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在教学实践中,我认为辩证观点应注意从三方面进行应用:一是教师要阐明教材本身的辩证因素;二是要培养学生辩证思维方法;三是教师要懂得教学领域中的辩证关系。三者是互相联系、互相渗透的。
一、发掘教材中的辩证因素
加强辩证观点在数学教学中的应用,必须挖掘教材中的辩证因素。在教学中,教师应要求学生在获取知识的同时领会以下四个基本观点。
1.矛盾的观点
在数学领域中充满着矛盾。例如在数的概念之中,整数与分数;正数与负数;有理数与无理数;实数与虚数。它们都是矛盾的双方,各自都是以它的对立面的存在而存在着的,即没有负数也就没有正数,没有虚数也就没有实数,等等。又如在数学运算中,也存在矛盾的双方:有加法就有它的逆运算减法;有乘法就有它的逆运算除法;有乘方就有它的逆运算开方。诸如多项式的乘法与因式分解;等式与不等式;有限与无限;连续与间断等都是矛盾着的双方。
2.运动的观点
例如一元二次方程,对于变量来说由于常量的变化,方程就有不同的解,就是说这些常量是相对的,而运动变化是绝对的。诸如,圆的割线到切线、圆周角到弦切角、棱台到棱锥、圆台到圆锥、点的轨迹、函数关系、系数方程的讨论、实系数二次三项式的讨论、直线系方程、圆系方程、圆锥曲线系方程、参数方程等都可以培养学生运动的观点。
3.发展的观点
数学是不断发展的。如从整数到分数;从正数到负数;从实数到虚数,在教学中教师就要讲清它们的产生和发展。所以在教学中讲整数要与小学中自然数对比;讲在复数范围内因式分解,解方程要与实数范围内因式分解,解方程对比;讲任意三角函数时要与锐角三角函数对比,等等,让学生领会数在不断地发展,角也在发展,因而处理问题的方法也不一样,这样容易防止产生痕迹性的错误。
4.转化的观点
在一定条件下,运用转化的观点处理问题的地方是很多的。例如:解方程中的消元、降次;分式方程整式化;根式方程有理化;在函数中,函数与反函数之间的转化;在三角中,三类八式之间、正余弦定理之间可以互相转化;在几何中,将高维问题转化为低维问题来做;应用题中,把实际问题转化为数学模型;把三角问题转化为代数问题来解,把几何问题转化为代数或三角问题来解,把代数问题转化为三角或几何问题来解,等等。以上这些转化基本上属于量与量之间的形式上的转化。还有由量变到质变的转化,例如,在直线与二次曲线的位置关系上,用方程组变形后的二次方程的判别式“△”的值来判别它们的位置关系分别是相交、相切、相离,这就是由“△”数量的变化,导致直线与曲线位置上产生质的变化。同样,随着圆锥曲线的离心率“e”的变化,导致圆锥曲线可以为双曲线、抛物线、椭圆。
二、教会学生一些辩证思维的方法
1.广泛联想法
数学知识之间是互相联系的。在教学中,教师应该培养学生善于从一个数学问题想到另一个数学问题。联想是一种辩证思维形式,它是探索、发现、创造的前提,所以应教会学生各种联想。如定向联想:在解数学题时,能按照题意的要求,充分注意命题的结构,注意条件和结论的特点,注意图形的性质,根据命题的不同求解方向,有的可以联想有关的定义和法则;有的可以联想已经证明过的命题;有的可以联想常用的解题方法和某些解题的技能技巧;对综合题可以从几方面结合起来联想。对于一般的命题,通过这样的联想常常能顺利地发现解题思路或方法,如双向联想、类比联想、对比联想、关系联想等。
2.退中求进法
