验结果验证了本文结论的正确性.1Volterra频域核的定义及重要性质对任意连续的时不变弱非线性动态系统，可以用广义卷积分或Volterra级数完全描述：
5结束语Volterra频域核的传统辨识方法存在计算量大、步骤复杂、精度不高的问题.本文针对这些问题提出了一种新的基于多音激励的非参数辨识方法.重点探讨了多音信号激励下Volterra频域核输出特性，基于此性质推导出了Volterra频域核的辨识公式，并总结出了基于多音激励Volterra频域核辨识的一般方法步骤.通过对一非线性系统的Volterra频域核进行辨识，验证了该方法的有效性.该方法具有计算量小、精度高、易于工程实现的特点，可广泛应用于非线性系统的建模及故障诊断，是一种实用的方法.
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MA Hongguang， HAN Chongzhao， KONG Xiangyu， et al. The GFRF identification model of radar fuze receiver[J]. Journal of System Simulation， 2004， 16（6）： 11431146.
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[16]LI L M， BILLINGS S A. Estimation of generalized frequency response functions for quadratically and cubically nonlinear systems[J]. Journal of Sound and Vibration， 2011， 330（3）： 461470.
[17]张家良，曹建福，高峰. 大型装备传动系统非线性频谱特征提取与故障诊断[J]. 控制与决策，2012，27（1）： 135138.
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[22]曹建福，韩崇昭，方洋旺. 非线性系统理论及应用[M]. 西安：西安交通大学出版社，2006： 128140.
（中文编辑：唐晴英文编辑：付国彬）从表1中可以看出，在此多音信号激励下前两阶核的输出频率成分没有重合，因此可以由输出频率分量去辨识Volterra频率核.多音激励信号的