退一步进两步,“退中求进”的思想方法,也是解决数学问题的一种重要的辩证的思维方法。此法是从“退”中寻找解题途径,在“退”中探求未知的结论,退到我们足以看清楚问题的地方然后再上去。例如从“结论”向条件后退、从“一般”特殊后退、从“抽象”向具体后退、从“综合”向单一后退、从“任意个”向有限个后退、从“髙维”向低维后退等。就是说在解题中,因为有些数学命题抽象程度较高,一时难以进行恰当的联想。在这种情形下,我们可以先考虑命题的某些特殊情形,在特殊情形下获得解答时,往往对一般情形的解法有所启发,甚至所得结论对一般情形也是适用的,这种从问题的特殊情形去认识问题的普遍性,进而发现解题思路的方法是学生应该掌握的。
其他的辩证思维方法如运动变换的方法、分析与综合统一法、抽象与具体统一法、演绎与归纳统一法、有限与无限统一法、精确与近似统一法等。
三、处理好教学领域中的辩证关系
1.教材与教法的关系
教材不等于教师的教法,所以教师不能“照本宣科”。教师要根据教材内容和学生的实际来具体设计,充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。发挥教师的主导作用,就是要组织好教材内容;要设计问题的情境;要根据教材内容安排好学生学习发现的过程;要按教材内容精心设问让学生讨论;要抓住关键时刻,促使学生的思维产生飞跃。发挥学生的主体作用,就是要做到能看懂的内容,让学生自己看;能自己思考解决的问题,让学生自己去思考解决;能讲得出的问题,让学生自己去讲;通过讨论能解决的疑难,让学生自己讨论搞清楚;能独立完成的练习,让学生自己去做。只有这样,才有利于学生较好地把课本知识转化为自己的知识,才有利于把知识转化为能力。
2.讲和练的关系
数学除了讲概念、定理、法则、公式、性质以外,还配以大量的例题和习题,所以讲解必须配合以练习。教师讲解时要突出重点,抓住关键,前后联系,形成结构。练习也必须突出重点抓住关键,前后联系,形成结构。讲和练要互相适应,否则就达不到转化的目的。练习也必须配合评讲,且要及时进行,否则转化率也不高。
辩证观点的应用,要贯穿于整个教学过程之中,一定要结合教材本身有意识地、有目的地进行,才能达到预期的效果。
一、发掘教材中的辩证因素
加强辩证观点在数学教学中的应用,必须挖掘教材中的辩证因素。在教学中,教师应要求学生在获取知识的同时领会以下四个基本观点。
1.矛盾的观点
在数学领域中充满着矛盾。例如在数的概念之中,整数与分数;正数与负数;有理数与无理数;实数与虚数。它们都是矛盾的双方,各自都是以它的对立面的存在而存在着的,即没有负数也就没有正数,没有虚数也就没有实数,等等。又如在数学运算中,也存在矛盾的双方:有加法就有它的逆运算减法;有乘法就有它的逆运算除法;有乘方就有它的逆运算开方。诸如多项式的乘法与因式分解;等式与不等式;有限与无限;连续与间断等都是矛盾着的双方。
2.运动的观点
例如一元二次方程,对于变量来说由于常量的变化,方程就有不同的解,就是说这些常量是相对的,而运动变化是绝对的。诸如,圆的割线到切线、圆周角到弦切角、棱台到棱锥、圆台到圆锥、点的轨迹、函数关系、系数方程的讨论、实系数二次三项式的讨论、直线系方程、圆系方程、圆锥曲线系方程、参数方程等都可以培养学生运动的观点。
3.发展的观点
数学是不断发展的。如从整数到分数;从正数到负数;从实数到虚数,在教学中教师就要讲清它们的产生和发展。所以在教学中讲整数要与小学中自然数对比;讲在复数范围内因式分解,解方程要与实数范围内因式分解,解方程对比;讲任意三角函数时要与锐角三角函数对比,等等,让学生领会数在不断地发展,角也在发展,因而处理问题的方法也不一样,这样容易防止产生痕迹性的错误。
4.转化的观点
在一定条件下,运用转化的观点处理问题的地方是很多的。例如:解方程中的消元、降次;分式方程整式化;根式方程有理化;在函数中,函数与反函数之间的转化;在三角中,三类八式之间、正余弦定理之间可以互相转化;在几何中,将高维问题转化为低维问题来做;应用题中,把实际问题转化为数学模型;把三角问题转化为代数问题来解,把几何问题转化为代数或三角问题来解,把代数问题转化为三角或几何问题来解,等等。以上这些转化基本上属于量与量之间的形式上的转化。还有由量变到质变的转化,例如,在直线与二次曲线的位置关系上,用方程组变形后的二次方程的判别式“△”的值来判别它们的位置关系分别是相交、相切、相离,这就是由“△”数量的变化,导致直线与曲线位置上产生质的变化。同样,随着圆锥曲线的离心率“e”的变化,导致圆锥曲线可以为双曲线、抛物线、椭圆。
二、教会学生一些辩证思维的方法
1.广泛联想法
数学知识之间是互相联系的。在教学中,教师应该培养学生善于从一个数学问题想到另一个数学问题。联想是一种辩证思维形式,它是探索、发现、创造的前提,所以应教会学生各种联想。如定向联想:在解数学题时,能按照题意的要求,充分注意命题的结构,注意条件和结论的特点,注意图形的性质,根据命题的不同求解方向,有的可以联想有关的定义和法则;有的可以联想已经证明过的命题;有的可以联想常用的解题方法和某些解题的技能技巧;对综合题可以从几方面结合起来联想。对于一般的命题,通过这样的联想常常能顺利地发现解题思路或方法,如双向联想、类比联想、对比联想、关系联想等。
2.退中求进法
退一步进两步,“退中求进”的思想方法,也是解决数学问题的一种重要的辩证的思维方法。此法是从“退”中寻找解题途径,在“退”中探求未知的结论,退到我们足以看清楚问题的地方然后再上去。例如从“结论”向条件后退、从“一般”特殊后退、从“抽象”向具体后退、从“综合”向单一后退、从“任意个”向有限个后退、从“髙维”向低维后退等。就是说在解题中,因为有些数学命题抽象程度较高,一时难以进行恰当的联想。在这种情形下,我们可以先考虑命题的某些特殊情形,在特殊情形下获得解答时,往往对一般情形的解法有所启发,甚至所得结论对一般情形也是适用的,这种从问题的特殊情形去认识问题的普遍性,进而发现解题思路的方法是学生应该掌握的。
其他的辩证思维方法如运动变换的方法、分析与综合统一法、抽象与具体统一法、演绎与归纳统一法、有限与无限统一法、精确与近似统一法等。
三、处理好教学领域中的辩证关系
1.教材与教法的关系
教材不等于教师的教法,所以教师不能“照本宣科”。教师要根据教材内容和学生的实际来具体设计,充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用。发挥教师的主导作用,就是要组织好教材内容;要设计问题的情境;要根据教材内容安排好学生学习发现的过程;要按教材内容精心设问让学生讨论;要抓住关键时刻,促使学生的思维产生飞跃。发挥学生的主体作用,就是要做到能看懂的内容,让学生自己看;能自己思考解决的问题,让学生自己去思考解决;能讲得出的问题,让学生自己去讲;通过讨论能解决的疑难,让学生自己讨论搞清楚;能独立完成的练习,让学生自己去做。只有这样,才有利于学生较好地把课本知识转化为自己的知识,才有利于把知识转化为能力。
2.讲和练的关系
数学除了讲概念、定理、法则、公式、性质以外,还配以大量的例题和习题,所以讲解必须配合以练习。教师讲解时要突出重点,抓住关键,前后联系,形成结构。练习也必须突出重点抓住关键,前后联系,形成结构。讲和练要互相适应,否则就达不到转化的目的。练习也必须配合评讲,且要及时进行,否则转化率也不高。
辩证观点的应用,要贯穿于整个教学过程之中,一定要结合教材本身有意识地、有目的地进行,才能达到预期的效果。